Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
М.А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, А.И. ПЕРОВ, А.И. ПОВОЛОЦКИЙ, П.П. ЗАБРЕЙКО ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1963 517.2 К 78 АННОТАЦИЯ Книга посвящена важному геометрическому методу анализа и его приложе- ниям к разным задачам алгебры многочленов, теории функций, теории обыкно- венных дифференциальных уравнений. Ряд существенных результатов принад- лежит авторам книги. Книга может быть рекомендована студентам физико-математических спе- циальностей, аспирантам, научным работникам, интересующимся различными нелинейными проблемами. Она может также служить введением в круг идей и методов интенсивно развивающегося в настоящее время нелинейного функцио- нального анализа. ПРЕДИСЛОВИЕ При изучении математических объектов наиболее часто используются такие их характеристики, которые могут принимать любые числовые значения из некото- рых промежутков (значение функции в точке, мера множества, длина вектора и т.д.). Однако не менее важную роль играют дискретные (например, целочислен- ные) характеристики. Одной из них — вращению плоского векторного поля на замкнутых кривых — посвящена эта книга. Методы, изложенные в книге, восходят к Коши. Дальнейшее их развитие свя- зано с именами Пуанкаре, Брауэра, Боля и др. Эти методы играют существенную, а иногда и определяющую роль в разнообразных нелинейных проблемах. В книге изложены приложения теории плоских векторных полей к теоремам существования решений у систем уравнений, к задаче о расположении корней мно- гочлена, к исследованию особых точек и периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений, к изучению критических точек гармонических и псевдогармонических функций, к осцилляционным теоремам, к двухточечной кра- евой задаче и др. Книга рассчитана на читателя, владеющего лишь основами математического анализа. Поэтому в ней не нашли отражения обобщения теории плоских полей на многомерный и, тем более, бесконечномерный случай с приложениями к вариаци- онному исчислению, математической физике, нелинейным интегральным уравне- ниям, функциональному анализу и т.д. Отметим, что для этих приложений важны не только обобщения теории плоских полей, но и сами плоские поля. Книга может служить введением в более сложные разделы математики, свя- занные с приложениями топологических методов в анализе. В основу книги положен спецкурс, прочитанный М.А. Красносельским в Во- ронежском университете, и ряд докладов и работ, прочитанных и выполненных в воронежском семинаре по функциональному анализу. При окончательной подготовке книги учтены замечания и ценные советы А.Д. Мышкиса, который взял на себя труд внимательного ознакомления с рукописью. Авторы пользуются приятной возможностью выразить ему свою искреннюю бла- годарность. Авторы Воронеж, 1961 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Вращение векторного поля 1 § 1. Угловая функция 1 1.1. Векторное поле 1 1.2. Угловая функция 2 1.3. Вращение поля 3 1.4. Формула Пуанкаре 5 1.5. Вычисление вращения 6 § 2. Векторные поля на замкнутых кривых 8 2.1. Замкнутые кривые 8 2.2. Вращение и угловая функция 9 2.3. Формула Пуанкаре 12 2.4. 0б одном признаке отличия вращения от нуля 12 2.5. Нечетные поля 13 2.6. Поле касательных 14 § 3. Особые точки векторного поля 16 3.1. Вращение на границе многосвязной области 16 3.2. Вращение поля без нулевых векторов 17 3.3. Особая точка и ее индекс 18 3.4. Теорема об алгебраическом числе особых точек 19 3.5. Продолжение векторных полей 21 3.6. Продолжение без нулевых векторов 22 § 4. Гомотопные векторные поля 24 4.1. Определение гомотопности 24 4.2. Основная теорема 24 4.3. Обратная теорема 25 4.4. Признаки гомотопности 26 4.5. Векторные поля, близкие к нечетным 27 4.6. Вращение на границе произвольной области 28 4.7. О векторных полях на двумерных многообразиях 29 4.8. Произведение вращений 31 4.9. Устойчивость особой точки 32 § 5. Порядок точки и степень отображения 33 5.1. Порядок точки относительно образа границы 33 5.2. Порядок точки относительно локально простой кривой 35 5.3. Степень отображения на окружность 38 5.4. Локальная степень отображения 39 5.5. Степень отображения области 40 5.6. Угловой порядок локально простой кривой 42 5.7. О вращении разрывных полей 47 Глава 2. Индекс особой точки 48 § 6. Векторные поля с главной линейной частью 48 6.1. Вычисление индекса по главной части поля 48 6.2. Линейные поля 50 6.3. Вычисление индекса по линеаризованному полю 51 6.4. Асимптотически линейные поля 53 § 7. Векторные поля с вырожденной линейной частью 53 7.1. Общая формула 53 7.2. Вычисление индекса 55 7.3. Еще один способ вычисления индекса 57 § 8. Векторные поля с главной полилинейной частью 60 8.1. Полилинейное поле 60 8.2. Общая теорема 61 8.3. Частный класс полилинейных полей 62 8.4. Общий случай полилинейных полей 65 8.5. Билинейные поля 67 8.6. Основная формула для вычисления индекса 70 8.7. Асимптотически полилинейные поля 73 § 9. Особые точки аналитических функций 74 9.1. Функция w = z n 74 9.2. Индекс нуля аналитической функции 75 9.3. Индекс полюса 75 Глава 3. Приложения 77 § 10. Разрешимость уравнений 77 10.1. Теорема Боля - Брауэра 77 10.2. Основная теорема алгебры 79 10.3. О нулях и полюсах аналитических функций 81 10.4. Системы двух и трех уравнений 82 10.5. Системы с полилинейной главной частью 84 10.6. Существование неявной функции 86 10.7. О расположении корней многочлена 88 10.8. Четность степени эллиптических многочленов 91 § 11. Векторные поля градиентов функции 92 11.1. Потенциальные системы уравнений 92 11.2. Индекс критической точки 93 11.3. Относительное вращение поля 95 11.4. Точки локального экстремума на границе области 98 11.5. Входящие и выходящие точки локального экстремума 99 11.6. Устойчивость критических значений 101 § 12. Критические точки гармонических и псевдогармонических функций 102 12.1. Структура линий уровня гармонической функции 102 12.2. Индексы особых точек гармонических функций 104 12.3. Вращение поля градиентов гармонической функции 106 12.4. Псевдогармонические функции 106 § 13. Особые точки дифференциальных уравнений 111 13.1. Определения 111 13.2. Признаки существования особых точек 114 13.3. Индекс особой точки 118 13.4. Признак неустойчивости состояния равновесия 121 13.5. Уравнение второго порядка 124 § 14. Линейные краевые задачи 125 14.1. Угловая функция решения 125 14.2. Дифференциальные и интегральные неравенства 128 14.3. Теорема Штурма 130 14.4. Об уравнениях второго порядка 134 14.5. Классы G k 135 14.6. Задача о собственных значениях 140 14.7. Задача Штурма-Лиувилля 142 14.8. Об устойчивости собственных значений краевой задачи 134 § 15. Нелинейные краевые задачи 147 15.1. Вспомогательные предложения 147 15.2. Теоремы сравнения 151 15.3. Классы H k 155 15.4. Условия разрешимости краевой задачи 156 15.5. Оценка числа решений краевой задачи 163 15.6. Задача о собственных значениях 167 § 16. Метод направляющей функции в задаче о периодических решениях 172 16.1. Оператор Пуанкаре-Андронова 172 16.2. Лемма 174 16.3. Направляющая функция 175 16.4. Знакопостоянная направляющая функция 177 16.5. Основная теорема 178 16.6. Существование ограниченных решений 183 Дополнение 185 § 17. Вычисление индекса нулевой особой точки в общем случае 185 17.1. Предварительные замечания 185 17.2. Основная теорема 187 17.3. Лучи вырождения 190 17.4. Вспомогательные леммы 191 17.5. Исследование основного случая 194 17.6. Исследование случаев вырождения 195 17.7. Пример 198 Литература 202 Предметный указатель 204 ГЛАВА 1 ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ § 1. Угловая функция 1.1. Векторное поле. Пусть в каждой точке M некоторого плоского множе- ства Ω задан вектор Φ(M), лежащий в той же плоскости. В этом случае будем говорить, что на Ω задано векторное поле Φ. Если на плоскости определена неко- торая прямоугольная система координат, то задание векторного поля Φ(M) эк- вивалентно заданию двух вещественных функций φ(M) и ψ(M) точки M ∈ Ω — компонент векторов Φ(M). Векторное поле будем называть непрерывным, если функции φ(M), ψ(M) непре- рывны. Векторные поля встречаются и их приходится изучать при решении разнооб- разных математических задач. В частности, во многих случаях векторы Φ(M) определяются как сдвиги точек, определяемые некоторым преобразованием A, заданным на Ω: Φ(M) = A(M) − M. В качестве второго примера рассмотрим систему дифференциальных уравне- ний dx dt = P (x, y), dy dt = Q(x, y). (1.1) Если решение этой системы рассматривать как закон движения точки в плос- кости с прямоугольными координатами (x, y), то векторное поле Φ(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) (1.2) — это поле скоростей движущихся по упомянутым законам точек. Выписать ре- шения системы (1.1) в явном виде обычно невозможно, а общее представление о поле скоростей (1.2) в ряде случаев можно получить без труда. Априори ясно, что общие характеристики поля скоростей должны нести существенную информацию о решениях системы (1.1). 1 Рассмотрим, наконец, функцию f (z) комплексного переменного z = x + iy. Изучение функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (1.3) равносильно изучению векторного поля Φ(x, y) = (u(x, y), v(x, y)). (1.4) 1.2. Угловая функция. Пусть непрерывное векторное поле Φ(M) задано на некоторой жордановой кривой Γ без самопересечений. Если Γ — гладкая кривая, то примерами могут быть поля единичных касательных или нормальных векторов, направленных в определенную сторону (рис. 1.1). Рис. 1.1 Допустим, что кривая Γ задана в параметрической форме: x = x(t), y = y(t) (a ≤ t ≤ b). (1.5) Тогда задание векторного поля Φ(x, y) = (φ(x, y), ψ(x, y)) (1.6) на кривой Γ равносильно заданию вектор-функции Φ(t) = (φ(x(t), y(t)), ψ(x(t), y(t))) (1.7) на отрезке [a, b]. Пусть вектор-функция Φ(t) непрерывна и все векторы Φ(t) не равны нулю. Определим для каждого t ∈ [a, b] угол (в радианах) между векторами Φ(t) и Φ(a), отсчитанный от Φ(a) в положительном направлении (против хода часовой стрел- ки). Этот угол является многозначной функцией t. Через θ(t) обозначим непре- рывную ветвь этой функции, обращающуюся в нуль при t = a (см. рис. 1.2), и назовем ее угловой функцией поля Φ на кривой Γ. В качестве примера рассмотрим векторное поле Φ(x, y) = (x, y) (1.8) на кривой (половине единичной окружности) x = cos πt, y = sin πt (0 ≤ t ≤ 1). (1.9) 2 Очевидно (рассмотрите чертеж), θ(t) = πt. Упражнение 1.1. Найти и построить графики угловых функций векторных полей, заданных на кривой (1.9) равенством: 1) Φ(x, y) = (y, −x), 2) Φ(x, y) = (x 2 − y 2 , 2xy), 3) Φ(x, y) = (x 2 , y 2 ), 4) Φ(x, y) = µ 1, 1 2 (x + |x|) ¶ . Из определения угловой функции вытекает, что она не меняется, если все век- торы поля поворачивать на один и тот же угол. Угловая функция не изменится при замене каждого вектора Φ(x, y) единичным вектором того же направления, то есть при переходе к “нормированному” полю Φ 1 (x, y) = Φ(x, y) kΦ(x, y)k (1.10) (через kΦk здесь и ниже обозначается длина вектора Φ). Формула (1.10) имеет смысл, так как угловая функция определена лишь для полей, не имеющих нулевых векторов. Рис. 1.2 В заключение пункта подчеркнем, что угловая функция зависит от того, каким способом на кривой Γ введен параметр. Упражнение 1.2. Как изменится угловая функция, если от параметра t, меняюще- гося на [0, 1], перейти к новому параметру τ , связанному с t равенством: 1) t = τ 2 , 2) t = 1 − τ , 3) t = t(τ )? 1.3. Вращение поля. Приращение угловой функции θ(t) на всем отрезке [a, b], выраженное в единицах полного оборота, то есть величину γ(Φ, Γ) = 1 2π (θ(b) − θ(a)) = 1 2π θ(b), (1.11) назовем вращением поля Φ на кривой Γ. Введение на кривой Γ параметра t превращает Γ в ориентированную кривую (перемещение точки при возрастании t задает эту ориентацию — см. рис. 1.3). 3 Приведенное выше определение вращения векторного поля зависит от способа введения параметра. Нетрудно видеть, что вращение поля Φ на кривой Γ при двух способах введения параметра одинаково, если эти параметры определяют на Γ одинаковую ориентацию. Если же две параметризации определяют разные ориентации, то вращения будут отличаться лишь знаком. Рис. 1.3 Таким образом, вращение поля определяется лишь ориентацией кривой. При переходе к противоположной ориентации абсолютная величина вращения сохра- няется, а знак вращения меняется. Из проведенных в предыдущем пункте рассуждений вытекает, что вращение не меняется при повороте всех векторов поля на один и тот же угол и при нормиро- вании поля. Если ориентированная кривая Γ является объединением нескольких ориентиро- ванных кривых Γ 1 , Γ 2 , . . . , Γ n (см. рис. 1.4), то вращение поля Φ на Γ равно сумме вращений на Γ 1 , Γ 2 , . . . , Γ n (докажите). Рис. 1.4 Вращение может быть любым вещественным числом. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что θ(t) является угловой функцией поля Φ(t) = (cos θ(t), sin θ(t)), (1.12) рассматриваемого на отрезке x = t, y = 0 (0 ≤ t ≤ 1); (1.13) 4 вращение γ этого поля равно 1 2π θ(1) и может быть любым, так как непрерывная функция θ(t) может выбираться произвольным способом. Если на двух концах кривой Γ векторы поля Φ направлены одинаково, то из- менение угловой функции кратно 2π и, следовательно, вращение является целым числом. Аналогично, если на концах кривой Γ векторы поля Φ направлены про- тивоположно, то γ(Φ, Γ) = n + 1 2 , где n — некоторое целое число. Вращение векторного поля параллельных векторов равно нулю, так как в этом случае θ(t) ≡ 0. Однако вращение может быть равно нулю и в других случаях. Упражнение 1.3. Вычислить вращение на полуокружности x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0 (при различной ориентации) следующих векторных полей: 1) Φ(x, y) = (x, y), 2) Φ(x, y) = (y, −x), 3) Φ(x, y) = (x 2 + y 2 , x 2 − y 2 ), 4) Φ(x, y) = (x 3 − 3xy 2 , 3x 2 y − y 3 ). 1.4. Формула Пуанкаре. Предположим дополнительно, что кривая Γ (x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b) кусочно гладкая, а векторное поле Φ(x, y) = (φ(x, y), ψ(x, y)) непрерывно дифференцируемо в том смысле, что функции φ(x, y) и ψ(x, y) непре- рывно дифференцируемы. Пусть вектор Φ(t) = (φ(x(t), y(t)), ψ(x(t), y(t))) образует с осью абсцисс угол α(t). Очевидно, θ(t) = α(t) − α(a) и dθ = dα = d arctg ψ φ = φ dψ − ψ dφ φ 2 + ψ 2 . (1.14) Отсюда вытекает, что γ(Φ, Γ) = 1 2π (θ(b) − θ(a)) = 1 2π Z Γ dθ(t), то есть γ(Φ, Γ) = 1 2π Z Γ φ(x, y) dψ(x, y) − ψ(x, y) dφ(x, y) φ 2 (x, y) + ψ 2 (x, y) . (1.15) Эта формула имеет смысл, так как знаменатель в подынтегральном выражении в нуль не обращается — вращение (как и угловая функция) определено лишь для непрерывных полей без нулевых векторов. Если положить φ(x(t), y(t)) = φ(t), ψ(x(t), y(t)) = ψ(t), 5 то формулу Пуанкаре (1.15) можно записать при помощи обыкновенного интегра- ла γ(Φ, Γ) = 1 2π b Z a φ(t)ψ 0 (t) − ψ(t)φ 0 (t) φ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. (1.16) Для фактического вычисления вращения формула Пуанкаре малоудобна 1 1.5. Вычисление вращения. После введения параметра вычисление враще- ния поля на произвольной кривой сводится к вычислению вращения поля Φ( |