Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
σ окажется, что оно невырождено в соответ- ствующей полуплоскости, то луч L σ неособый. Характеристика γ σ этого луча вы- рождения вычисляется как вращение поля e Ψ σ на соответствующей единичной по- луокружности. 5) Если все лучи вырождения L σ окажутся неособыми и будут вычислены их характеристики γ σ , то нулевая особая точка поля Φ будет изолированной и ее индекс определится формулой γ = γ 0 + γ 1 + . . . + γ 2s . (17.17) 6) Если поле Ψ σ окажется вырожденным в соответствующей полуплоскости, то определяются числа p и q и производится замена (17.42). По полю e Φ определяется поле e Ψ σ , число γ σ,0 и ищутся лучи вырождения L σ,κ Каждый луч вырождения L σ,κ исследуется тем же методом, который применял- ся для исследования луча вырождения L σ . Если лучи вырождения L σ,κ окажутся неособыми и будут найдены их характеристики γ σ,κ , то луч вырождения L σ также будет неособым и его характеристика γ σ определится равенством γ σ = γ σ,0 + γ σ,1 + . . . + γ σ,s(σ) . (17.56) 7) Может оказаться, что для исследования некоторых лучей вырождения L σ , придется переходить к вспомогательным полям несколько раз. Тогда и формула (17.56) применяется последовательно несколько раз. Применим описанный алгоритм к векторному полю Φ(x, y) = (x 2 y + x 4 − x 2 y 2 + y 4 , x 4 − x 5 − y 5 + x 3 y 3 ). (17.58) В нашем случае m 0 = 3; поле Ψ 0 имеет вид Ψ 0 (x, y) = (x 2 y, 0). Это поле вырождено: его компоненты обращаются в нуль на четырех лучах L 1 (y = 0 (x ≥ 0)); L 1 (y = 0 (x ≤ 0)); L 1 (x = 0 (y ≥ 0)); L 1 (x = 0 (y ≤ 0)). Число γ 0 равно нулю, так как e Ψ 0 (x, y) = (1, 0). Лучи L 1 и L 2 будем исследовать вместе. Нетрудно видеть, что µ = 1, r 0 = 2, c r 0 (x, y) = x 4 , d r 0 (x, y) = x 4 . 199 Так как поле (x 2 y + x 4 , x 4 ) невырождено, то лучи L 1 и L 2 неособые. Их характеристики γ 1 и γ 2 равны соот- ветственно − 1 2 и 1 2 Рассмотрим теперь лучи L 3 и L 4 . Очевидно, µ = 2, r 0 = 3 2 и c r 0 (x, y) = y 4 , d r 0 (x, y) = 0. Поле (x 2 y + y 4 , 0) невырождено в полуплоскости y ≥ 0 и вырождено в полуплоскости y ≤ 0; его компоненты обращаются в нуль на криволинейных случаях x = y 3 2 (y ≤ 0) и x = −|y| 3 2 (y ≤ 0). Отсюда вытекает, что луч L 3 неособый и его характеристика γ 3 равна нулю. Для исследования луча L 4 произведем замену переменных (17.42) (p = 3, q = 2): x = u 3 , y = v 2 sign v. Выпишем компоненты поля e Φ: e Φ(u, v) = (u 6 v 2 sign v + v 8 − u 6 v 4 + u 12 , −v 10 sign v + u 12 − u 15 + u 9 v 6 sign v). Поле e Ψ σ , соответствующее лучу L 4 запишется в виде e Ψ σ (u, v) = (u 6 v 2 sign v + v 8 , 0); компоненты этого поля обращаются в нуль на двух лучах, отличных от оси v = 0: L 4,1 (u = v (v ≤ 0)); L 4,2 (u = −v (v ≤ 0)). Произведем замену переменных u = −ξ + η √ 2 , v = −ξ − η √ 2 . Поле e Φ при v ≤ 0 примет вид e Φ(u, v) = µ −(ξ − η) 6 (ξ + η) 2 + (ξ + η) 8 16 − (ξ − η) 6 (ξ + η) 4 32 + (ξ − η) 12 64 , (ξ + η) 10 32 + (ξ − η) 12 64 + (ξ − η) 15 + (ξ − η) 9 (ξ + η) 6 128 √ 2 ¶ . (17.59) В переменных ξ, η луч L 4,1 совпадает с положительной полуосью абсцисс η = 0, ξ ≥ 0; луч L 4,2 с положительной полуосью ординат ξ = 0, η ≥ 0. 200 Из (17.59) нетрудно видеть, что для обоих лучей µ = 1, r 0 = 3, причем c r 0 (ξ, η) = − η 10 32 , d r 0 (ξ, η) = η 10 32 для луча L 4,1 и c r 0 (ξ, η) = − ξ 10 32 , d r 0 (ξ, η) = ξ 10 32 для луча L 4,2 . Поля µ 1 4 ξη 7 − 1 32 η 10 , 1 32 η 10 ¶ , µ 1 4 ξ 7 η − 1 32 ξ 10 , 1 32 ξ 10 ¶ невырождены; поэтому лучи L 4,1 , L 4,2 неособые. Их характеристики γ 4,1 и γ 4,2 равны 1 2 и − 1 2 соответственно. Отсюда вытекает, что луч L 4 неособый. Так как γ 4,0 = 0, то его характеристика γ 4 = 0 равна нулю. Таким образом, все лучи вырождения поля Ψ 0 неособые; следовательно, нулевая особая точка поля (17.58) изолирована и ее индекс γ равен нулю. 201 ЛИТЕРАТУРА [1] П.С. Александров. Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948. [2] П.С. Александров. Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1950. [3] А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний, Физматгиз, 1959. [4] Дж. Биркгоф, Динамические системы, М.-Л. 1941. [5] Ф.Д. Гахов. Краевые задачи (Физматгиз, 1963). [6] Ф.Д. Гахов, Ю.М. Крикунов. Топологические методы теории функций ком- плексного переменного и их приложения к обратным краевым задачам, Изв. АН СССР, серия матем., 20 (1956). [7] Д.А. Граве. Элементы высшей алгебры, Киев, 1911. [8] Э. Гурса. Курсе математического анализа, т. 1, ОНТИ, 1936. [9] П.П. Забрейко. О вычислении индекса Пуанкаре, ДАН СССР, 145 (1962), №5. [10] Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Физмат- гиз, 1961. [11] Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных урав- нений, ИЛ, 1958. [12] M.А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интеграль- ных уравнений, Гостехиздат, 1956. [13] М.А. Красносельский, А.И. Перов. Дифференциальные и интегральные нера- венства, статья в справочнике Обыкновенные дифференциальные уравнения. [14] М.А. Красносельский, А.И. Перов, О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений, ДАН СССР 126 (1959), №1. [15] М.А. Красносельский, А.И. Перов. ДАН СССР 123 (1958), №2. [16] А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, Физматгиз, 1963. [17] С. Лефшец. Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, Москва, 1961. [18] М. Морс. Топологические методы в теории функций комплексного переменного, ИЛ, 1955. [19] В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных урав- нений, М.-Л., 1949. 202 [20] А.И. Перов. Об одном обобщении теоремы Ролля, Труды семинара по функцио- нальному анализу (Воронежский ун-т), вып. 6, 1958. [21] А.И. Перов. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных урав- нений, диссертация, Воронежский государственный университет, 1959. [22] А.И. Перов. О двухточечной краевой задаче, ДАН СССР 122 (1958), №6. [23] А.И. Перов. О краевой задаче для системы двух дифференциальных уравнений, ДАН СССР 144 (1962), №3. [24] И.Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. [25] А.И. Поволоцкий. Определение углового порядка локально простой кривой, ДАН СССР 124, №3, 1959. [26] А.И. Поволоцкий. [27] А.И. Поволоцкий. Индексы особых точек псевдоаналитических функций, ДАН СССР 129, №2 (1959). [28] Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1. ИЛ, 1954. [29] Дж. Санcоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2, ИЛ, 1954. [30] И.Б. Симоненко. ДАН 135 (1960), №3. [31] СМБ, Математический анализ (Дифференцирование и интегрирование), Физмат- гиз, 1961. [32] В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959. [33] Ф. Трикоми. Дифференциальные уравнения, ИЛ, 1962. [34] Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 (1959). [35] Masuo Hukuhara, Sur une generalisation d’un th?or?me de Kneser Proc. Japan. Acad. 29 (1953), 154. [36] Н.Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, Мю.: ГТТИ, 1948. [37] Н.Г. Чеботарев, Н.Н. Мейман. Проблема Рауса – Гурвица для полиномов и целых функций, Труды Матем. института им. В. А. Стеклова АН СССР, 26 (1949). [38] П.Т. Черевичный. (см., например, Научные записки Одесского политехнического института, тома 23, 24, 31, 1960, 1961 гг.) 203 Марк Александрович Красносельский, Анатолий Иванович Перов, Абрам Исааковач Поволоцкий, Петр Петрович Забрейко. Векторные поля на плоскости М., Физматгиз, 1963 г., 248 стр. с илл. Редактор М.М. Горячая Техн. редактор И.Ш. Аксельрод Корректор Т.С. Плетнева Сдано в набор 6/IV 1963 г. Подписано к печати 4/VII 1963 г. Бумага 84 × 108 1/32. Физ. печ. л. 7,75 Условн. печ. л. 12,71. Уч.-изд. л. 13,32. Тираж 11 000 экз. Т-08819. Цена книги 82 коп. Заказ №1312. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, Типография №2 им. Евг. Соколовой УЦБ и ПП Ленсовнархоза Ленинград, Измайловский пр., 29. Отпечатано с готовых матриц во 2-ой тип. Трансжелдориздата МПС Ленинград, ул. Правды, д. 15. Заказ 1400. 204 |