Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
 Скачать 6.36 Mb.
|
|
3.1 Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность 3.1.1 Определение функции двух переменных Переменная называется функцией двух независимых переменных и , если некоторым парам значений и по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение . Так, сила тока есть функция двух переменных – напряжения и сопротивления . Множество пар значений и , которые могут принимать переменные и , называется областью определения или областью существования функции, а множество всех значений, принимаемых в области определения, – областью значений функции . Переменные и называют аргументами функции . Символически функция обозначается так: , , , и т.д. Пара чисел и определяет положение точки на плоскости с координатами и (а значит, и радиус-вектор ) и наоборот. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки и писать либо как скалярную функцию векторного аргумента и писать . Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, различны. Здесь мы будем рассматривать функции, заданные аналитически (т.е. с помощью формулы). Областью определения функции, заданной аналитически, считается множество всех точек плоскости, для которых формула, ее задающая, имеет смысл. Областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость или ее часть. Областью значений функции f(x, y) является множество всех значений, принимаемых функцией в области определения. Пример 1. Найти область определения функции, заданной формулой . Область определения функции определяется неравенствами и , т.е. (круг) и (верхняя полуплоскость). Таким образом, областью задания функции будет замкнутая область, имеющая форму полукруга. Пример 2. Найти область задания функции, определяемой формулой . Область задания функции определяется неравенством , т.е. (полуплоскость). Таким образом, областью задания функции будет открытая область (т.е. все ее точки являются внутренними). В декартовой системе координат каждой тройке чисел соответствует точка в пространстве и наоборот. Аналогично случаю функции двух переменных можно дать определение функции трех переменных . Областью определения функции трех переменных может быть все пространство или его часть. Аналогично можно дать определение функции четырех и более числа переменных. Мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных, так как распространение определений и полученных результатов на функции большего числа переменных представляют собой лишь технические трудности. 3.1.2 Геометрическое изображение функций двух переменных Графиком функции , определенной в области , называется множество точек пространства, у которых принадлежит и . Построение графиков функций двух переменных в большинстве случаев представляет значительные трудности. В связи с этим геометрически функции двух переменных удобно описывать, не выходя в трехмерное пространство. Средством такого описания являются линии уровня. На плоскости отметим все те точки , в которых функция принимает одно и то же значение, например, значение, равное c. Иначе говоря, отметим те точки , для которых . (39) Множество этих точек и называется линией уровня функции f(x, y). Уравнение (39) есть уравнение этой линии. Придавая различные значения и каждый раз строя линию с уравнением (39), получаем семейство линий уровня. Это семейство наглядно описывает функцию . Пример 3. Построить линии уровня функции . Пересечем заданную поверхность плоскостью . Задавая c различные значения, например, , получаем семейство линий уровня, представляющих собой окружности. При окружность вырождается в точку (0, 0) Из того, что линиями уровня оказались окружности с центрами в начале координат, следует, что графиком данной функции должна быть поверхность вращения вокруг оси . Линиями уровня обозначают глубину морей и высоту гор на географических картах. Аналогичные линии уровня описывают распределение тех или иных веществ в почве, распределение среднесуточной температуры и т.д. 3.1.3 Предел и непрерывность в точке функции многих переменных Понятие предела функции нескольких переменных вводится совершено аналогично случаю предела функции одной переменной. Множество точек , координаты которых и , удовлетворяют неравенству или , называется -окрестностью точки . Иначе говоря, -окрестность точки – это все точки, лежащие внутри круга с центром радиуса . Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , что записывается , если для любого числа существует такое число , что для всех точек из области определения этой функции, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . Обозначение: или . (40) Функция называется бесконечно малой при , если . Все основные свойства о бесконечно малых и о пределах для функций одной переменной обобщаются и на случай двух и большего числа переменных. Пусть точка принадлежит области определения функции . Функция называется непрерывной в точке , если , или , (41) причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Обозначим , . Полным приращением функции при переходе от точки к точке называется разность значений функции в этих точках, а именно, . Условие непрерывности функции в точке M0 равносильно условию или . Пример. Функция непрерывна в любой точке плоскости , так как при любых x и yвеличина стремится к нулю при , . Арифметические операции над непрерывными в точке функциями приводят к непрерывным функциям в той же точке (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в этой точке в нуль). Это устанавливается так же, как для функций одной переменной. 3.1.4 Области на плоскости Для функций y = f(x) одной переменной в качестве области определения чаще всего выступали интервалы. Как обстоит дело для функций нескольких переменных? Назовем -окрестностью точки (x0, y0) множество точек внутри круга радиуса ( > 0) с центром в (x0, y0) (рисунок 8). (Окружность круга к окрестности не относим.) Рисунок 8 Рисунок 9 Точка (x0, y0) называется внутренней для множества D, если она принадлежит D вместе с некоторой своей -окрестностью. Открытой областью назовем такое множество, что 1) любые его точки – внутренние и 2) любые две его точкиможно соединить непрерывной линией, лежащей в D (рисунок 9). Заметим, что радиусы -окрестностей различных точек D различны. Чаще всего область – это часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура Г. Точка P1 называется граничной для области D, если в любой -окрестности этой точки есть как точки из D, так и точки, не принадлежащие D. Совокупность всех граничных точек составляет границу области (на рисунке 9 это контур Г). Если к открытой области D присоединить ее границу Г, то получается замкнутая область . Так, область определения функции в примере 1 (п. 3.2.1) является замкнутой. В качестве области определения для функций двух переменных чаще всего выступают открытые или замкнутые области. Область D – ограниченная, если ее можно поместить в какой-нибудь круг. В противном случае – неограниченной. В примере из раздела 3.1.3 – мы имеем неограниченную область. Если для данной области можно подобрать круг, полностью ее покрывающий, то такая область называется ограниченной. В примере 1 (п. 3.1.1) область, на которой задана функция, является ограниченной, а в примере 2 – неограниченной. Область G (открытая или замкнутая) называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G. Замечание. Данное понятие области не следует путать с понятием области определения (задания) функции. Область определения может быть произвольным множеством, в то время как область в смысле данного выше определения есть множество, удовлетворяющее двум условиям. 3.1.5 Основные свойства непрерывных функций двух переменных В юните 1 были рассмотрены свойства функций, непрерывных на отрезке. Эти свойства распространяются и на случай функций двух и большего числа переменных, непрерывных в ограниченной замкнутой области. Условием непрерывности функции f(x, y) в точке M0 является следующее: как бы ни стремилась точка из области определения функции к точке , предел приращения этой функции в точке равен нулю, т.е. . Функция называется непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. При этом функция считается непрерывной в граничной точке , если в равенстве точка стремится к точке вдоль любого пути, принадлежащего данной области. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: 1) имеет наибольшее и наименьшее значения; 2) ограничена, – положительное число); 3) принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т.е. если , где и – какие-то значения функции в данной области, то в этой области существует точка , в которой . 3.2 Дифференцирование функции многих переменных 3.2.1 Частные производные и их геометрический смысл для функции двух переменных Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так: , (42, a) , (42, b) если эти пределы существуют. Величины и называются частным приращением функции в точке по аргументу или , соответственно. Используются и другие обозначения частных производных: Символы как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной). Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная – угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке (рисунок 10). Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно xпри постоянном y. Рисунок 10 Правила вычисления частных производных остаются теми же, что и для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная: при вычислении постоянной считаем , а при вычислении постоянной считаем . Пример 1. Если , то . Пример 2. Если , то , . Кстати, в физике величина называется изотермическим коэффициентом упругостиидеального газа. Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных. Частная производная функции по какой-либо переменной есть обычная производная по этой переменной функции, которая получается, когда все остальные переменные фиксированы. 3.2.2 Полный дифференциал Как уже отмечалось, полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям и переменных х и у, называется выражение . (43, a) Если приращение (43, a) можно представить в виде , (43, b) где А и В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом этой функции в точке и обозначается символом . (43, c) Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна. Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (43, c), откуда следует, что , а это и означает, что в точке функция непрерывна. Необходимое условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0). Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке. В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (43, b). Полагая в нем , имеем . Разделив на и переходя к пределу , получаем . Это означает, что в точке существует частная производная функции по – . Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная . Используя эти формулы, можно переписать выражение (43, c) в виде . (44, а) Если в формуле (44, а) положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получаем . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и мы можем записать дифференциал (44, а) в следующем виде: . (44, b) Достаточное условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке . 3.2.3 Частные производные и дифференциал сложной функции Пусть , где . Тогда будет функцией одной переменной t. Предположим, что непрерывны и существуют. Найдем . Для этого дадим переменной t приращение . Тогда x, y, а следовательно, и z получат свои приращения и . В силу достаточного условия дифференцируемости , Откуда . Устремим теперь к нулю. Тогда и , и будут стремиться к нулю, так как функции х и y непрерывны (мы предположили существование производных и ). В пределе получим , или . (45) Формула (45) называется формулой производной сложной функции. Пример 1. Пусть . По формуле (45) имеем . Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет х, т.е. рассмотрим функцию , где . Согласно формуле (45) , так как . В формуле (45) – частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а – обычная производная сложной функции одной переменной х: . Эту ( ) производную будем называть полной производной функции. В случае, когда , где , аналогично получаем , ( – частная производная по второму аргументу функции , – полная производная функции одной переменной: . Итак, если z – функция одной переменной: или . (46) Пусть теперь (здесь предполагается существование первых производных функций , по и ). В этом случае будет функцией двух независимых переменных t и . Следовательно, для этого случая формулу (45) нужно переписать в виде . Аналогично (47) Пример 2. Если , где , то . Из формулы (47) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. Если бы можно было сократить на и , то из формулы (47) пришли бы к абсурду: . Предположим еще, что и непрерывны. Если бы и были независимыми переменными, то полный дифференциал функции был бы равен . B данном случае зависит от переменныхt и , следовательно, . Но и . Поэтому . Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, являются дифференциалами функций , , поэтому можно записать . Мы пришли к той же форме записи дифференциала, что и в случае, когда и были независимыми переменными. 3.2.4 Частные производные высших порядков Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить четыре частные производные второго порядка (предполагается, что они существуют). Приняты следующие обозначения: , , , . (48) Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называют смешанными частными производными второго порядка. Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков. Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка функции . Имеем , . Видим, что . Имеет место следующая теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: . На основе этой теоремы можно показать, что если функция имеет в некоторой области непрерывные смешанные частные производные и , то во всех точках этой области . 3.2.5 Признак полного дифференциала Выражение , где и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом тогда и только тогда, когда выполнено равенство . 3.2.6 Дифференциалы высших порядков Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной (см. юниту 1): 1) ; 2) ; 3) ; ; 4) . Например, имеем Пусть имеется функция независимых переменных , обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал ( и – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом). Так как и по предположению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается . Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, ..., n-гo порядков, можно получить полные дифференциалы, соответственно, третьего, четвертого, ..., n-гo порядков. Найдем выражение для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами 1) и 3) ( и не зависят от и , т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.2.4 теоремой, можно записать (здесь ). Последнюю сумму можно записать кратко так: . (49) Эта формула расшифровывается следующим образом. Сначала раскрываются скобки, как будто слагаемые в них – числа, а число 2 – показатель степени. Затем числители полученных дробей умножаются на . Формула для обобщается на случай : . Она расшифровывается так же, как и в случае . Подчеркнем, что в случае зависимых переменных и эти формулы, вообще говоря, не имеют места, так как в этом случае и сами являются функциями независимых переменных. Пример. Если , то и . |