Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6

• Название: Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
• Анкор: Учебник
• Дата: 16.02.2022
• Размер: 6.36 Mb.
• Имя файла: 4194.02.01_РУ.01_1 (3).doc
• Тип: Литература; #363987
• страница: 4 из 8

3.3 Экстремумы функций многих переменных
3.3.1 Необходимые условия существования экстремума
Понятие максимума и минимума можно распространить и на функции нескольких переменных (мы, по-прежнему, рассматриваем случай двух переменных). Говорят, что функция
z = f(x, y) имеет в точке M₀(x₀, y₀) максимум (минимум), если существует такая
окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство или .

Необходимые условия существования экстремума – если функция z = f(x, y) имеет в точке M₀(x₀, y₀) экстремум и в этой точке существуют частные производные и , то

. (50)

Доказательство. Из определения экстремума следует, что функция , рассматриваемая как функция одной переменной , при также имеет экстремум. Поэтому (см. юниту 1) . Аналогично получаем равенство .

Примечание. Приведенные условия существования экстремума не являются достаточными, покажем это на следующем примере.

Пример 1. Пусть тогда . Производные равны нулю в точке , но экстремума эта функция в точке не имеет, так как в любой окрестности этой точки она принимает значения разных знаков, а в самой точке .

Достаточные условия существования экстремума для функций нескольких переменных имеют более сложный вид, чем для функций одной переменной. Приведем эти условия для случая двух переменных без доказательства.

3.3.2 Достаточные условия существования экстремума
Пусть функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности точки , удовлетворяет условиям .

Обозначим . Тогда:

1) если , то в точке функция имеет экстремум, а именно, максимум при и минимум при ;

2) если же , то в точке функция экстремума не имеет.

Ограничимся в данной юните только формулировкой достаточных условий для экстремума. Желающий может найти доказательство этих условий в любом полном курсе матанализа [3, 6, 7].

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию . Ее частные производные обращаются в нуль в точках и . Ее вторые производные равны .

В точке имеем , следовательно, экстремума в этой точке нет. В точке имеем , причем , следовательно, в точке – минимум.

Примечание. Отметим, что в случае экстремум может быть, а может не быть – необходимо дополнительное исследование. Ниже приведены примеры, которые подтверждают высказанное утверждение, но дополнительного исследования в них не проводится.

Пример 3. . В точке , , эта функция, как показано выше, экстремума не имеет.

Пример 4. . В точке , где , эта функция имеет минимум, потому что в любой окрестности этой точки данная функция положительна, а в самой точке .

3.4 Приложения дифференцирования функций многих переменных в экономике и менеджменте
3.4.1 Производственные функции
Производственная функция (ПФ) – это функция, независимые переменные x₁, x₂, …, x_n которой принимают значения объёмов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значения функции имеют смысл величин объемов выпуска , n-факторная ПФ.

По экономическому смыслу . Следовательно, областью определения двухфакторной ПФ является первый квадрант.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ может связывать объем выпуска (в натуральном или стоимостном выражениях) с затратой рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различным видам сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала (измеренных обычно в натуральных единицах). ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

Таким образом, ПФ – зависимость результата производственной деятельности (выпуска продукции) от обусловивших его факторов производства (ресурсов). В рыночной экономике к ресурсам относятся также земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская деятельность. Ограничимся для простоты двумя ресурсами, т.е. рассмотрим двухфакторную ПФ. Например, пусть K – объем используемого основного капитала (объем используемых основных фондов – в отечественной литературе), L – затраты живого труда. Тогда производственная функция может быть записана как

(51)

Приведем наиболее часто встречающиеся виды производственных функций.

Пример 1. Функция Кобба – Дугласа (ПФКД)

где – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто ). В приложениях где K – капитал, L – труд.

Пример 2. Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид (двухфакторная) и (многофакторная).

Пример 3. Производственная функция с постоянной эластичностью замещения .

Пусть – ПФ. Дробь называется средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символически это записывается так: .

Пусть – ПФ. Её первая частная производная называется предельной производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символически это записывается так:

ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i -го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу(по фактору производства) (ЭВФ). Символика

E_i (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск y, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Сумма называется эластичностью производства.

Пример 4. Для ПФКД найти в явном виде A₁, A₂, M₁, M₂, E₁, E₂ и E_x.

Решение. Имеем:

, , , .

Пример 5. Для ЛПФ найти в явном виде A₁, A₂, M₁, M₂, E₁, E₂ и E_x.

Решение. Имеем: , ,

Пример 6. Для ПФ с постоянной эластичностью замещения найти в явном виде A₁, A₂, M₁, M₂, E₁, E₂ и E_x.

Решение. что оправдывает название данной производственной функции.

Пусть y = f(x) – ПФ, x = (x₁, x₂). Предельной нормой замены (замещения) i-го ресурса (фактора производства) j-м (символика: ) называется выражение при постоянной y. В силу формулы о вычислении производной неявной функции имеем .

Пример 7. Для ПФКД выписать в явном виде выражения R₁₂ и R₂₁.

Решение. Имеем (см. пример 4)

Пример 8. Для ЛПФ выписать в явном виде выражения R₁₂ и R₂₁.

Решение. Имеем (см. пример 5)

Пример 9. Для ПФ с постоянной эластичностью выписать в явном виде выражения R₁₂ и R₂₁. Решение. Имеем (см. пример 6)

3.4.2 Функция полезности
Пусть потребитель располагает суммой I. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество благ. Математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора.

Потребительский набор (набор) в двухфакторном случае – это вектор (x₁, x₂), координата x₁ которого равна количеству единиц первого блага, x₂ – второго блага.

На множестве потребительских наборов (x₁, x₂) определена функция полезности потребителя u(x₁, x₂), значение u(x₁, x₂) которой на потребительском наборе (x₁, x₂) равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Если, положим

u(2,8) = 15 и u(4,7) = 22,

то это означает, что с точки зрения потребителя лучше приобрести 4 единицы блага x₁ и 7 единиц блага x₂, чем 2 единицы блага x₁ и 8 единиц блага x₂.

Частные производные называются предельными полезностями продуктов: – предельная полезность первого продукта, – предельная полезность второго продукта. Линия, соединяющая потребительские наборы (x₁, x₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. На рисунке 11 показан фрагмент карты линий безразличия.

Рисунок 11
Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Дифференциал функции полезности записывается следующим образом:

Если переменные x₁ и x₂ меняются незначительно, то результирующее (полное) изменение функции полезности можно получить по формуле

(52)

Пример 10. Найти линии безразличия для функции полезности

Решение. Линии безразличия определяются уравнением

u(x₁, x₂) = const = С.

Значит, u(x₁, x₂) = C > 0, x₁ > 0, x₂ > 0.

Графиками таких кривых являются ветви равносторонних гипербол, расположенные в
1 квадранте (рисунок 12).

Рисунок 12
Пример 11. Пусть функция полезности u задана следующим образом:

Требуется оценить (приближенно вычислить) полное изменение функции полезности, когда x₁ уменьшается от 16 до 13, а x₂ увеличивается от 256 до 268.

Решение. Вычислим предельные полезности продуктов:

Подставляя x₁ = 16 и x₂ = 256, находим:

Приращения независимых переменных



Подставляя значения в формулу (52), находим приближенное изменение функции полезности

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. , где и – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов, соответственно, а I – доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины , и I заданы. Формально задача потребительского выбора имеет вид: найти при условиях ,

Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой (рисунок 13). На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности.

Рисунок 13
Пример 12. Найти величину спроса x₁ и x₂ на товары с ценами, соответственно, и при условии, что бюджет потребителя равен I и потребитель стремится максимизировать функцию полезности

Решение. Нам надо найти точку (x, y), в которой достигается наибольшее значение функции в области D, где (см. рисунок 13). Вычислим частные производные:

Отсюда видно, что функция полезности не имеет стационарных точек внутри области D. Точка O(0,0) принадлежит границе D и в ней, очевидно, достигается наименьшее значение, так как , а . Найдем наибольшие значения функции на линиях, образующих границу области D. На линиях x₁ = 0 и x₂ = 0 функция полезности u(x₁, x₂) = 0. Так как функция u(x₁, x₂) непрерывна, а область D замкнута и ограничена, то наибольшее значение функции будет достигаться на участке границы, заданной уравнением Выразив отсюда x₂, имеем . Таким образом, нам необходимо найти наибольшее значение функции при Так как на концах промежутка f(x₁) обращается в нуль, то наибольшее значение будет достигаться в точке локального максимума внутри промежутка Вычислим производную:

Используем необходимое условие экстремума для функции двух переменных. Приравняем производную к нулю и получим т.е. Отсюда имеем и так как то

Таким образом, в данной модели спрос на объем товара прямо пропорционален величине бюджета и обратно пропорционален цене на данный товар.

Рассмотрим задачу оптимизации производствадля двухфакторной модели.

Доходом (выручкой) фирмы (R) в определенном временном периоде (например в определенном году) называется произведение p₀y общего объема y выпускаемой фирмой продукции на цену (рыночную) p₀ этой продукции.

Издержками (C) фирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат: где x₁ и x₂ – объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства), p₁ и p₂ – рыночные цены на эти ресурсы (факторы производства).

Прибылью PR фирмы в определенном временном периоде называется разность между полученным фирмой доходом R и её издержками производства PR = R – C, или

(53)

где f(x₁, x₂) – производственная функция фирмы.

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых (используемых) ресурсов.

В случае долговременного промежутка, в котором фирма максимизирует свою прибыль, задача ставится так. Определить комбинацию ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль:

при условии

Последнее условие связано с тем, что, как правило, (т.е. если хотя бы один ресурс не затрачивается, то объем выпускаемой продукции равен нулю), экономически осмысленным являются наборы ресурсов, для которых

Как следует из определения, точки локального максимума следует искать только среди точек (x₁, x₂), которые удовлетворяют системе уравнений

или, учитывая формулу (53),

(54)

Можно показать, что система (54) имеет единственное решение , которое является точкой не только локального, но и глобального максимума прибыли . Набор затрат ресурсов, который является решением задачи максимизации прибыли , называется локальным (частным) рыночным равновесием фирмы (в случае долговременного промежутка).

Пример 13. Найти максимум прибыли в случае, когда производственная функция (K – объем используемого основного капитала,
L – затраты живого труда), цена а факторные цены, соответственно, равны p₁, p₂.

Решение. Воспользуемся необходимым условием экстремума: вычислим частные производные и приравняем их к нулю:

(55)

Тогда

_. (56)

Решаем систему (56). Возводим оба уравнения в четвертую степень и перемножаем их:

Подставляем L в первое уравнение системы (56), получаем

(57)

Вычислим вторые частные производные функции в точке . Имеем (см. (55)):

Воспользуемся достаточным условием наличия экстремума функции двух переменных:

и Поэтому в точке функция прибыли PR достигает максимума, равного
(см. (57)) что в нашем случае даёт значение

Замечание. Точка , являющаяся точкой максимума прибыли, называется оптимальным планом.

4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1 Двойные и кратные интегралы
4.1.1 Понятие двойного интеграла
Ряд важных геометрических и физических задач приводит к интегрированию функций нескольких переменных. Конструкция интеграла от функций нескольких переменных аналогична конструкции определенного интеграла для функции одной действительной переменной, заданной на отрезке числовой оси. Начнем со случая двух независимых переменных.

Рассмотрим заданную в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy непрерывную функцию f(x, y). Разобьем произвольным образом область D на конечное число частей площадью . Выберем точки (рисунок 14). Мелкостью разбиения назовем наибольший из диаметров элементов разбиения (напомним, что под диаметром области понимается наибольшее расстояние между точками, лежащими на границе области).

Рисунок 14
Выражение (суммируем по всем элементам разбиения) называется интегральной суммой (Римана) функции f, соответствующей данному разбиению области D и фиксированному выбору точек .

Поведение интегральных сумм при уменьшении мелкости разбиений можно охарактеризовать следующим образом. Существует число I, удовлетворяющее условию: для любого положительного (сколь угодно малого) числа  найдется такое положительное число , что для всякого разбиения мелкости, меньше чем , и при любом выборе точек P_i выполняется неравенство Это число I называется двойным (2-кратным) интегралом от функции f по области D и обозначается

Таким образом, можно сказать, что двойной интеграл есть предел интегральных сумм при мелкости разбиений, стремящейся к нулю. Если сделать разбиение достаточно мелким, то, независимо от выбора точек, принадлежащих элементам разбиения, интегральная сумма будет мало отличаться от двойного интеграла.

Отметим, что требование непрерывности функции в ограниченной замкнутой области является достаточным, но не необходимым условием для существования интеграла. Одним из необходимых условий существования интеграла является ограниченность функции. С другой стороны, интеграл существует и для многих ограниченных разрывных функций.

Поскольку понятие двойного интеграла сводится к понятию определенного интеграла от функции одной переменной, для двойного интеграла сохраняются важнейшие свойства обычного определенного интеграла: линейность, аддитивность и др. Обратим внимание, что основные свойства двойного интеграла непосредственно следуют из свойств интегральных сумм:

1. Если в области D, то соответствующий интеграл равен площади S области D. В этом случае любая интегральная сумма равна S.

2. Для любых (непрерывных в D) функций f и g и постоянных  и  имеет место равенство

Действительно, при любом разбиении области D на части D_i и выборе точек будем иметь

т.е.

Переходя в этом равенстве для интегральных сумм к пределу при мелкости разбиений, стремящейся к нулю, получим нужное равенство для интегралов. Свойство 2 называется линейностью двойного интеграла.

3. Для любого разбиения области D на подобласти D и Dи для любой (непрерывной в D) функции f имеет место равенство

Действительно, разобьем, в свою очередь, и на части , и выберем точки , . Соответствующие интегральные суммы обозначим , . С другой стороны, рассмотрим такое разбиение области D, элементами которого являются все и с уже выбранными точками и . Мелкость этого общего разбиения равна большей из мелкостей разбиений подобластей и . Интегральную сумму, соответствующую данному разбиению, обозначим . Очевидно, что . Переходя в последнем равенстве к пределу, когда мелкости разбиений и стремятся к нулю (в этом случае мелкость соответствующего разбиения области D также стремится к нулю), получим свойство 3, которое называется аддитивностью двойного интеграла по области интегрирования.

4. Для любых (непрерывных в D) функций f и g таких, что , , имеет место неравенство .

Чтобы убедиться в этом, достаточно записать очевидное неравенство для интегральных сумм функций f и g: и перейти к пределу при мелкости разбиений, стремящейся к нулю. Свойство 4 называется монотонностью двойного интеграла.

5. Для любой (непрерывной в D) функции f имеет место неравенство . Оно следует из свойства 4 и двойного неравенства , .

6. Для любой (непрерывной в D) функции f имеет место неравенство , где , а S – площадь области D. Свойство 6 следует из свойств 1, 2, 5 и неравенства , .

Величина называется средним значением функции f по области D. Имеет место следующая теорема о среднем.

Теорема 1. Если функция f непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то внутри области D найдется точка P такая, что . Другими словами, непрерывная функция принимает среднее значение внутри области.