Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов

• Название: М. А. Красносельский, А. И. Перов
• Анкор: Векторные поля
• Дата: 29.06.2021
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ.pdf
• Тип: Книга; #222479
• страница: 4 из 28

B области Ω на круг K; при этом
Γ переходит в границу (окружность) круга K. Пусть на Γ задано непрерывное поле
Φ без нулевых векторов. Определим на единичной окружности поле Ψ равенством
Ψ(M) = Φ(B
−1
(M)).
Поле Ψ продолжим на круг K с одной особой точкой. Тогда поле e
Φ(M ) = e
Ψ(B(M))
3
Эта теорема была доказана Л. Брауэром, а в значительно более общей форме установлена
П.С. Урысоном (см. П.С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функций,
Гостехиздат, 1948, стр. 284).
21

будет непрерывным продолжением с одной особой точкой поля Φ с кривой Γ на
Ω. Таким образом, непрерывное поле без нулевых векторов можно непрерывно продолжить с одной особой точкой с замкнутой кривой на ограниченную этой кривой область.
Рассмотрим более сложный случай, когда непрерывное поле Φ без нулевых век- торов задано на состоящей из нескольких замкнутых кривых границе Γ области
Ω. Область Ω можно дополнительными дугами L
1
, L
2
, . . . , L
k
рассматриваемыми как разрезы (см. рис. 3.8), превратить в односвязную область. Поле Φ на дополни- тельные дуги можно продолжить без нулевых векторов. После этого мы получим непрерывнoe векторное поле на границе односвязной области, границей которой является замкнутая кривая (каждый разрез дает два участка этой кривой). По уже доказанному поле можно продолжить с одной неподвижной точкой.
Рис. 3.8
Доказанный факт справедлив и для общего случая связной области Ω с гра- ницей Γ. Для этого вначале непрерывно продолжим поле Φ произвольным обра- зом. Множество F особых точек этого продолжения Φ
1
будет замкнуто и будет находиться на положительном расстоянии δ
0
от Γ. Рассмотрим множество всех открытых кругов радиуса
δ
0 2
с центрами в точках множества F и выберем из этих кругов конечное покрытие множества F . Объединение этих кругов K является отрытым множеством. Векторное поле Φ
1
, рассматриваемое только на Ω \ K, обо- значим через Φ
2
. Множество K является объединением конечного числа кругов;
поэтому оно состоит из конечного числа компонент K
1
, . . . , K
r
. Продолжим поле
Φ
2
в поле Φ
3
, определенное на всем Ω и имеющее в каждой компоненте не более одной особой точки. Поле Φ
3
будет продолжением поля Φ на Ω с конечным чис- лом особых точек. Так как область Ω связна, то можно все особые точки поля Φ
3
соединить ломаной Π, лежащей внутри Ω. Пусть расстояние от Π до Γ равно δ
1
Через K
∗
обозначим
δ
1 2
-окpecтность кривой Π. Поле Φ
3
, рассматриваемое только на Ω \ K
∗
, обозначим через Φ
4
; поле Φ
4
будет непрерывным продолжением поля Φ
без нулевых векторов с Γ на Ω \ K
∗
. Область K
∗
связна, и граница ее состоит из конечного числа кривых, поэтому поле Φ
4
можно продолжить непрерывно с одной особой точкой на K
∗
. Полученное поле Φ
5
будет непрерывным продолжением поля
Φ с Γ на Ω, имеющим только одну особую точку.
3.6. Продолжение без нулевых векторов. Особый интерес представляет возможность продолжения векторного поля на всю область без нулевых векторов.
Из теоремы 3.1 вытекает, что такие продолжения можно строить лишь в том слу-
22

чае, если вращение γ(Φ; Γ) поля Φ на Γ равно нулю. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение.
Теорема 3.3. Пусть вращение векторного поля Φ на границе (ν + 1)-связной
области Ω, граница Γ которой состоит из ν + 1 замкнутой жордановой кривой,
равно нулю.
Тогда поле Φ можно непрерывно продолжить на Ω без нулевых векторов.
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда поле Φ задано на окруж- ности S, центр которой без ограничения общности можно считать расположенным в начале координат. Окружность S зададим в параметрической форме:
x = R cos t, y = R sin t (0 ≤ t ≤ 2π).
Векторное поле Φ полностью определяется угловой функцией θ(t) и функцией
r(t) = kΦ(t)k.
Поле e
Φ на круге x
2
+y
2
≤ R
2
зададим, используя полярные координаты ρ, t (x =
ρ cos t, y = ρ sin t). Положим
ke
Φ(ρ, t)k =
Rr(t)
ρ + (R − ρ)r(t)
(0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ t ≤ 2π)
и
α(ρ, t) =
ρ
R
θ(t),
(0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ t ≤ 2π),
где через α(ρ, t) обозначен угол между вектором e
Φ(ρ, t) и вектором Φ(0). Легко видеть, что e
Φ(ρ, t) является непрерывным продолжением без нулевых векторов на круг (проверьте!).
Перейдем к общему случаю. Как было показано в предыдущем пункте, можно построить продолжение Φ
1
поля Φ на область Ω с одной особой точкой M
0
Из теоремы 3.2 вытекает, что индекс этой особой точки равен нулю.
Обозначим через K круг с центром в точке M
0
, полностью лежащий в Ω. На границе S этого круга в силу той же теоремы 3.2 вращение поля Φ
1
равно нулю.
Через Φ
2
обозначим поле, определенное на Ω\K и совпадающее на этом множестве с Φ
1
. По уже доказанному поле Φ
2
можно продолжить на круг K без нулевых векторов.
Теорема доказана.
Упражнение 3.5.
Можно ли продолжить без нулевых векторов на квадрат |x| +
|y| ≤ 1 векторное поле Φ(x, y), заданное на границе равенствами
Φ(x, y) =







(x, y)
при
x, y ≥ 0,
(0, 1)
при x ≤ 0, y ≥ 0,
(y + 1, x + 1) при
x, y ≤ 0
(1, 0)
при
x ≥ 0, y ≤ 0
Упражнение 3.6.
Можно ли продолжить без нулевых векторов на круговое кольцо
1 ≤ x
2
+ y
2
≤ R
2
векторное поле Φ, векторы которого на внешней окружности опреде-
ляются равенством Φ(x, y) = (x, y), а на внутренней — равенством Φ(x, y) = (−x, y)?
23

§ 4. Гомотопные векторные поля
4.1. Определение гомотопности. Пусть на некотором ограниченном замкну- том множестве M задано однопараметрическое семейство векторных полей Φ(M, λ)
(M ∈ M; 0 ≤ λ ≤ 1). Допустим, что вектор-функция Φ(M, λ) непрерывна по сово- купности переменных и не имеет нулевых векторов. В этом случае будем говорить,
что семейство Φ(M, λ) (или вектор-функция Φ(M, λ) гомотопно соединяет поля
Φ
0
(M) = Φ(M, 0),
Φ
1
(M) = Φ(M, 1).
Если два поля Φ и Ψ можно гомотопно соединить некоторым семейством, то поля Φ и Ψ называются гомотопными.
Нетрудно видеть, например, что каждое непрерывное поле Φ(M) без нулевых векторов гомотопно полю Φ(M) = −Φ(M) векторов той же длины, но проти- воположно направленных. Для доказательства достаточно рассмотреть вектор- функцию Φ(M, λ) (0 ≤ λ ≤ 1), значения которой при каждом λ получаются из векторов Φ(M) поворотом на угол πλ.
Аналогично поле Φ(M) гомотопно каждому полю, полученному из поля Φ(M)
поворотом на некоторый постоянный угол.
Упражнение 4.1.
1) Пусть семейство Φ(M, λ) гомотопно соединяет некоторые два поля. Показать, что
поля Φ(M, λ
1
) и Φ(M, λ
2
) при любых λ
1
, λ
2
∈ [0, 1] гомотопны.
2) Пусть поле Φ(M ) непрерывно и не имеет нулевых векторов. Показать, что оно
гомотопно нормированному полю
Φ
1
(M ) =
Φ(M )
kΦ(M )k
.
Предоставляем читателю показать, что гомотопность обладает обычными свой- ствами понятия эквивалентности: рефлексивностью (поле гомотопно самому себе),
симметрией (если Φ гомотопно Ψ, то Ψ гомотопно Φ), транзитивностью (если Φ
гомотопно Ψ, а Ψ гомотопно X, то Φ гомотопно X). Поэтому понятие гомотопности разбивает все непрерывные векторные поля без нулевых векторов на M на классы полей, гомотопных друг другу.
Упражнение 4.2.
Докажите, что любые непрерывные векторные поля без нулевых
векторов на незамкнутой кривой гомотопны друг другу.
Основной интерес представляет понятие гомотопности для векторных полей,
заданных на замкнутых жорд ановых кривых и на более сложных границах огра- ниченных областей.
4.2. Основная теорема. В этом пункте Γ — состоящая из ν + 1 замкнутой кривой граница ν + 1-связной области.
Теорема 4.1. Если поля Φ и Ψ на Γ гомотопны, то их вращение одинаково.
24

Доказательство. Из формулы (3.1) вытекает, что утверждение теоремы до- статочно доказать для случая, когда Γ — одна замкнутая кривая. Пусть она задана в параметрической форме равенствами
x = x(t), y = y(t) (a ≤ t ≤ b).
(4.1)
Обозначим через Φ(M, λ) вектор-функцию, гомотопно соединяющую поля Φ и
Ψ, и обозначим через θ(t, λ) зависящую от λ угловую функцию полей Φ(M, λ)
при параметризации (4.1). Угловая функция θ(t, λ) непрерывна по совокупности переменных a ≤ t ≤ b, 0 ≤ λ ≤ 1. Поэтому и вычисленное в единицах полного оборота ее полное приращение γ(λ) по t,
γ(λ) =
1 2π
(θ(b, λ) − θ(a, λ)),
будет непрерывной функцией параметра λ. Это полное приращение γ(λ) является вращением векторного поля Φ(M, λ) и, следовательно, есть число целое. Остается заметить, что непрерывная на отрезке функция, принимающая целочисленные значения, есть константа.
Теорема доказана.
Из теоремы 4.1 вытекает сразу же, что существуют негомотопные поля. Теорема
4.1 дает метод вычисления вращения — она позволяет переходить к более простым полям. Этот метод будет в дальнейшем основным.
4.3. Обратная теорема.
Теорема 4.2 (Брауэр-Хопф). Пусть векторные поля Φ и Ψ на замкнутой
жордановой кривой Γ имеют одинаковое вращение γ.
Тогда поля Φ и Ψ на Γ гомотопны.
Доказательство. Если векторное поле нормировать, то мы получим гомотоп- ное ему поле (см. упражнение 4.1, 2). Поэтому без ограничения общности можно считать, что поля Φ и Ψ состоят из векторов единичной длины.
Векторное поле гомотопно полю, полученному из него поворотом на некоторый угол. Поэтому без ограничения общности можно считать, что векторы полей Φ
и Ψ одинаково направлены в точке M
0
, соответствующей значению параметра
t = a в параметрическом представлении (4.1) кривой Γ, и, более того, что их направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Пусть θ
0
(t)
и θ
1
(t) — угловые функции полей Φ и Ψ; очевидно,
θ
0
(a) = θ
1
(a) = 0,
θ
0
(b) = θ
1
(b) = 2πγ.
Поля Φ и Ψ можно гомотопно соединить вектор-функцией
Φ(M; λ) = Φ(t, λ) = (cos((1 − λ)θ
0
(t) + λθ
1
(t)), sin((1 − λ)θ
0
(t) + λθ
1
(t))),
непрерывность которой очевидна.
25

Теорема доказана.
Упражнение 4.3.
Показать, что векторные поля с одинаковым вращением на Γ
могут быть негомотопны, если Γ состоит более чем из одной замкнутой кривой.
4.4. Признаки гомотопности. Допустим, что в каждой точке M множества
M векторы полей Φ(M) и Ψ(M) не направлены противоположно. Тогда вектор- функция
Φ(M; λ) = (1 − λ)Φ(M) + λΨ(M) (M ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1)
(4.2)
не будет принимать нулевых значений и будет гомотопно соединять поля Φ и Ψ.
Таким образом, имеет место
Теорема 4.3 (Пуанкаре – Боль). Если векторы полей Φ и Ψ ни в одной
точке не направлены противоположно, то поля гомотопны.
Отсюда вытекает, что поля Φ и Ψ гомотопны, если ни в одной точке векторы
этих полей не направлены одинаково. Для доказательства достаточно вспомнить,
что поля Φ и −Φ гомотопны, и воспользоваться теоремой 4.3. Из теоремы 4.3
можно получить следствия и другого типа.
Теорема 4.4. Пусть поля Φ и Ψ на границе Γ области Ω имеют различные
вращения.
Тогда по крайней мере в одной точке векторы полей Φ и Ψ направлены одина-
ково и по крайней мере в одной точке направлены противоположно.
Доказательство. В предположении противного поля Φ и Ψ в силу теоремы
4.3 гомотопны. В силу теоремы 4.1 их вращения должны быть одинаковы, и мы приходим к противоречию.
Выбирая в качестве поля Ψ некоторое фиксированное поле, можно из теоре- мы 4.4 получить различные любопытные выводы. Например, из теорем 2.3 и 2.4
вытекает
Теорема 4.5. Пусть вращение поля Φ на гладкой замкнутой кривой Γ отлично
от 1.
Тогда по крайней мере один вектор поля направлен по внешней нормали к кри-
вой, по крайней мере один — по внутренней нормали к кривой, по крайней мере
два — по касательной к кривой.
В приложениях удобно пользоваться утверждением, более частным чем теорема
4.3.
Будем говорить, что векторное поле Ψ(M) является главной частью поля Φ(M),
если Φ(M) можно представить в виде
Φ(M) = Ψ(M) + ω(M ),
(4.3)
где
kω(M)k < kΨ(M)k.
(4.4)
Векторы полей Φ(M) и Ψ(M) ни в одной точке не направлены противоположно,
так как из равенства
Φ(M
0
) = −α
0
Ψ(M
0
) (α
0
> 0)
26

следовало бы равенство
(1 + α
0
)Ψ(M
0
) = −ω(M
0
),
которое противоречит (4.4). Поэтому из теоремы 4.3 вытекает
Теорема 4.6 (Руше). Векторное поле Φ(M) гомотопно своей главной части.
Будем говорить, что векторное поле Φ выпускает направление Φ
0
, если ни в одной точке направление векторов поля не совпадает с направлением Φ
0
. Из тео- ремы 4.3 вытекает тогда, что поле Φ гомотопно полю одинаково направленных векторов. Следовательно, верна следующая простая и важная
Теорема 4.7. Если поле Φ на кривой Γ выпускает некоторое направление, то
его вращение на Γ равно нулю.
Упражнение 4.4.
1) Показать, что на окружностях x
2
+ y
2
= r
2
малого радиуса r векторное поле
Φ(x, y) = (x + x
2
+ y
2
, y + x
2
+ y
2
)
(4.5)
гомотопно полю Ψ
0
(x, y) = (x, y), а на окружностях большого радиуса — полю Ψ
∞
(x, y) =
(x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
) (воспользоваться теоремой Руше).
2) Найти все особые точки поля
(4.5)
и вычислить их индексы (воспользоваться
теоремой об алгебраическом числе особых точек).
4.5. Векторные поля, близкие к нечетным.
Теорема 4.8. Пусть заданное на окружности непрерывное векторное поле Φ
без нулевых векторов обладает тем свойством, что в диаметрально противо-
положных точках окружности векторы поля не направлены одинаково.
Тогда вращение поля нечетно.
Доказательство. Обозначим через B отображение окружности Γ в себя, при котором каждая точка переходит в диаметрально противоположную. Условие тео- ремы означает, что векторы Φ(M) и Φ(B(M)) (M ∈ Γ) не направлены одинаково.
Тогда вектор-функция
Φ(M, λ) = Φ(M) − λΦ(B(M)) (0 ≤ λ ≤ 1, M ∈ Γ)
(4.6)
гомотопно соединяет поле Φ(M) и поле
Ψ(M) = Φ(M) − Φ(B(M)).
(4.7)
Поле (4.7) очевидным образом обладает свойством нечетности
Ψ(B(M)) = Φ(B(M)) − Φ(B
2
(M)) = Φ(B(M)) − Φ(M) = −Ψ(M).
В силу теоремы 2.2 вращение поля Ψ(M) нечетно. Но тогда и вращение гомотоп- ного поля Φ(M) нечетно.
27

Теорема доказана.
Упражнение 4.5.
Показать, что вращение поля на замкнутой кривой Γ нечетно,
если векторы поля направлены неодинаково в точках M и A(M ) (M ∈ Γ), где A —
непрерывная инволюция на Γ (см. упражнение
2.7
).
4.6. Вращение на границе произвольной области. До сих пор понятие вращения было определено лишь для полей на границах (ν + 1)-связных областей
Ω, состоящих из ν + 1 замкнутой жордановой кривой. Перейдем к рассмотрению векторных полей Φ без нулевых векторов на границе Γ произвольной связной об- ласти Ω.
Поле Φ можно (см. п. 3.5) непрерывно продолжить на область Ω так, чтобы продолженное поле e
Φ имело конечное число особых точек. Сумму индексов этих особых точек назовем вращением поля Φ на Γ.
Чтобы это определение было корректным, нужно доказать, что оно не зависит от способа построения продолжения Φ.
Пусть e
Φ
1
и e
Φ
2
— два таких продолжения. Из равномерной непрерывности полей e
Φ
1
и e
Φ
2
вытекает существование такого