Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
Найти необходимые и достаточные условия, при которых для данного поля Φ можно указать такое преобразование A, чтобы было выполнено условие (2.10). 4) Для любого преобразования A без неподвижной точки построить поле Φ, удовле- творяющее условию (2.10). 2.5. Нечетные поля. Поле Φ на окружности Γ называется нечетным, если в диаметрально противоположных точках векторы поля направлены противополож- но (см. рис. 2.5). Из теоремы 2.1 вытекает, что вращение нечетного поля отлично от нуля (К. Борсук). Докажем более точное утверждение. Теорема 2.2 (Борсук, Xопф). Вращение нечетного поля нечетно. Доказательство. Вращение γ поля Φ на окружности x = R cos t, y = R sin t (0 ≤ t ≤ 2π) равно сумме вращений γ 1 и γ 2 на верхней и нижней полуокружностях, соответ- ствующих изменению t в промежутках [0, π] и [π, 2π]. Угловые функции поля Φ 13 на этих полуокружностях совпадают в силу нечетности поля, и, следовательно, γ 1 = γ 2 Рис. 2.5 На концах полуокружности векторы поля направлены противоположно. Поэто- му γ 1 = n 0 + 1 2 , где n 0 — некоторое целое число. Значит, γ(Φ, Γ) = γ 1 + γ 2 = 2n 0 + 1. Теорема доказана. Упражнение 2.5. Поле Φ на окружности называется четным, если в диаметраль- но противоположных точках векторы направлены одинаково. Показать, что вращение четного поля четно. Упражнение 2.6. Пусть в диаметрально противоположных точках векторы поля Φ симметричны относительно некоторой прямой. Показать, что вращение поля равно нулю. Упражнение 2.7. Преобразование A замкнутой кривой Γ в себя называется инво- люцией, если A 2 (M ) = A(A(M )) = M (M ∈ Γ). Показать, что вращение непрерывного векторного поля Φ на Γ нечетно, если векторы по- ля в точках M и A(M ) при всех M ∈ Γ направлены противоположно, где A — некоторая непрерывная инволюция. 2.6. Поле касательных. Рассмотрим на окружности x 2 + y 2 = R 2 (рис. 2.6) поле касательных. Это поле можно получить из поля Ψ(x, y) внешних нормалей поворотом на постоянный угол π 2 . Поэтому вращение поля касательных равно вращению поля нормалей и, следовательно, равно 1. Этот факт справедлив в более общем случае. Пусть Γ — замкнутая гладкая кривая. Гладкость кривой означает, что на ней можно построить непрерывное поле Φ касательных (см. рис. 2.7), направление на которых совпадает с положительным направлением обхода Γ. Теорема 2.3. Вращение поля Φ касательных равно 1. 14 Рис. 2.6 Рис. 2.7 Перед тем, как перейти к доказательству этой теоремы, рассмотрим произволь- ный замкнутый многоугольник без кратных точек (без самопересечений), стороны которого в порядке положительного обхода обозначим через a 1 , a 2 , . . . , a n (см. рис. 2.8). Пусть α i (i = 1, 2, . . . , n) — угол, отсчитанный от положительного направле- ния a i к положительному направлению a i+1 и взятый в промежутке (−π, π). Для многоугольника, изображенного на рис. 2.8, угол α 3 отрицателен, а остальные α i положительны. Легко видеть, что α 1 + α 2 + . . . + α n = 2π. Перейдем к доказательству теоремы 2.3. Рис. 2.8 Гладкость кривой Γ и равномерная непрерывность угловой функции θ(t) (a ≤ t ≤ b) поля касательных позволяет произвести такое разбиение кривой Γ точками M(t 1 ), M (t 2 ), . . . , M(t n ) (a = t 1 < t 2 < . . . < t n < t n+1 = b), что: а) приращение ∆θ i угловой функции на каждом отрезке [t i , t i+1 ] будет равно углу между векторами поля в точках t i и t i+1 (см. п. 1.6) и не будет превышать по абсолютной величине π; б) касательные к Γ в точках M(t i ) при продолжении до пересечения с касатель- ными в точках M(t i−1 ) и M(t i+1 ) образуют замкнутый многоугольник без кратных точек (см. рис. 2.9). 15 Рис. 2.9 Для этого многоугольника определенные выше углы α i совпадают с ∆θ i . По- этому γ(Φ, Γ) = 1 2π θ(b) = 1 2π n X i=1 ∆θ i = 1 2π n X i=1 α i = 1. Теорема доказана. Если все касательные повернуть на угол π 2 µ или − π 2 ¶ , то мы получим поле внутренних (или внешних) нормалей. Вращение поля при таком повороте не ме- няется. Итак, справедлива Теорема 2.4. Вращение поля внутренних (или внешних) нормалей к гладкой замкнутой кривой равно 1. Упражнение 2.8. Вычислить вращение поля касательных, направление которых противоположно положительному направлению обхода Γ. § 3. Особые точки векторного поля 3.1. Вращение на границе многосвязной области. Пусть в области Ω 0 , ограниченной кривой Γ 0 , лежат не имеющие общих точек замкнутые кривые Γ 1 , . . . , Γ ν , ограничивающие соответственно области Ω 1 , . . . , Ω ν . Будем предполагать, что области Ω 1 , . . . , Ω ν не имеют общих точек (см. рис. 3.1). Рис. 3.1 Область Ω, состоящая из точек, внутренних относительно Γ 0 и внешних отно- сительно всех кривых Γ 1 , . . . , Γ ν , называется (ν + 1)-связной областью. Границей области Ω является совокупность кривых Γ 1 , . . . , Γ ν . Каждой из этих кривых при- пишем такое направление обхода, при котором область Ω остается слева (см. рис. 16 3.1). Это направление на Γ 0 совпадает с направлением против хода часовой стрел- ки, а на остальных кривых — по ходу часовой стрелки. Через Γ будем обозначать всю границу области Ω, то есть объединение кривых Γ 0 , Γ 1 , . . . , Γ ν Пусть на Γ задано непрерывное векторное поле Φ без нулевых векторов. Вра- щение этого поля на каждой кривой Γ 0 , Γ 1 , . . . , Γ ν обозначим соответственно через γ 0 , γ 1 , . . . , γ ν (вращение определяется, как указано в § 2, для кривых с направле- нием обхода против хода часовой стрелки). Вращение γ(Φ; Γ) поля Φ на границе Γ области Ω определим равенством γ(Φ, Γ) = γ(Φ, Γ 0 ) − ν X i=1 γ(Φ, Γ i ). (3.1) Рис. 3.2 Рис. 3.3 В некоторых случаях формулу (3.1) удобно записывать в другой форме. До- говоримся в дальнейшем каждую замкнутую кривую Γ ∗ рассматривать вместе с положительным направлением обхода (против часовой стрелки). Символом −Γ ∗ будем обозначать ту же кривую с противоположным направлением обхода. Пере- ход к противоположному направлению обхода меняет знак вращения: γ(Φ, −Γ ∗ ) = −γ(Φ, Γ ∗ ). (3.2) Поэтому формулу (3.1) можно записать в виде γ(Φ, Γ) = γ(Φ, Γ 0 ) + γ(Φ, −Γ 1 ) + . . . + γ(Φ, −Γ ν ). (3.3) Иначе говоря, вращение на Γ равно сумме вращений на всех замкнутых кривых, из которых состоит Γ, причем эти кривые берутся с соответствующей ориентацией. Упражнение 3.1. Вычислить вращение поля Φ(x, y) = (x, y) на границах областей, указанных на рис. 3.2 и 3.3. 3.2. Вращение поля без нулевых векторов. До сих пор рассматривались векторные поля, заданные на кривых. Начиная с этого пункта, как правило, рас- сматриваются поля, заданные на некоторых замкнутых областях Ω (областях вме- сте с их границей). В этом пункте мы будем предполагать, что область Ω (ν + 1)- связна и что ее граница состоит из ν +1 жордановой замкнутой кривой (см. преды- дущий пункт). 17 Теорема 3.1. Пусть непрерывное векторное поле Φ в замкнутой области Ω не имеет нулевых векторов. Тогда вращение γ(Φ, Γ) поля Φ на границе Γ области Ω равно нулю. Доказательство. Из непрерывности поля Φ вытекает существование такого δ > 0, что для любых двух точек M 1 и M 2 , расстояние между которыми меньше δ, угол между векторами Φ(M 1 ) и Φ(M 2 ) не превышает π 2 Область Ω можно разбить на конечное число областей O 1 , O 2 , . . . , O n , диаметр которых меньше δ, при помощи конечного числа жордановых дуг 2 (см. рис. 3.4). Рис. 3.4 Обозначим через L 1 , L 2 , . . . , L m (см. рис. 3.4) жордановы дуги, из которых мож- но составить границы Π 1 , Π 2 , . . . , Π n соответственно областей O 1 , O 2 , . . . , O n . При этом каждая дуга L i лежащая на границе области Ω, является частью грани- цы только одного из множеств O 1 , O 2 , . . . , O n , причем ориентации на этой дуге, порожденные ориентацией границы Ω и ориентацией границы соответствующей области O j , одинаковы. Дуги L i , лежащие внутри Ω, являются частями грани- цы двух областей O j 1 и O j 2 , причем ориентации на таких дугах, порождаемые разными областями, различны. Из проведенных рассуждений вытекает, что сумма вращений поля Φ на всех границах Π 1 , Π 2 , . . . , Π n областей O 1 , O 2 , . . . , O n равна вращению γ(Φ, Γ) поля Φ на границе Γ области Ω: γ(Φ; Γ) = γ(Φ; Π 1 ) + γ(Φ; Π 2 ) + . . . + γ(Φ; Π n ), (3.3) так как вращение на каждой замкнутой кривой, из которых состоит Γ, и на каж- дой замкнутой кривой Π 1 , Π 2 , . . . , Π n равно сумме вращений на тех дугах L i , из которых эти замкнутые кривые состоят. На каждой кривой Π i вращение γ(Φ; Π i ) поля Φ равно нулю, так как на ней нет точек, в которых векторы поля направлены противоположно (см. п. 1.5). Таким образом, из (3.3) вытекает, что γ(Φ, Γ) = 0. Теорема доказана. 3.3. Особая точка и ее индекс. Пусть векторное поле Φ задано и непрерывно во всех точках области Ω, кроме, может быть, некоторых. Те точки области, в 2 На доказательстве этого геометрически очевидного факта мы не останавливаемся. Для даль- нейших построений, по существу, достаточно знать, что на указанные части можно разбить кру- говое кольцо и область, граница которой состоит из отрезков и дуг окружностей. 18 которых поле неопределенно или разрывно, а также точки, в которых векторы поля равны нулю, назовем особыми точками поля Φ . Особая точка M 0 называется, как обычно, изолированной, если в некоторой ее окрестности нет других особых точек. Поле Φ на каждой окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке M 0 не имеет нулевых векторов. Поле Φ на кольце, заключенном между двумя такими окружностями S 1 и S 2 (рис. 3.5), также не имеет нулевых векторов. В силу теоремы 3.1 γ(Φ; S 2 ) + γ(Φ, −S 1 ) = 0, то есть вращение поля на окружностях S 1 и S 2 одинаково. Это общее вращение называется индексом особой точки M 0 Рис. 3.5 Подчеркнем, что понятие индекса относится лишь к изолированным особым точкам. Упражнение 3.2. Вычислить индекс особой точки M 0 = (0, 0) следующих вектор- ных полей: 1) Φ(x, y) = (x, y), 2) Φ(x, y) = (y, −x), 3) Φ(x, y) = (x 2 + y 2 , x 2 − y 2 ), 4) Φ(x, y) = (x 3 − 3xy 2 , 3x 2 y − y 3 ), 5) Φ(x, y) = µ x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 ¶ , 6) Φ(x, y) = (x + y, 2x + 2y). Вычисление индекса особой точки является важной и в ряде случаев трудной задачей. Вычислению индекса полностью посвящена вторая глава книги и допол- нение. 3.4. Теорема об алгебраическом числе особых точек. Пусть поле Φ на за- мкнутой области Ω с границей Γ имеет конечное число особых точек M 1 , M 2 , . . . , M k , лежащих внутри Ω. Индексы этих особых точек обозначим через γ 1 , γ 2 , . . . , γ k Сумма γ 1 + γ 2 + . . . + γ k называется алгебраическим числом особых точек. Теорема 3.2. Алгебраическое число особых точек равно вращению поля Φ на Γ. 19 Доказательство. Опишем вокруг каждой точки M i (i = 1, . . . , k) окружность S, настолько малого радиуса, чтобы ограниченные этими окружностями круги T i , не имели общих точек друг с другом и с границей Γ области Ω (См. рис. 3.6). Обозначим через Ω ∗ область, граница Γ ∗ которой состоит из границы Γ области Ω и их всех окружностей S 1 , . . . , S k . В силу теоремы 3.1 вращение γ(Φ; Γ ∗ ) равно нулю. Но γ(Φ; Γ ∗ ) = γ(Φ; Γ) + γ(Φ; −S 1 ) + . . . + γ(Φ; −S k ), и поэтому γ(Φ; Γ) = −γ(Φ; −S 1 ) − . . . − γ(Φ; −S k ) = γ(Φ; S 1 ) + . . . + γ(Φ; S k ). Рис. 3.6 Остается заметить, что по определению γ(Φ; S 1 ) = γ 1 , . . . , γ(Φ, S k ) = γ k . Теорема доказана. Теоремой 3.2 можно пользоваться в двух планах. Можно по индексам всех осо- бых точек вычислять вращение на границе области. Можно по вращению γ(Φ; Γ) на границе Γ области и по индексам известных особых точек делать вывод о су- ществовании неизвестных нам особых точек, если вращение γ(Φ; Γ) окажется от- личным от суммы индексов известных нам особых точек. Упражнение 3.3. Вычислить вращение на границе указанной на рис. 3.7 фигуры векторных полей из упражнения 3.2. Рис. 3.7 20 3.5. Продолжение векторных полей. Непрерывное векторное поле e Φ, опре- деленное на множестве f M, будем называть непрерывным продолжением поля Φ, определенного на множестве M, если M ⊆ f M и если на M поля Φ и e Φ совпа- дают. В тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, мы будем обозначать поле и его продолжение одинаковым символом. Продолжение непрерывного векторного поля равносильно продолжению двух непрерывных функций — компонент векторного поля. Непрерывные функции, за- данные на замкнутом множестве плоскости, всегда можно продолжить с сохране- нием непрерывности на всю плоскость 3 . Таким образом, вопрос о существовании непрерывного продолжения векторного поля не возникает. Нас в этом пункте будет интересовать возможность построения специальных продолжений — либо продол- жений без нулевых векторов, либо продолжений с минимальным числом нулевых векторов. Если векторное поле Φ задано только на концах жордановой дуги и отлично от нуля, то его непрерывное продолжение без нулевых векторов на всю дугу легко построить, поворачивая вектор поля при движении по кривой и непрерывно меняя его длину. На детальном доказательстве мы не останавливаемся. Упражнение 3.4. Пусть непрерывное векторное поле без нулевых векторов задано на замкнутом множестве F замкнутой кривой Γ. Как построить непрерывное продолже- ние этого поля без нулевых векторов на всю кривую Γ? Предположим теперь, что поле Φ(x, y) = (φ(x, y), ψ(x, y)) (3.4) на окружности x 2 +y 2 = R 2 не имеет нулевых векторов. Непрерывное продолжение этого поля на круг x 2 + y 2 ≤ R 2 может быть определено, например, равенством Φ(x, y) = p x 2 + y 2 R Φ Ã Rx p x 2 + y 2 , Ry p x 2 + y 2 ! . (3.5) Это продолжение представляет для нас тот интерес, что оно имеет лишь одну особую точку (лишь в одной точке продолженное поле аннулируется). Каждая замкнутая область Ω, границей которой является замкнутая жорданова кривая Γ, гомеоморфна единичному кругу. Это значит, что существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение |