Учебник. 4194.02.01_РУ.01_1 (3). Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6

• Название: Литература 4 перечень компетенций 5 тематический обзор 6 1 интегральное исчисление функций одной переменной 6
• Анкор: Учебник
• Дата: 16.02.2022
• Размер: 6.36 Mb.
• Имя файла: 4194.02.01_РУ.01_1 (3).doc
• Тип: Литература; #363987
• страница: 7 из 8

Задачи для самостоятельной работы
Задача 1

Найти область определения функции .
Задача 2

Найти область определения функции .
Задача 3

Найти область определения функции .
Задача 4

Найти линии уровня функции .
Задача 5

Найти линии уровня функции .
Задача 6

Найти линии уровня функции .
Этап формирования ОК-15. C.Вычислить частные производные второго порядка функции нескольких переменных f(x₁, x₂, …, x_n)
Решение типовой задачи
Условие задачи

Найти вторые производные функции .
Решение

№ п/п	Алгоритм расчета	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Чтобы найти частную производную по переменной , фиксируем остальные переменные и дифференцируем как функцию одной переменной	,
2	Частные производные высших порядков вычисляются аналогично последовательным дифференцированием: ,	,
3	Найти смешанную производную функции

Задача_1_Найти_вторые_производные_функции_.Задача_2_Найти_вторые_производные_функции_.Задача_3'>Задачи для самостоятельной работы
Задача 1

Найти вторые производные функции .
Задача 2

Найти вторые производные функции .
Задача 3

Найти частные производные и функции .
Задача 4

Найти частные производные , и функции .
Этап формирования ОК-15. D. Уметь находить в заданной точке M₀(x₀, y₀, z₀) градиент и производную по направлению функции f(x, y, x)
Решение типовой задачи
Условие задачи

Найти градиент функции в точке М(2,3).
Решение

№ п/п	Алгоритм расчета	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Найти в заданной точке градиент функции
1.1	Найти частные производные данной функции	;
1.2	Вычислить значения частных производных в точке М(2, 3)
1.3	Вычислить градиент функции в точке :

Условие задачи

Найти производную функции в точке по направлению к точке .
Решение

№ п/п	Алгоритм расчета	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
2	Найти производную функции в точке по направлению к точке
2.1	Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует ее производная по любому направлению , определяемой формулой , где и
2.2	Найти частные производные данной функции в точке		, , ; , ,
2.3	Найти . Найти координаты вектора :		; ; ;
2.4	Найти единичный вектор (орт)		;
2.5	Вычислить скалярное произве-дение
2.6	Записать ответ

Задачи для самостоятельной работы
Задача 1

Найти градиент функции в точке М(0, 2).
Задача 2

Найти градиент функции в точке М(0, 2, 1).
Задача 3

Найти производную функции в точке М(1, 2) по направлению к точке .

Задача 4

Найти производную функции в точке М(0,2,1) по направлению к точке .
Этап формирования ОК-15. E. Уметь находить экстремальные значения функции двух переменных

Решение типовой задачи
Условие задачи

Найти экстремум функции двух переменных в области определения данной функции .
Решение задачи

№ п/п	Алгоритм расчета	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Найти экстремум функции двух переменных в области определения данной функции
1.1	Найти область определения	В область определения данной функции входит вся координатная плоскость OXY
1.2	Найти частные производные данной функции и	;
1.3	Найти точки, в которых и равны нулю или не существуют, т.е. критические точки (необходимое условие наличия экстремума)	, , т.е. является критической точкой
1.4	Найти частные производные второго порядка	, ,
1.5	Вычислить значения частных производных второго порядка в критических точках	,
1.6	Использовать достаточное условие наличия экстремума. Составить и вычислить его значения в критических точках Mk (k = 0, 1, 2, 3,…)
1.7	Сделать вывод о наличии экстремума: – экстремум есть; – нет экстремума; – неопределенный случай, требующий дополнительного исследования	– экстремум есть
1.8	По знаку второй производной в точке M0 установить характер экстремума: а) – точка минимума; б) – точка максимума	– М точка минимума
1.9	Вычислить экстремальное значение функции

Условие задачи

Пусть функция задана в области, ограниченной прямыми , , и . Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области.
Решение

№ п/п	Алгоритм расчета	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
2	Вычислить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области
2.1	Сделать чертеж области D	На плоскости нарисуем заданную область
2.2	Вычислить частные производные данной функции	;
2.3	Найти стационарные точки – для этого частные производные приравниваем к нулю. Решить полученную систему уравнений и найти стационарные точки	; . Стационарная точка только одна – , но она находится вне заданной области
2.4	Найти значения функции в вершинах заданного прямоугольника	, , ,
2.5	Найти экстремумы функции на сторонах заданного прямоугольника: 1) x = 1; 2) x = 2; 3) y = 0; 4)	1)  , . Функция для монотонно убывает. 2)  , . Функция для так же монотонно убывает. 3)  , . Функция для монотонно возрастает. 4)  , . Функция для так же монотонно возрастает
2.6	Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области	;

Задача__4_Найти_max_и_min_функции_в_прямоугольнике,_ограниченном_прямыми_.Этап_формирования_ОК-15._F._Вычислить_двойной_интеграл_в_декартовых_координатах'>Задача_1_Исследовать_на_экстремум_функцию_.Задача_2'>Задачи для самостоятельной работы
Задача 1

Исследовать на экстремум функцию .
Задача 2

Исследовать на экстремум функцию z = x²– y² + 2xy.
Задача 3

Найти max и min функции z = x² + y² + 3y – 4xy в прямоугольнике, ограниченном осями координат и прямыми x = 2, y = 1.
Задача 4

Найти max и min функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми .
Этап формирования ОК-15. F. Вычислить двойной интеграл в декартовых координатах


Решение типовой задачи
Условие задачи

Найти , где D – область, ограниченная линиями и .
Решение

№ п/п	Алгоритм расчета	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Нарисовать область интегрирования
2	Представить двойной интеграл в виде повторного, определив порядок интегрирования и расставив пределы интегрирования
3	Проинтегрировать по y
4	Проинтегрировать по x
5	Вычислить повторный интеграл

Задачи для самостоятельной работы
Задача 1

Найти интеграл по области D: .

Задача 2

Найти интеграл по области D: .
Задача 3

Найти интеграл , где D – область, ограниченная прямыми y = x, y = –x, x = 2.
Задача 4

Найти интеграл , где область D ограничена прямыми , и параболой .
II ЗАДАНИЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ КОМПЕТЕНЦИЙ
Выберите свой вариант и решите самостоятельно следующие задачи
Вариант 1

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции z = x + y.

3. Вычислить частные производные первого порядка функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = –1, x = 1, y = 0, y = 2.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении вектора в точке .

9. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями y = x,
y = 1, x = 0.
Вариант 2

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = 0, x = 2, y = –1, y = 1.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении вектора в точке .

9. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями y = x², x = y².
Вариант 3

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении вектора в точке .

9. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями , y = x, y = 4x(x > 0).

Вариант 4

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0, y = 0, y + x = 6.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении биссектрисы первого координатного угла в точке .

9. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями y = x, x = 0,
y = 1.
Вариант 5

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первого порядка функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = 1, x = 3, y = –1, y = 1.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении вектора в точке .

9. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями y = x²,
x = 2, y = 0.
Вариант 6

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = –1, x = 1, y = –1, y = 1.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении вектора в точке .

9. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями ,
y = –2x– 3, y = 3.