Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
(12.11)? 12.3. Вращение поля градиентов гармонической функции. Пусть функ- ция U(x, y) гармонична в области Ω и непрерывно дифференцируема на Ω, вклю- чая границу Γ. Допустим, что U(x, y) на Γ не имеет критических точек, а в области Ω имеет лишь особые точки перечисленных выше видов (седловые точки, полюсы и логарифмические полюсы). Через s обозначим сумму кратностей седловых точек, через p 1 — количество остальных особых точек, а через p 2 — сумму порядков этих остальных особых то- чек. Из теоремы об алгебраическом числе особых точек векторного поля вытекает равенство γ(grad U, Γ) = p 1 + p 2 − s, (12.15) где γ(grad U, Γ) — вращение поля градиентов на Γ. В качестве примера рассмотрим функцию Грина ν-связной области Ω, то есть гармоническую функцию, равную нулю на границе Γ области Ω и имеющую в области Ω, кроме возможных седловых точек, лишь один логарифмический полюс нулевого порядка. Как было показано при доказательстве теоремы 11.2, вращение поля градиентов равно 2 − ν. Из формулы (12.15) вытекает поэтому Теорема 12.5. Функция Грина ν-связной (ν > 1) области Ω имеет в Ω седло- вые точки, сумма кратностей которых равна ν − 1. 12.4. Псевдогармонические функции. Класс псевдогармонических в обла- сти Ω функций мы определим в два этапа. Во-первых, к этому классу относятся такие функции U(x, y), которые можно представить в виде U(x, y) = U 1 (ξ(x, y), η(x, y)), (12.16) где ξ(x, y) и η(x, y) — компоненты гомеоморфного степени 1 (сохраняющего ори- ентацию) преобразования T (x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)) (12.17) области Ω в некоторую область Ω 1 , а U 1 (ξ, η) — гармоническая функция. При этом допускается существование у функции U 1 (ξ, η) изолированных особых то- чек (полюсов, логарифмических полюсов и т.д.); им соответствуют особые точки псевдогармонической функции. 18 В работах М. Морса, а также Ф.Д. Гахова и Ю.М. Крикунова (см. Изв. АН СССР, серия матем., 20 (1956), Топологические методы теории функций комплексного переменного и их приложения к обратным краевым задачам) индексы особых точек изучались в других терминах и для их вычисления применялись специальные приемы. Вычисление индексов особых точек гармонических и псевдогармонических функций с помощью вращения проведено А.И. Поволоцким в статье Индексы особых точек псевдоаналитических функций, ДАН СССР 129, №2 (1959). 106 Во-вторых, функция U(x, y) псевдогармонична в области Ω, если для каж- дой точки области Ω найдется окрестность, в которой U(x, y) псевдогармонич- на в предыдущем смысле. Преобразование (12.17) здесь для каждой окрестности конструируется независимо от аналогичных преобразований для других окрест- ностей. Непосредственно из определения вытекает, что локальные свойства псевдогар- монической функции такие же, как и локальные свойства гармонической функ- ции. В частности, теорема 12.1 о локальной структуре линий уровня в окрестности точки (x 0 , y 0 ) без изменений переносится на случай псевдогармонической функ- ции, для которой (x 0 , y 0 ) не является особой точкой. Отсюда вытекают важные свойства псевдогармонических функций: внутренние неособые точки не являются точками экстремума, верен принцип максимума, линии уровня не могут ограни- чивать односвязную область псевдогармоничности (в которой нет особых точек). Пусть псевдогармоническая функция U(M) в окрестности G точки M опреде- лена равенством U(M) = U 1 (T M ), (12.18) где U 1 (N) — гармоническая функция, а T — гомеоморфное преобразование степени 1 окрестности G. Если T (M 0 ) — особая точка функции U 1 (N), то M 0 будет, по определению, особой точкой фуикции U(M). Индекс особой точки T (M 0 ) функции U 1 (N) назовем индексом особой точки M 0 псевдогармонической функции U(M). Рис. 12.3 Рассмотрим псевдогармоническую функцию U(M) в ν-связной замкнутой об- ласти Ω, граница которой Γ состоит из частей Γ 0 , Γ 1 , . . . , Γ ν−1 (см. рис. 12.3). Ниже предполагается, что для каждого замкнутого множества Γ i может быть указана в Ω окрестность G i , на которой определено такое гомеоморфное преобразование T i , что U(M) = U i (T i (M)) (M ∈ G i ), (12.19) где U i — непрерывно дифференцируемая на T i (G i ) функция, градиент которой не обращается в нуль. В частности, можно было бы предположить, что сама функ- ция U(M) непрерывно дифференцируема в окрестности Γ, причем U 6= 0 в этой окрестности. Вращение поля градиентов функции U i (M) на T i (Γ i ) обозначим через γ i . Назо- вем второй граничной характеристикой функции U(M) на Γ число e γ(U; Γ) = γ 0 − γ 1 − . . . − γ ν−1 . (12.20) 107 Допустим, что в Ω псевдогармоническая функция имеет лишь конечное чис- ло особых точек M 1 , . . . , M n , индексы которых обозначим через γ(M 1 ), . . . , γ(M n ). Оказывается, что имеет место важное равенство e γ(U; Γ) = γ(M 1 ) + . . . γ(M n ). (12.21) Это равенство совпадает с теоремой об алгебраическом числе особых точек непре- рывного векторного поля, если U(M) непрерывно дифференцируема на Ω; для общего случая требуется специальное доказательство. Из формулы (12.21) вытекает, что индекс особой точки не зависит от того, при помощи каких гомеоморфизмов определена (см. формулу (12.18)) псевдогар- моничность функции U(M) в окрестности особых точек. Из этой же формулы вытекает, что e γ(U; Γ) не изменится, если в формулах (12.19) выбирать разные гомеоморфизмы T i Для доказательства формулы (12.21) поступим стандартным способом. Выбро- сим из области Ω непересекающиеся круги малого радиуса с центрами M 1 , . . . , M n и обозначим оставшуюся область через Ω 1 (см. рис. 12.4). Из определения вытека- ет, что вторая граничная характеристика e γ(U; Γ 1 ) функции U(M) на границе Γ 1 области Ω 1 равна e γ(U; Γ 1 ) = e γ(U; Γ) − γ(M 1 ) − . . . − γ(M n ). (12.22) Таким образом, формула (12.21) будет доказана, если мы покажем, что вторая граничная характеристика псевдогармонической функции равна нулю, если в об- ласти нет особых точек. Наметим доказательство последнего утверждения. Рис. 12.4 Пусть G i — окрестность одной из частей Γ i границы Γ ν-связной области Ω, введенная при определении второй граничной характеристики функции U(M) на Γ. Пусть T i — определенное на G i гомеоморфное отображение, a U i (M) — опреде- ленная на T i (G i ) непрерывно дифференпиоуемая функция (см. формулу (12.19)). Так как grad U i (M) на T i (G i ) отличен от нуля, то линии уровня функции U i (M) на T i (G i ) не пересекаются и не самокасаются; с одной стороны каждой линии уровня функция U(M) принимает большее значение, а с другой — меньшее. Геометриче- ски очевидно (см. рис. 12.5), что в области T i (G i ) можно провести такую гладкую кривую L i , которая пересекает под ненулевым углом линии уровня функции U i (M) во всех точках, кроме конечного числа, а в этих специальных точках (на рис. 12.5 108 — точки N 1 и N 2 ) касательна с одной стороны к соответствующим линиям уров- ня. Сразу же отметим, что эти специальные точки являются точками локального экстремума функции U i (M) на L i ; более того, эти точки будут либо входящими, либо выходящими точками экстремума (см. п. 11.5). Рис. 12.5 Значения функций U i (M) в этих точках экстремума будем называть специаль- ными значениями. Без ограничения общности можно считать, что специальные значения, соответствующие всем точкам локального экстремума на всех кривых L i , различны. Кривую L i можно провести так, что вращение поля градиентов функции U i (M) на ней будет равно вращению этого поля на T i (Γ i ). Это вращение в силу формулы (11.11) отличается на 1 от разности между числом входящих точек максимума и входящих точек минимума. Через Ω ∗ обозначим область, граница Γ ∗ которой состоит из замкнутых жорда- новых кривых T −1 i (L i ). Из проведенных построений вытекает, что e γ(U; Γ ∗ ) = e γ(U; Γ). (12.23) Поэтому достаточно доказать, что e γ(U; Γ ∗ ) = 0. Точки локального экстремума функции U(M) на кривых T −1 i (L i ) соответству- ют, очевидно, точкам локального экстремума функций U i (M) на кривых L i , при- чем тип точки при этом соответствии сохраняется. Следовательно, все точки ло- кального экстремума функции U(M) на Γ ∗ являются либо входящими, либо вы- ходящими точками экстремума. Из построения вытекает при этом, что вторая граничная характеристика отличается на 2 − ν от разности m 1 − m 2 числа m 1 точек входящего максимума и числа m 2 точек входящего минимума (сравните формулы (11.13) и (11.14)). Таким образом, формула (12.21) будет полностью доказана, если мы установим, что m 2 − m 1 = 2 − ν, (12.24) если функция U(M) не имеет на Ω ∗ особых точек и на Γ ∗ имеет лишь конечное число точек локального экстремума, являющихся либо входящими, либо выходя- щими точками экстремума. Значения функции U(M) в этих точках локального экстремума назовем специальными значениями; можно считать, что все эти спе- циальные значения различны. 109 Эйлеровой характеристикой E(G) замкнутого множества с конечным числом k компонент G 1 , . . . , G k называется число E(G) = 2k − ν(G 1 ) − . . . − ν(G k ), (12.25) где ν(G i ) — порядок связности множества G i ; (предполагается, что порядки связ- ности конечны). В частности, эйлерова характеристика ν-связного множества рав- на 2 − ν. На рис. 12.6 указана эйлерова характеристика изображенных множеств. На рис. 12.7 около каждой вертикальной прямой указана эйлерова характеристика замкнутой части изображенной фигуры, лежащей справа от прямой. Рис. 12.6 Рис. 12.7 Через G c обозначим множество тех точек M ∈ Ω ∗ , в которых значения U(M) не превышают c. Проследим за тем, как меняется эйлерова характеристика мно- жества G c при возрастании c. Нетрудно видеть, что эта эйлерова характеристика меняется лишь при прохождении c через специальные значения, соответствующие точкам входящего экстремума. При прохождении через специальное значение, со- ответствующее точке входящего минимума, в множестве G c появляется новая од- носвязная компонента, а порядки связности остальных компонент не меняются; поэтому эйлерова характеристика возрастает на 1. При прохождении через специ- альное значение, соответствующее точке входящего максимума, либо количество компонент не меняется, но увеличивается порядок связности одной из них, либо две компоненты “сливаются”, то есть число компонент уменьшается на 1, превра- щаясь в компоненту, порядок связности которой на 1 меньше, чем сумма порядков связности слившихся компонент; в обоих случаях эйлерова характеристика умень- шается на 1. Таким образом, эйлерова характеристика Ω ∗ равная 2 − ν, совпадает с разностью числа m 1 точек входящего минимума и числа m 2 точек входящего максимума. Равенство (12.24), а вместе с ним и основное равенство (12.21) установлены. Основное приложение псевдогармонические функции находят при изучении так называемых псевдоаналитических функций φ(z) комплексной переменной z = x + iy, то есть таких функций, которые в некоторой окрестности каждой точки z можно представить φ(z) = f (T (z)), (12.26) 110 где T — гомеоморфное преобразование степени 1 упомянутой окрестности, а f (z) — аналитическая функция. Функция f (z) и гомеоморфизм T для окрестностей различных точек z 0 могут быть разными. Если φ(z) псевдоаналитична, то функция U(x, y) = ln |φ(z)| (12.27) псевдогармонична. Нулям и полюсам функции φ(z) соответствуют логарифмиче- ские полюсы нулевого порядка функции U(x, y); их индекс известен (см. теорему 12.4). Особыми точками (седлами) функции U(x, y) будут также те точки z 0 , в окрестности которых функция φ(z) неоднолистна, то есть в прообразах точек ветв- ления функции обратной к φ(z). Прообразы точек ветвления — это такие точки z 0 , что в точках T (z 0 ) обращается в нуль производная f 0 (z) функции f (z) из пред- ставления (12.26). Кратность седла, а следовательно (см. теорему 12.2) и индекс соответствующей особой точки, определяется порядком нуля T (z 0 ) производной f 0 (z). Формула (12.21) позволяет поэтому установить зависимости между числами нулей, полюсов и прообразов точек ветвления аналитической или псевдоаналити- ческой функции и между вращением поля градиентов функции (12.27) на границе области. Аналогичные рассуждения позволяют связать индексы особых точек с поряд- ками некоторых точек относительно образа границы области при преобразовании ее псевдоаналитической функцией. Соответствующая теория детально развита M. Морсом 19 § 13. Особые точки дифференциальных уравнений 20 13.1. Определения. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений dx dt = P (x, y), dy dt = Q(x, y). (13.1) Будем считать, что правые части определены и непрерывны по совокупности переменных во всей плоскости или в некоторой области. Более того, будем счи- тать, что правые части обладают такими свойствами, которые обеспечивают един- ственность решения системы (13.1) при заданных начальных условиях; как из- вестно, для этого достаточно непрерывной дифференцируемости функций P (x, y) и Q(x, y). 19 М. Морс, Топологические методы теории функций комплексного переменного, ИЛ, 1951. 20 Детальное исследование особых точек читатель найдет, нaпример, в следующих книгах: В.В. Немыцкий и В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, М. -Л., 1949; Э.А. Коддингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958; С. Лефшец, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, Москва 1961. 111 Каждое решение x = x(t), y = y(t) (13.2) системы (13.1) удобно рассматривать как параметрически заданную кривую на плоскости с прямоугольными координатами (x, y). Например, система dx dt = −y, dx dt = x (13.3) имеет двупараметрическое семейство решений x = C 1 cos(t + C 2 ), y = C 1 sin(t + C 2 ) (13.4) (C 1 и C 2 — произвольные постоянные), которое определяет на плоскости семейство концентрических окружностей (см. рис. 13.1). Рис. 13.1 В качестве второго примера рассмотрим систему dx dt = y, dy dt = x. (13.5) Ее решениям x = C 1 e t + C 2 e −t , y = C 1 e t − C 2 e −t (13.6) на плоскости соответствует семейство кривых, изображенное на рис. 13.2. Наконец, в качестве последнего примера рассмотрим систему |