Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
ξ, η) = φ 0 x (x 0 , y 0 )ξ + φ 0 y (x 0 , y 0 )η, ψ 1 (ξ, η) = ψ 0 x (x 0 , y 0 )ξ + ψ 0 y (x 0 , y 0 )η. Иначе говоря, поле (16.43) — это линеаризованное в точке (x 0 , y 0 ) поле (16.41). Предположим, что поле (16.43) невырождено (например, система (16.42) — это система с постоянными кoэффициентами, матрица которых не имеет нулевого ха- рактеристического значения). Пусть γ — индекс нулевой особой точки поля (16.43). Тогда из теоремы 6.3 вытекает, что (x 0 , y 0 ) является изолированной особой точкой поля (16.41) и индекс этой особой точки равен также γ 0 Если поле (16.43) вырождено, то вычисление индекса особой точки (x 0 , y 0 ) поля (16.41) становится более сложной задачей. Здесь могут быть применены резуль- таты §§ 7, 8, 17. Для дальнейших рассуждений важен лишь тот факт, что индекс γ 0 особой точки (x 0 , y 0 ) поля (16ю41) предполагается известным. Обозначим через γ вращение поля градиентов направляющей функции U(x, y) на окружности x 2 + y 2 = R 2 большого радиуса R. В условиях теорем 16.1 и 16.2 вращение поля (16.41) на этих окружностях, как это следует из доказательств, также будет равно γ. Из теоремы 3.2 тогда вытекает Теорема 16.3. Пусть γ 0 6= γ. 46 И.Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Госте- хиэдат, 1952. 182 Тогда система (16.1) кроме z ∗ (t) имеет по крайней мере еще одно периодическое решение. 16.6. Существование ограниченных решений. Откажемся теперь от пред- положения, что правые части системы dx dt = P (x, y, t), dy dt = Q(x, y, t). (16.1) периодичны по t. Нас будет интересовать вопрос о существовании у системы (16.1) решений z(t) = (x(t), y(t)), ограниченных при всех t: kz(t)k = p x 2 (t) + y 2 (t) ≤ c (−∞ < t < +∞). (16.44) Предположим, что решения системы (16.1) определены при всех t ∈ (−∞, +∞). Напомним, что во всем параграфе предполагается, что правые части системы (16.1) дифференцируемы по переменным x и y, откуда, в частности, вытекает, единственность решения, определяемого начальными условиями. Пусть, как обычно, z(t, t 0 ; z 0 ) — решение системы (16.1), удовлетворяющее на- чальному условию z(t 0 ) = z 0 . Точки решения, отвечающие значениям t > t 0 , обра- зуют, как говорят, положительную полутраекторию точки z 0 . Аналогично опреде- ляется отрицательная полутраектория. Лемма 16.2. Пусть вращение поля скоростей (P, Q) на некоторой замкну- той кривой Γ отлично от нуля при всех t. Пусть все точки z 0 ∈ Γ обладают свойством невозвращаемости: z(t, t 0 ; z 0 ) 6= z 0 (t > t 0 ). (16.45) Пусть, наконец, положительная и отрицательная полутраектории каждой точ- ки z 0 ∈ Γ не пересекаются внутри области G, ограниченной кривой Γ. Тогда система (16.1) имеет по крайней мере одно ограниченное решение. Доказательство. Пусть n — натуральное число. В силу леммы 16.1 (ее тре- бования здесь выполнены очевидным образом) существует решение z n (t) системы (16.1), определенное при |t| ≤ n, для которого z n (−n) = z n (n) ∈ G. Решение z n (t) при |t| ≤ n целиком лежит в области G. Предположим обратное, и пусть t 0 — то значение времени t, при котором z n (t) = z 0 ∈ Γ. Решение z n (t) можно рассматри- вать и как решение с начальным условием z(t 0 ) = z 0 , равенство z n (−n) = z n (n) ∈ G противоречит тогда последнему предположению леммы. Из последовательности z n (t) в силу ее компактности на каждом конечном про- межутке обычным образом можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторому решению z ∗ (t) системы (16.1) равномерно на каждом конечном про- межутке изменения t. Так как z n (t) ∈ G, то z ∗ (t) ∈ G при −∞ < t < +∞. Лемма доказана. 183 Если все точки кривой Γ обладают тем свойством, что их положительные по- лутраектории лежат в области G, а отрицательные полутраектории — вне области G, то все условия леммы 16.2 выполнены очевидным образом. При этом утвержде- ние леммы сохраняет силу и в том случае, когда не все решения системы (16.1) определены при всех t. Это замечание позволяет сформулировать следующий ана- лог теоремы 16.1. Теорема 16.4. Пусть система (16.1) имеет знакопостоянную направляющую функцию. Тогда система (16.1) имеет по крайней мере одно ограниченное решение. Сформулируем теперь аналог теоремы 16.2. Теорема 16.5. Пусть для системы (16.1) могут быть указаны направляющая и вспомогательная функции. Тогда система (16.1) имеет по крайней мере одно ограниченное решение. Если решения системы (16.1) определены при всех t, то утверждение этой тео- ремы вытекает из леммы 16.2. Условия леммы 16.2, по существу, были проверены при доказательстве теоремы 16.2. Если же не все решения системы определены при всех t, то нужно предвари- тельно перейти к системе (16.6), как это было сделано в последней части доказа- тельства теоремы 16.2. 184 ДОПОЛНЕНИЕ § 17. Вычисление индекса нулевой особой точки в общем случае 47 17.1. Предварительные замечания. Рассмотрим непрерывное векторное по- ле Φ(x, y) = (φ 1 (x, y), φ 2 (x, y)), (17.1) определенное в некоторой окрестности начала координат, причем Φ(0, 0) = 0, то есть начало координат является особой точкой. В гл. 2 было рассмотрено несколь- ко методов, позволяющих в основных случаях установить, является ли нулевая особая точка поля (17.1) изолированной, и вычислить ее индекс. В этом дополнении будет указан алгоритм вычисления индекса в случае, кото- рый является в некотором смысле общим. При этом относительно функций φ 1 (x, y) и φ 2 (x, y) будем предполагать, что они имеют вид φ 1 (x, y) = a 1 (x, y) + . . . + a m (x, y) + ω 1 (x, y), φ 2 (x, y) = b 1 (x, y) + . . . + b m (x, y) + ω 2 (x, y), (17.2) где a i (x, y), b i (x, y) — однородные относительно x, y многочлены степени i, а ω 1 (x, y) и ω 2 (x, y) — бесконечно малые более высокого, чем (x 2 + y 2 ) M 2 , порядка. Будем обозначать через Φ i векторное поле Φ i (x, y) = (φ 1 i (x, y), φ 2 i (x, y)), (17.3) где φ 1 i (x, y) = a 1 (x, y) + . . . + a i (x, y), φ 2 i (x, y) = b 1 (x, y) + . . . + b i (x, y). . (17.4) Нас будет интересовать вопрос о том, как по полю (17.3) выяснить, является ли нулевая особая точка поля (17.1) изолированной, и как вычислить ее индекс. Есте- ственно ожидать, что поле (17.3) будет главной частью поля (17.1) и возможно применение теоремы Руше 4.6. Как уже отмечалось (п. 6.1), необходимым услови- ем этого является изолированность нулевой особой точки поля (17.3). Это условие 47 Результаты параграфа установлены П.П. Забрейко. См. П.П. Забрейко, О вычислении индекса Пуанкаре, ДАН СССР, т. 145 (1962), №5. 185 однако, не достаточно. В связи с этим введем следующее определение. Поле (17.3) назовем невырожденным, 48 если для некоторых ρ > 0 и α > 0 выполняется нера- венство kΦ i (x, y)k ≥ α(x 2 + y 2 ) i 2 (17.5) при x 2 + y 2 ≤ ρ 2 . Если поле Φ i невырождено, то, как нетрудно видеть, будет невырожденным и поле Φ j при j > i. Пусть поле (17.3) невырождено. Тогда нулевая особая точка всякого векторного поля F (x, y) = (φ 1 i (x, y) + ω 1 (x, y), φ 2 i (x, y) + ω 2 (x, y)), (17.6) где ω 1 (x, y), ω 2 (x, y) = o ³ (x 2 + y 2 ) i 2 ´ (в частности, поля (17.1)), изолирована и ее индекс совпадает с индексом нулевой особой точки поля (17.3). Докажем обратное предложение: если нулевая особая точка поля (17.6) изо- лирована при всех ω 1 (x, y), ω 2 (x, y) = o ³ (x 2 + y 2 ) i 2 ´ , то векторное поле (17.3) является невырожденным. В самом деле, пусть поле (17.3) вырождено. Тогда су- ществуют такие последовательности чисел x k , y k , сходящиеся к нулю, что kΦ i (x k , y k )k < 1 k (x 2 k + y 2 k ) i 2 . (17.7) Положим α(x k , y k ) = − φ 1 i (x k , y k ) (x 2 k + y 2 k ) i 2 , α(0, 0) = 0; β(x k , y k ) = − φ 2 i (x k , y k ) (x 2 k + y 2 k ) i 2 , β(0, 0) = 0. Функции α(x, y) и β(x, y) определены и непрерывны на замкнутом множестве то- чек (0, 0), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . .. Обозначим через e α(x, y) и e β(x, y) непрерывные про- должения этих функций на плоскость, и пусть ω 1 0 (x, y) = e α(x, y)(x 2 k + y 2 k ) i 2 , ω 2 0 (x, y) = e β(x, y)(x 2 k + y 2 k ) i 2 . Из (17.7) вытекает, что ω 1 0 (x, y) = o ³ (x 2 + y 2 ) i 2 ´ , ω 2 0 (x, y) = o ³ (x 2 + y 2 ) i 2 ´ ; поэтому нулевая особая точка поля F 0 (x, y) = (φ 1 i (x, y) + ω 1 0 (x, y), φ 2 i (x, y) + ω 2 0 (x, y)) должна быть изолированной. Однако нетрудно видеть, что F 0 (x k , y k ) = 0 (k = 1, 2, . . .). 48 Читатель заметит, что если ϕ 1 i (x, y) и ϕ 2 i (x, y) представляют собой однородные многочлены степени i, то новое понятие невырожденности совпадает с введенным в п. 8.1. 186 Мы пришли к противоречию. Описываемый ниже алгоритм в результате конечного числа шагов указывает такое наименьшее число m, что при i = m поле (17.3) невырождено, или показыва- ет, что поля (17.3) вырождены при всех i ≤ M. Одновременно указывается способ вычисления индекса нулевой особой точки невырожденного поля (17.3). Таким об- разом, предлагаемый алгоритм позвояяет вычислить индекс нулевой особой точки поля (17.1) во всех тех случаях, когда он определяется конечным числом членов в разложении функций φ 1 (x, y) и φ 2 (x, y) по формуле Тейлора. Пусть нулевая особая точка поля (17.1) изолирована. В общем случае это не означает, что при некотором i поле (17.3) невырождено, даже если возможны представления (17.2) с любым M. Например, векторное поле Φ(x, y) = ³ e − 1 x2 , y ´ имеет изолированную нулевую особую точку, но все поля (17.3) для него имеют вид (0, y) и потому вырождены. Однако в случае, если компоненты поля (17.1) яв- ляются аналитическими функциями, можно показать, что нулевая особая точка будет изолированной в том и только том случае, когда при некотором i поле (17.3) невырождено. 17.2. Основная теорема. Пусть m 0 — такое число, что a 1 (x, y) ≡ . . . ≡ a m 0 −1 (x, y) ≡ 0 b 1 (x, y) ≡ . . . ≡ b m 0 −1 (x, y) ≡ 0 (17.8) и хотя бы один из многочленов a m 0 (x, y), b m 0 (x, y) не равен тождественно нулю. Поле Ψ 0 (x, y) = Φ m 0 (x, y) = (a m 0 (x, y), b m 0 (x, y)) (17.9) однородно. Поэтому (см. п. 8.1), если алгебраические уравнения a m 0 (1, k) = 0, b m 0 (1, k) = 0 (17.10) не имеют общих конечных или бесконечных вещественных корней, то поле Φ m 0 , будет невырожденным. Мы будем рассматривать теперь тот случай, когда поле Ψ 0 вырождено, то есть уравнения (17.10) имеют один или несколько общих вещественных корней. Пусть k 1 , k 2 , . . . , k s (17.11) — эти вещественные корни. Векторы поля (17.9) будут обращаться в нуль на 2s лучах: L 1 : y = k 1 x (x ≥ 0); L 2 : y = k 1 x (x ≤ 0); . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 2s−1 : y = k s x (x ≥ 0); L 2s : y = k s x (x ≤ 0) (17.12) (если среди корней (17.11) есть корень k = ∞, то ему соответствуют лучи x = 0 (y ≥ 0) и x = 0 (y < 0)). Лучи (17.12) в дальнейшем мы будем называть лучами вырождения поля Ψ 0 187 Обозначим через d 0 (x, y) общий наибольший делитель многочленов a m 0 (x, y), b m 0 (x, y). Тогда Ψ 0 (x, y) = e Ψ 0 (x, y)d 0 (x, y), (17.13) где e Ψ 0 — однородное поле с изолированной нулевой особой точкой. Пусть γ 0 — индекс нулевой особой точки этого поля. Через Γ σ (ε) (σ = 1, . . . , 2s) будем обозначать множество точек, лежащих в угле в 2ε радиан, биссектрисой которого является луч L σ , через Π(ε) — замыкание множества точек плоскости, не лежащих в [ σ Γ σ (ε) (см. рис. 17.1). В ненулевых точках Π(ε) векторы поля Ψ 0 отличны от нуля. Поэтому определено вращение 49 γ 0 (Ψ 0 , ε, 1) поля Ψ 0 на части единичной окружности S 1 (x 2 + y 2 = 1), лежащей в Π(ε). В силу (17.13) γ 0 (Ψ 0 , ε, 1) → γ 0 при ε → 0. Выберем число ε 0 < π 2 так, чтобы при 0 < ε ≤ ε 0 каждое из множеств Γ σ (ε) не содержало лучей, отличных от L σ , на которых хотя бы одна из компонент поля Ψ 0 обращалась в нуль, и чтобы выполнялось неравенство |γ 0 (Ψ 0 , ε, 1) − γ 0 | < 1 8 . (17.14) Рис. 17.1 Лемма 17.1. Для любого ε (0 < ε ≤ ε 0 ) существуют такие числа ρ > 0 и α > 0, что при m > m 0 и x 2 + y 2 ≤ ρ 2 , (x, y) ∈ Π(ε) выполняется неравенство kΦ |