Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
t) = (P (t), Q(t)) (1.17) на некотором отрезке x = t, y = 0 (a ≤ t ≤ b). При вычислении вращения удобно отрезок [a, b] разбить на части так, чтобы вращение на каждой части вычислялось просто, а затем воспользоваться тем фактом, что вращение на всем отрезке равно сумме вращений на его частях. При вычислении вращения полезно иметь в виду, что вращение равно выражен- ному в единицах полного оборота наименьшему углу между векторами на концах кривой M 1 M 2 , если ни один вектор поля Φ(M) не направлен противоположно век- тору Φ(M 1 ) в точке M 1 (если ни один вектор поля не направлен противоположно вектору Φ(M 2 ) в точке M 2 ). Для доказательства достаточно заметить, что в об- щем случае вращение отличается от угла между векторами Φ(M 1 ) и Φ(M 2 ) на целое число и что угловая функция поля, вращение которого по абсолютной вели- чине больше 1 2 , принимает либо значение π, либо значение −π (в соответствующей точке вектор поля направлен противоположно Φ(M 1 )). Допустим, что уравнение P (t) = 0 (1.18) имеет на [a, b] конечное число решений t 0 < t 1 < . . . < t k . Вращение γ поля (1.17) на всем отрезке [a, b] представим как сумму γ = α 1 + α 2 + γ 1 + . . . + γ k , (1.19) где α 1 и α 2 — вращения соответственно на отрезках [a, t 0 ] и [t k , b], а γ k — вращение на отрезке [t i−1 , t i ] (i = 1, . . . , k). На каждом отрезке [t i−1 , t i ] колебание угловой функции θ(t) поля (1.17) не пре- вышает π, так как в противном случае функция P (t) принимала бы нулевое зна- чение в некоторой точке интервала (t i−1 , t i ). Поэтому каждое γ i принимает одно из трех значений: 1 2 , 0, − 1 2 1 Впрочем, ряд устанавливаемых ниже теорем может быть доказан и при помощи формулы Пуанкаре. Ряд соотношений, связанных по существу с вращением, выведен в Курсе математи- ческого анализа Э. Гурса (см., например, т. 1, ОНТИ, 1936, § 76): многие из этих соотношений устанавливаются ниже. 6 Если sign Q(t i−1 ) = sign Q(t i ), то векторы поля на концах отрезка [t i−1 , t i ] направлены одинаково и поэтому γ i = 0. Пусть sign Q(t i−1 ) = 1, sign Q(t i ) = −1. Тогда (см. рис. 1.5) γ i = − 1 2 при P µ t i−1 + t i 2 ¶ > 0 и γ i = 1 2 при P µ t i−1 + t i 2 ¶ < 0. Аналогично при sign Q(t i−1 ) = −1, sign Q(t i ) = 1 вращение γ i вычисляется по правилу γ i = − 1 2 при P µ t i−1 + t i 2 ¶ < 0 и γ i = 1 2 при P µ t i−1 + t i 2 ¶ > 0. Рис. 1.5 Все перечисленные случаи можно охватить общей формулой γ i = 1 4 sign P µ t i−1 + t i 2 ¶ (sign Q(t i ) − sign Q(t i−1 )), (1.20) проверку которой предоставляем читателю. Формула (1.19) перепишется тогда в виде γ = α 1 + α 2 + 1 4 sign P µ t i−1 + t i 2 ¶ (sign Q(t i ) − sign Q(t i−1 )). (1.21) При применении этой формулы полезно помнить, что P (t) на интервале (t i−1 , t i ) принимает значения одного знака. В качестве примера рассмотрим поле Φ(x, y) = (x 2 − y 2 , 10xy) на той половине единичной окружности, которая выделена неравенством y ≥ 0, с параметром t = x. Функции P (t) и Q(t) определяются равенствами P (t) = 2t 2 − 1, Q(t) = 10t √ t 2 − 1 (−1 ≤ t ≤ 1). 7 Уравнение P (t) = 0 имеет два корня: t 0 = − 1 √ 2 , t 1 = 1 √ 2 . Направление векторов Φ(−1) и Φ(1) совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Векторы Φ(t 0 ) и Φ(t 1 ) направлены соответственно по отрицательному и положительному направлению оси ординат. Поэтому α 1 = α 2 = − 1 4 . Из формулы (1.21) вытекает, что вращение рассматриваемого поля равно −1. Нетрудно видеть, что формула (1.21) сохраняет силу, если сумму в ней брать только по таким парам соседних нулей функции P (t), между которыми есть нули функции Q(t). В этой последней форме формула (1.21) верна и в том случае, когда уравнение P (t) = 0 имеет бесконечное множество нулей. Упражнение 1.4. 1) Вычислить вращение поля Ã t µ t − 1 4 ¶ µ t − 1 2 ¶ 2 µ t − 3 4 ¶ , µ t − 1 3 ¶ 3 µ t − 2 3 ¶ 2 µ t − 8 9 ¶ (t − 1) ! (0 ≤ t ≤ 1). 2) Вычислить описанным в этом пункте методом вращение полей, указанных в упраж- нении 1.3. § 2. Векторные поля на замкнутых кривых 2.1. Замкнутые кривые. В дальнейшем мы будем рассматривать непрерыв- ные векторные поля на замкнутых жордановых кривых Γ. Всякая такая кривая разбивает плоскость на две области, одна из которых ограничена и гомеоморфна кругу; об этой области говорят, что она лежит внутри Γ; обозначим ее через Ω. Положительным направлением обхода замкнутой кривой Γ называется такое направление, при котором область Ω остается слева (см. рис. 2.1). Противополож- ное направление называется отрицательным. О положительном направлении ча- сто говорят, что это обход “против часовой стрелки”, а об отрицательном — “по ходу часовой стрелки”. Рис. 2.1 8 Всюду в дальнейшем предполагается, если нет специальных оговорок, что на Γ рассматривается ориентация, определяющая положительное направление обхода. В соответствии с этим мы будем, как правило, рассматривать такие параметриче- ские задания x = x(t), y = y(t) (a ≤ t ≤ b) (2.1) замкнутой жордановой кривой Γ, при которых возрастанию параметра t соответ- ствует положительное направление обхода (при этом Γ обходится ровно один раз, когда t меняется от a до b). 2.2. Вращение и угловая функция. Пусть на замкнутой кривой Γ задано непрерывное векторное поле Φ без нулевых векторов. Рис. 2.2 Разобьем кривую Γ точками M 1 и M 3 на две части M 1 M 2 M 3 и M 3 M 4 M 1 (см. рис. 2.2) и каждую из этих частей будем считать ориентированной в соответствии с положительным направлением обхода замкнутой кривой Γ. Вращением поля Φ на Γ назовем сумму вращений поля Φ на кривых M 1 M 2 M 3 и M 3 M 4 M 1 Нетрудно видеть, что вращение γ(Φ, Γ) поля Φ на Γ не зависит от того, на какие две части разбита дуга Γ. Вращение можно ввести и при помощи угловой функции. Для этого по полю Φ(x, y) = (φ(x, y), ψ(x, y)), (2.2) заданному на Γ, нужно определить вектор-функцию Φ(t) = (φ(x(t), y(t)), ψ(x(t), y(t))) (a ≤ t ≤ b), (2.3) используя некоторое параметрическое задание (2.1) кривой Γ. Затем нужно рас- смотреть непрерывную ветвь θ(t) функции, равной углу между векторами Φ(t) и Φ(a) (отсчитываемому против хода часовой стрелки — см. п. 1.2) и удовлетворяю- щей условию θ(a) = 0. Вращение γ(Φ, Γ) поля Φ на Γ равно приращению θ(b)−θ(a) угловой функции θ(t), выраженному в единицах полного оборота: γ(Φ, Γ) = 1 2π (θ(b) − θ(a)) = 1 2π θ(b). (2.4) 9 Эквивалентность двух приведенных определений очевидна. Условие замкнутости кривой (2.1) выражается равенствами x(b) = x(a), y(b) = y(a). (2.5) Поэтому векторы Φ(b) и Φ(a) совпадают. Отсюда непосредственно вытекает, что вращение — целое число. Первое определение удобно с той точки зрения, что оно не зависит от спосо- ба задания кривой. Вторым определением удобно пользоваться при вычислении вращения. Рассмотрим для примера поле Φ(x, y) = (x, y) на единичной окружности (см. рис. 2.3). Если в качестве параметра t выбрать полярный угол, то угловая функция определится равенством θ(t) = t. Поэтому вращение поля равно 1. В качестве второго примера рассмотрим поле Φ(x, y) = (−x, y) на той же окруж- ности. При том же параметре t угловая функция имеет вид θ(t) = −t. Поэтому вращение поля равно −1. Рис. 2.3 Формула (1.21) при вычислении вращения γ на замкнутой кривой Γ упроща- ется. Это объясняется тем, что поле (1.17) (мы сохраняем обозначения п. 1.5) обладает дополнительным свойством Φ(b) = Φ(a). (2.6) Мы напишем эквивалент формулы (1.21) в несколько другой форме. При изучении векторного поля (1.17) на замкнутой кривой удобно считать функции P (t) и Q(t) продолженными периодически на всю числовую ось (с пе- риодом ω = b − a). Допустим снова, что функция P (t) имеет на полуинтервале [a, b) (a ≤ t < b) конечное число нулей. Выберем лишь те нули t ∗ 1 , . . . , t ∗ s , в которых 10 функция Q(t) принимает положительное значение (эти нули соответствуют точ- кам кривой, в которых направление векторов поля совпадает с положительным направлением оси ординат). Через p обозначим количество точек t ∗ i , при переходе через которые функция P (t) возрастает (при близких t ∗ i и меньших, чем t ∗ i , зна- чениях t функция отрицательна, а при больших — положительна), а через q — количество точек t ∗ i , при переходе через которые функция P (t) убывает. Имеет место равенство γ(Φ, Γ) = q − p. (2.7) Доказательство этой формулы проведем вначале для случая, когда t ∗ 1 = a. Тогда точки t ∗ i будут абсциссами точек пересечения графика угловой функции θ(t) с прямыми y = 0; ±2π; ±4π; . . . (см. рис. 2.4). Возрастание P (t) при переходе t через t ∗ i соответствует убыванию θ(t) в точке t ∗ i . Наоборот, убывание P (t) соответствует возрастанию θ(t). Отсюда и следует равенство (2.7). Рис. 2.4 Доказательство формулы (2.7) в общем случае сводится к рассмотренному слу- чаю, если функции x(t) и y(t) из (2.1) продолжить периодически и рассматривать параметр t на промежутке [t ∗ 1 , t ∗ 1 + b − a]. Числа p и q от перехода к новому пара- метру не изменяются. В простых случаях формула (2.7) очень удобна. В более сложных случаях для вычисления вращения приходится применять специальные приемы, которые из- лагаются ниже. Упражнение 2.1. Обозначим через p i количество нулей P (t) в которых Q(t) от- рицательна и при переходе через которые функция P (t) убывает; через q i обозначим количество нулей функции P (t), в которых Q(t) отрицательна и при переходе через ко- торые функция P (t) возрастает. Доказать, что γ(Φ, Γ) = q i − p i . Упражнение 2.2. Вычислить вращение на единичной окружности x 2 + y 2 = 1 следующих векторных полей: 1) Φ(x, y) = (−x, −y), 2) Φ(x, y) = (y, −x), 3) Φ(x, y) = (x 2 − y 2 , 2xy), 4) Φ(x, y) = (x 2 + y 4 , 2xy 4 ). 11 2.3. Формула Пуанкаре. Интегральная формула (1.15) в случае замкнутых кривых принимает вид γ(Φ, Γ) = 1 2π I Γ φ dψ − ψ, dφ φ 2 + ψ 2 . (2.8) В качестве примера вычислим вращение γ поля Φ(x, y) = (x, y) радиус-векторов точки на замкнутой кривой Γ, ограничивающей область Ω. Из (2.8) следует, что γ = 1 2π I Γ φ dψ − ψ dφ φ 2 + ψ 2 . (2.9) Допустим вначале, что область Ω не содержит нулевую точку (0, 0). Тогда подынтегральное выражение является в этой области полным дифференциалом (проверьте) и поэтому интеграл равен нулю. Следовательно, и вращение равно нулю. Пусть Ω содержит нулевую точку (0, 0). Из теорем о независимости интеграла от пути вытекает, что интеграл в формуле (2.9) можно вычислять по единичной окружности L: γ = 1 2π I L φ dψ − ψ dφ φ 2 + ψ 2 = 1 2π I L x dy − y dx = 1. Упражнение 2.3. Допустим, что функции φ(x, y) и ψ(x, y) дважды непрерывно дифференцируемы на области Ω вместе с границей Γ и не обращаются одновременно в нуль. Покажите, пользуясь формулой (2.8), что вращение поля (2.2) на Γ равно нулю. Для вычисления вращения по формуле (2.8) с успехом могут быть применены формулы механических квадратур. Априори известно, что вращение на замкнутой кривой есть целое число. Поэтому точное значение вращения будет известно, если правая часть в формуле (2.8) будет вычислена с погрешностью, меньшей чем 0, 5. 2.4. Об одном признаке отличия вращения от нуля. Во многих случаях, как будет выяснено ниже, точное значение вращения не играет роли; важно лишь знать, что вращение отлично от нуля. Пусть A — непрерывное преобразование замкнутой кривой Γ в себя без непо- движной точки. Примерами такого преобразования, например, окружности в се- бя может служить переход к диаметрально противоположной точке или поворот окружности на некоторый угол вокруг центра. Теорема 2.1. Пусть для всех точек M кривой Γ векторы Φ(M) и Φ(A(M)) отличны от нуля и направлены неодинаково, то есть, Φ(A(M)) kΦ(A(M))k 6= Φ(M)) kΦ(M)k . (2.10) 12 Тогда вращение непрерывного векторного поля Φ на Γ отлично от нуля. Доказательство. Пусть кривая Γ задана уравнениями (2.1), и пусть точке A(M) соответствует значение параметра κ(t), если точке M соответствует зна- чение t. Если функции x(t) и y(t) считать продолженными периодически на всю числовую ось, то и функцию κ(t) можно считать непрерывной и периодической с тем же периодом b − a. Допустим, что вращение поля Φ на Γ равно нулю. Тогда угловая функция θ(t) принимает в точках a и b одинаковые значения и ее также можно считать продол- женной периодически на всю числовую ось. Рассмотрим функцию α(t) = θ(t) − θ(κ(t)). Из условия (2.10) вытекает, что эта функция не принимает нулевых значений. С другой стороны, в точке t 1 абсолютного максимума функции θ(t) выполнено очевидное неравенство α(t 1 ) > 0. В точке t 2 абсолютного максимума функции θ(t) выполнено неравенство α(t 2 ) < 0. Поэтому α(t) принимает нулевые значения, и мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Упражнение 2.4. 1) Показать, что в условиях теоремы 2.1 поле Φ может иметь любoe отличное от нуля вращение. 2) Построить пример поля Φ с ненулевым вращением, которое ни при одном преоб- разовании A не удовлетворяет условию (2.10). 3) |