Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
m (x, y)k ≥ α(x 2 + y 2 ) m 2 . (17.15) Доказательство этой леммы совпадает с доказательством теоремы 8.1, только рассуждения проводятся не на всей плоскости, а лишь на множестве Π(ε). Лемма 17.1 означает, что неравенство (17.5) при i ≥ m 0 и малых x 2 + y 2 может невыполняться лишь на множествах Γ σ (ε) (σ = 1, 2, . . . , 2s). Назовем луч вырож- дения L σ неособым для поля Φ m , если существуют такие числа ε > 0, ρ > 0 и α > 0, что при x 2 + y 2 ≤ ρ 2 , (x, y) ∈ Γ σ (ε) выполняется неравенство (17.15). 49 Вращением векторного поля на множестве, состоящем из нескольких дуг, называется сумма вращений этого поля на отдельных дугах. 188 Пусть L σ — неособый луч для поля Φ m . Покажем, что существует предел γ σ = lim ε→0 lim ρ→0 γ σ (Φ m , ε, ρ), (17.16) где через γ σ (Φ m , ε, ρ) обозначено вращение поля Φ m , на части окружности S ρ (x 2 + y 2 = ρ 2 ), лежащей в Γ σ (ε). Действительно, так как векторы поля Φ m в точках Γ σ (ε) при малых положи- тельных x 2 + y 2 отличны от нуля, то γ σ (Φ m , ε, ρ) непрерывно зависит от ρ. Враще- ние γ σ (Φ m , ε, ρ) отличается на целое число от деленного на 2π угла между векто- рами поля Φ m в точках P и Q (см. рис. 17.2). В каждой из точек P и Q при ρ → 0 векторы полей Φ m и Ψ 0 стремятся совпасть по направлению. Поле Ψ 0 однородно; поэтому существует предел lim ρ→0 γ σ (Φ m , ε, ρ), причем он на целое число отличается от деленного на 2π угла между векторами поля Ψ 0 в точках P и Q и, следова- тельно, на число, кратное половине, от деленного на 2π угла между векторами поля Ψ 0 в тех же точках. Последний угол при ε → 0 стремится к нулю; отсюда и вытекает существование предела (17.16), причем его значение, очевидно, будет числом, кратным половине. Рис. 17.2 Вращения γ σ (Φ m , ε, ρ) полей Φ m при разных m и малых ρ мало отличаются друг от друга; поэтому число γ σ , определяемое формулой (17.16), не зависит от m (конечно, при условии, что луч L σ для полей с этими m неособый). Назовем характеристикой луча вырождения число γ σ Теорема 17.1. Поле Φ m будет невырожденным в том и только том случае, если для него будут неособыми все лучи вырождения поля Ψ 0 . Индекс γ нулевой изолированной особой точки невырожденного поля Φ m опре- деляется равенством γ = γ 0 + γ 1 + . . . + γ 2s . (17.17) Доказательство. Первая часть теоремы вытекает из леммы 17.1 и определе- ния неособого луча. Переходим к доказательству второй части теоремы. Выберем числа ε > 0 и ρ > 0 так, чтобы выполнялись неравенства |γ σ − γ σ (Φ m , ε, ρ)| < 1 8s (σ = 1, 2, . . . , 2s). (17.18) 189 Обозначим через γ 0 (Φ m , ε, ρ) вращение поля Φ m на части окружности S ρ (x 2 + y 2 = ρ 2 ), лежащей в Π(ε). В силу однородности поля Ψ 0 выполнено равенство γ 0 (Ψ 0 , ε, ρ) = γ 0 (Ψ 0 , ε, 1); поэтому из леммы 17.1 вытекает, что при малых поло- жительных ρ |γ 0 − γ 0 (Φ m , ε, ρ)| < 1 4 . (17.19) Из (17.18) и (17.19) вытекает, что |γ − γ 0 − γ 1 − . . . − γ 2s | < 1 2 , откуда и следует формула (17.17). Теорема доказана. Для применения теоремы 17.1 необходимо знать, является ли луч вырождения L σ неособым для некоторого поля Φ m и, если он неособый, его характеристику γ σ В следующих пунктах будет указан один из способов исследования луча вырож- дения L σ 17.3. Лучи вырождения. Всюду ниже мы будем предполагать, что иссле- дуемый луч вырождения L σ совпадает с положительной полуосью ординат x = 0, y ≥ 0. Это предположение не ограничивает общности, так как в противном случае можно произвести линейную замену переменных с ортогональной матри- цей, переводящую луч L σ в положительную полуось ординат. Преобразованное поле, очевидно, допускает представление, подобное (17.2); при этом, если луч L σ был неособым для поля Φ m , то он таким останется и после преобразования, а его характеристика сохранится. Можно луч L σ совмещать и с другой координатной полуосью; для таких случаев в приводимые ниже рассуждения читатель легко внесет соответствующие изменения. Обозначим через a j i , b j i коэффициенты при x i y j в разложениях по степеням x, y функций φ 1 (x, y) и φ 2 (x, y) соответственно. Пусть a m 0 (x, y) = a 0 m 0 x m 0 + . . . + a m 0 −µ µ x µ y m 0 −µ , b m 0 (x, y) = b 0 m 0 x m 0 + . . . + b m 0 −µ µ x µ y m 0 −µ , (17.20) где хотя бы одно из чисел a m 0 −µ µ , b m 0 −µ µ отлично от нуля. Пусть, например, a m 0 −µ µ 6= 0. Так как a m 0 (x, y) не обращается в нуль в точках множества Γ s (ε), не лежащих на луче L σ , то имеет место неравенство |a m 0 (x, y)| ≥ α|x| µ (x 2 + y 2 ) m0−µ 2 (α > 0, (x, y) ∈ Γ σ (ε)). (17.21) Ниже в разложениях по степеням x, y функций φ 1 (x, y) и φ 2 (x, y) нас будут ин- тересовать члены a j i x i y j , b j i x i y j , для которых i < µ, j > m 0 − µ. Весом r такого члена назовем число j − m 0 + µ µ − i . Легко видеть, что r > 1. Суммы членов, име- ющих вес r функций φ 1 (x, y) и φ 2 (x, y) обозначим соответственно через c r (x, y), d r (x, y). 190 В случае, если все многочлены c r (x, y), d r (x, y) при r ≤ M − m 0 + µ µ равны тождественно нулю, поле (17.3) при i ≤ M обращается в нуль на луче L σ . Отсюда вытекает Теорема 17.2. Пусть при r ≤ M − m 0 + µ µ c r (x, y) ≡ d r (x, y) ≡ 0. (17.22) Тогда поля (17.3) вырождены при всех i ≤ M. Рассмотрим теперь случай, когда для некоторого r 0 , r 0 ≤ M − m 0 + µ µ , все многочлены c r (x, y), d r (x, y) при r < r 0 равны тождественно нулю и хотя бы один из многочленов c r 0 (x, y), d r 0 (x, y) принимает ненулевые значения. Обозначим через Ψ σ векторное поле Ψ σ (x, y) = (ψ 1 σ (x, y), ψ 2 σ (x, y)), (17.23) где ψ 1 σ (x, y) = a m 0 −µ µ x µ y m 0 −µ + c r 0 (x, y) ψ 2 σ (x, y) = b m 0 −µ µ x µ y m 0 −µ + d r 0 (x, y). (17.24) Поле Ψ σ обладает свойством обобщенной однородности Ψ σ (λ r 0 x, λy) ≡ λ m 0 +µ(r 0 −1) Ψ σ (x, y). (17.25) В следующих пунктах мы покажем, что, вообще говоря, поле Ψ σ определяет, будет ли луч вырождения L σ неособым для некоторого поля (17.3) и его характеристику γ σ 17.4. Вспомогательные леммы. Обозначим через R σ (η) множество точек (см. рис. 17.3), удовлетворяющих условию |x| ≤ ηy r 0 . (17.26) Покажем, что для некоторого числа η 0 > 0 при η ≥ η 0 и малых положительных x 2 + y 2 выполняются неравенства |a m 0 (x, y)| ≥ α 1 (x 2 + y 2 ) m0+µ(r0−1) 2 (α 1 > 0) (17.27) и |φ 1 m (x, y) − a m 0 (x, y)| < |a m 0 (x, y)| (17.28) для точек (x, y) из Γ σ (ε) \ R σ (η). 191 Рис. 17.3 Действительно, для любого η при |x| ≥ ηy r 0 в силу (17.21) справедливо нера- венство |a m 0 (x, y)| ≥ αη µ y µr 0 (x 2 + y 2 ) m0−µ 2 . Так как для точек Γ σ (ε) справедливо неравенство y ≥ (1 − sin ε)(x 2 + y 2 ) 1 2 , то, полагая α 1 = α(1 − sin ε) µr 0 η µ , получаем неравенство (17.27). Переходим ко второму неравенству. Обозначим через χ 1 (x, y) сумму членов в разложении φ 1 m (x, y) по степеням x, y, для которых i + j > m 0 , j ≤ m 0 − µ; через χ 2 (x, y) — сумму всех остальных членов, удовлетворяющих условию i + j > m 0 Для функции χ 1 (x, y) имеем |χ 1 (x, y)| = ¯ ¯ ¯ X a j i x i y j ¯ ¯ ¯ ≤ ³X |a j i | |x| i−µ y j ´ |x| µ ≤ ≤ ³X |a j i | (tg ε) i−µ (x 2 + y 2 ) i+j−µ 2 ´ |x| µ = o ³ |x| µ (x 2 + y 2 ) m0−µ 2 ´ . (17.29) Аналогично для функции χ 2 (x, y) при |x| ≥ ηy r 0 получаем |χ 2 (x, y)| = ¯ ¯ ¯ X a j i x i y j ¯ ¯ ¯ ≤ ³X |a j i | |x| i y j−m 0 +µ ´ y m 0 −µ ≤ ≤ ³X |a j i | η − j−m0+µ r0 |x| i+ j−m0+µ r0 ´ y m 0 −µ . Числа i + j − m 0 + µ r 0 для ненулевых a j i не меньше µ, так как в противном случае j − m 0 + µ µ − i < r 0 и, следовательно, a j i = 0. Поэтому, полагая δ(η) = ³X |a j i | η − j−m0+µ r0 ´ , получаем |χ 2 (x, y)| ≤ δ(η)|x| µ y m 0 −µ ((x, y) 6∈ R σ (η)), где δ(η) → 0 при η → ∞. Выберем число η 0 так, чтобы при (x, y) 6∈ Γ σ (ε) \ R σ (η 0 ) выполнялось неравен- ство |χ 2 (x, y)| < |a m 0 (x, y)|. (17.30) Тогда из (17.21), (17.29), (17.30) и из того, что |φ 1 m (x, y) − a m 0 (x, y)| ≤ |χ 1 (x, y)| + |χ 2 (x, y)|, вытекает справедливость при указанных x, y неравенства (17.28). 192 В случае, если m < m 0 +µ(r 0 −1), луч L σ не может быть неособым для поля Φ m , так как на нем поле Φ m обращается в нуль. В случае же, если m ≥ m 0 + µ(r 0 − 1), из неравенств (17.27) и (17.28) вытекает, что для некоторого ρ > 0 на множестве Γ σ (ε) \ R σ (η) (η ≥ η 0 ) при x 2 + y 2 ≤ ρ 2 выполняется неравенство (17.15). Таким образом, имеет место Лемма 17.2. Луч вырождения L σ будет неособым для поля Φ m в том и только в том случае, если m ≥ m 0 + µ(r 0 − 1) и для некоторого ρ > 0 на множестве R σ (η) при x 2 + y 2 ≤ ρ 2 выполняется неравенство (17.15). Рассмотрим теперь векторное поле Φ m на множестве R σ (η) (η ≥ η 0 ). Легко видеть, что на этом множестве справедливы оценки |φ τ m (x, y) − ψ τ σ (x, y)| = o(y m 0 +µ(r 0 −1) ) (τ = 1, 2). (17.31) Докажем, например, эту оценку для τ = 1. При |x| ≤ ηy r 0 имеем |φ 1 m (x, y) − ψ 1 σ (x, y)| ≤ X |a j i | |x| i y j ≤ X |a j i | η i y r 0 i+j , Но r 0 i + j > m 0 + µ(r 0 − 1); при i ≥ µ это очевидно, а при i < µ вытекает из определения r 0 (в противном случае j − m 0 + µ µ − 1 < r 0 и a j i = 0). Отсюда и вытекает оценка (17.31). Обозначим через γ ∗ σ (Φ m , η, ρ) вращение поля Φ m на части окружности S ρ (x 2 + y 2 = ρ 2 ), лежащей в R σ (η). Лемма 17.3. Пусть луч вырождения L σ неособый для поля Φ m . Тогда его характеристика γ σ может быть определена формулой γ σ = lim η→∞ lim ρ→0 γ ∗ σ (Φ m , η, ρ). (17.32) Доказательство. В силу (17.25) и (17.31) при ρ → 0 векторы полей Φ m и Ψ σ в точках P 0 и Q 0 (см. рис. 17.3) стремятся совпасть по направлению. Так как поле Ψ σ обладает свойством обобщенной однородности (17.25), то, повторяя рассуждения, приведенные в п. 17.2 для полей Φ m и Ψ σ , убедимся в существовании двойного предела в правой части равенства (17.32). Значение этого предела будет числом, кратным половине. При малых ε сумма вращений поля Ψ σ на дугах _ P P 0 и _ Q 0 |