Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
δ 0 > 0, что ke Φ 1 (M 1 ) − e Φ 1 (M 2 )k < m 3 , ke Φ 2 (M 1 ) − e Φ 2 (M 2 )k < m 3 , (4.8) где m — наименьшая длина векторов Φ(M) на Γ, если только расстояние между точками M 1 , M 2 ∈ Ω не превышает δ 0 В точках области Ω, находящихся от Γ на расстоянии, не превышающем δ 0 , в силу (4.8) нет особых точек ни у поля e Φ 1 , ни у поля e Φ 2 Обозначим через Ω ∗ такую связную область, содержащуюся в Ω, граница ко- торой Γ ∗ состоит из конечного числа жордановых замкнутых кривых и все точки границы находятся от Γ на расстоянии, не превышающем δ 0 . На построении обла- сти Ω ∗ мы не останавливаемся. Для каждой точки M ∗ ∈ Γ ∗ найдется точка M ∈ Γ, расстояние которой от M ∗ не превышает δ 0 . Поэтому ke Φ 1 (M ∗ ) − Φ(M)k = ke Φ 1 (M ∗ ) − e Φ 1 (M)k < m 3 , ke Φ 2 (M ∗ ) − Φ(M)k = ke Φ 2 (M ∗ ) − e Φ 2 (M)k < m 3 , откуда следует, что ke Φ 1 (M ∗ ) − e Φ 2 (M ∗ )k ≤ ke Φ 1 (M ∗ ) − Φ(M)k+ +ke Φ 2 (M ∗ ) − Φ(M)k < 2m 3 ≤ 2 3 kΦ(M)k. С другой стороны, ke Φ 1 (M ∗ )k ≥ kΦ(M)k − ke Φ 1 (M ∗ ) − Φ(M)k ≥ kΦ(M)k − m 3 ≥ 2 3 kΦ(M)k. 28 Таким образом, ke Φ 1 (M ∗ ) − e Φ 2 (M ∗ )k < ke Φ 1 (M ∗ )k. Полученное неравенство означает, что поле e Φ 1 на Γ ∗ является главной частью поля e Φ 2 . Из теоремы 4.6 Руше вытекает, что вращение полей e Φ 1 и e Φ 2 на Γ ∗ оди- наково. Значит, одинакова сумма индексов особых точек полей e Φ 1 и e Φ 2 в области Ω. Это и означает, что понятие вращения было введено корректно. Приведенное определение вращения в случае области, граница которой состоит из конечного числа замкнутых жорлановых кривых, совпадает с обычным — это следует из теоремы 3.2. Предоставляем читателю проверить справедливость для векторных полей на границе произвольной ограниченной области теорем 3.3, 4.1, 4.3, 4.4, 4.6, 4.7. Неко- торых дополнительных рассуждений требует при этом лишь теорема 4.1. Теоремы 3.1 и 3.2 следуют из определения. 4.7. О векторных полях на двумерных многообразиях. Пусть L — кусок гладкой поверхности. Вектор Φ называется касательным к поверхности в точке M, если он лежит в плоскости, касательной к L в точке M (рис. 4.1). Рис. 4.1 Рис. 4.2 Допустим, что L при помощи дифференцируемого преобразования T гомео- морфно отображена на некоторую плоскую замкнутую область Ω. Поле Φ, задан- ное на L, естественным образом 4 переходит в плоское поле, заданное на Ω. Изу- 4 Чтобы построить образ вектора Φ(M ), нужно через точку M , вектор Φ(M ) и нормаль к поверхности L провести плоскость Π и на пересечении l этой плоскости с поверхностью L задать направление, как указано на рис. а. Кривая l при преобразовании T перейдет в некоторую пло- а) б) Рис. а), б) скую кривую s, лежащую в Ω; эту кривую вместе с ее естественной ориентацией обозначим через 29 чение каждого поля касательных векторов к такой поверхности L эквивалентно рассмотрению соответствующего векторного поля на плоскости. Однако не каждая поверхность гомеоморфна некоторой плоской области. При- мерами могут служить тор (рис. 4.2) или сфера (поверхность шара). При изучении векторных полей на таких поверхностях L возникают специфические трудности, вызванные топологической структурой L. Отметим, например, такой факт: на по- верхности тора может быть построено непрерывное поле касательных векто- ров (как ?), а на сфере нет. Последнее утверждение совершенно неочевидно. Приведем схему одного из воз- можных доказательств. Допустим, что на единичной сфере S можно построить непрерывное поле Φ(M) касательных векторов. Проведем горизонтальную плоскость Π, касательную к сфере S (в ее южном полюсе). Через T (M) обозначим стереографическую про- екцию точки M ∈ S на плоскость Π, то есть T (M) — это точка пересечения с плоскостью Π луча, проходящего через точку M и через северный полюс O сферы S. Через L обозначим часть сферы, состоящую из точек, расположенных южнее некоторой параллели Γ (см. рис. 4.3). При стереографической проекции T область L переходит в круг; поле T Φ на этом круге не имеет особых точек, и поэтому вращение его на граничной окружности Γ ∗ (образе Γ) равно нулю. Рис. 4.3 С другой стороны, если параллель Γ взята на достаточно высоких северных широтах (близко к северному полюсу), то векторы поля Φ на этой параллели на- правлены с точностью до малых высших порядков одинаково. Геометрически оче- видно, что поле T Φ на Γ ∗ будет при этом иметь такой вид, который указан на рис. 4.4. Вращение этого поля по модулю равно двум, и мы пришли к противоречию. Рис. 4.4 T (l). Вектор, касательный к T (l) в точке T (M ), будем считать образом T Φ(M ) вектора Φ(M ) при преобразовании T (см. рис. б). Для определенности можно считать, что длина вектора T Φ(M ) такая же, как длина вектора Φ(M ). 30 Упражнение 4.6. Будем рассматривать на сфере непрерывные векторные поля, составленные из ненулевых векторов, произвольно расположенных в пространстве (эти векторы не обязаны быть касательными к сфере). Доказать, что каждое такое поле в некоторой точке имеет вектор, направленный по внешней или внутренней нормали (использовать теорему о том, что на сфере не может быть построено непрерывное поле касательных ненулевых векторов). Сформулированное утверждение называют теоремой о еже. 4.8. Произведение вращений. Пусть T — непрерывное отображение единич- ной окружности на себя; вращение векторного поля T (M) на этой окружности обозначим через γ(T ). Рассмотрим на замкнутой кривой Γ нормированное векторное поле Φ(M) и поле 5 Ψ(M) = T Φ(M). Теорема 4.9 (О произведении вращений). Вращения γ(Φ) и γ(Ψ) полей Φ и Ψ на Γ связаны равенством γ(Ψ) = γ(T )γ(Φ). Доказательство. В силу теоремы 4.2 можно построить непрерывную вектор- функцию Φ(M, λ) (0 ≤ λ ≤ 1), гомотопно соединяющую поле Φ(M) с полем Φ 0 (M), угловая функция θ 0 (t) которого имеет вид θ 0 (t) = 2πγ(Φ) b − a (t − a) (a ≤ t ≤ b). (4.9) Без ограничения общности можно считать при этом, что вектор-функция Φ(M, λ) нормирована. Аналогично поле T (M) можно гомотопно соединить нормированной вектор- функцией T (M; λ) (0 ≤ λ ≤ 1) с полем T 0 (M); угловая функция θ 1 (τ ) имеет вид θ 1 (τ ) = γ(T )τ (0 ≤ τ ≤ 2π). (4.10) В формуле (4.9) t — параметр на кривой Γ, в формуле (4.10) τ — полярный угол, который служит параметром на единичной окружности. Вектор-функция T [Φ(M, λ), λ) очевидным образом гомотопно соединяет век- торное поле Ψ с полем Ψ 0 (M) = T 0 (Φ 0 (M)). В силу теоремы 4.1 вращения этих полей одинаковы. Угловая функция θ(t) поля Ψ 0 имеет вид θ(t) = γ(T ) 2π γ(Φ) b − a (t − a) (a ≤ t ≤ b), 5 Здесь и часто в дальнейшем мы пользуемся одинаковым обозначением для точек и их радиус- векторов. 31 откуда следует, что вращение поля Ψ 0 равно γ(T )γ(Φ). Теорема доказана. Упражнение 4.7. 1) Пусть на замкнутой жордановой кривой Γ заданы три векторных поля X, Y, Φ без нулевых векторов, первые два из которых обладают тем свойством, что в каждой точке M ∈ Γ векторы X(M ) и Y(M ) направлены не одинаково и не противоположно. При каждом фиксированном M представим вектор Φ(M ) в виде Φ(M ) = ξ(M )X(M ) + η(M )Y(M ). Через Ψ(M ) обозначим векторное поле, определенное равенством Ψ(M ) = ξ(M )X(M 0 ) + η(M )Y(M 0 ), (4.11) где M 0 — некоторая фиксированная точка на Γ. Вращения полей X и Y одинаковы в силу теоремы 4.3 Пуанкаре – Боля; общее вра- щение этих полей обозначим через γ 0 . Покажите, что вращения γ(Φ) и γ(Ψ) полей Φ и Ψ связаны равенством (теорема о сложении вращений) γ(Φ) = γ 0 + γ(Ψ). (4.12) 2) При помощи теоремы о сложении вращений покажите, что теорема о нечетности вращения нечетного поля вытекает из теоремы о четности вращения четного поля (и наоборот). 3) Как изменится формула (4.12), если поле Ψ вместо равенства (4.11) определить формулой Ψ(M ) = (ξ(M ), η(M )), то есть, если считать ξ(M ) и η(M ) компонентами поля Ψ(M ) в основной прямоугольной системе координат? Упражнение 4.8. Пусть даны три векторных поля Φ i (x, y) = (φ i (x, y), ψ i (x, y)) (i = 1, 2, 3), причем φ 3 (x, y) = φ 1 (x, y)φ 2 (x, y), ψ 3 (x, y) = ψ 1 (x, y)ψ 2 (x, y). Пусть нуль является изолированной особой точкой всех трех полей индексов γ 1 , γ 2 и γ 3 . Верна ли теорема о справедливости равенства γ 3 = γ 1 γ 2 ? 4.9. Устойчивость особой точки. Расстояние между точками M 1 и M 2 будем обозначать через kM 1 − M 2 k. Изолированную особую точку M 0 непрерывного векторного поля Φ 0 будем на- зывать устойчивой, если по каждому ρ 0 > 0 можно найти такое ε > 0, что каждое векторное поле Φ ε , удовлетворяющее условию kΦ ε (M) − Φ 0 (M)k < | (kM − M 0 k ≤ ρ 0 ), (4.13) имеет по крайней мере одну особую точку M ε , удовлетворяющую неравенству kM ε − M 0 k < ρ 0 . (4.14) 32 Допустим, что индекс γ точки M 0 равен нулю. Из непрерывности векторного поля Φ 0 вытекает, что по каждому ε > 0 можно найти такой круг K ε с центром в M 0 , на котором длины векторов Φ 0 (M) меньше ε. Вращение поля Φ на окружности S ε , являющейся границей круга K ε равно нулю. Поэтому поле Φ 0 с окружности S ε можно непрерывно продолжить на K ε без нулевых векторов, причем без ограни- чения общности можно считать, что длины векторов продолженного поля Φ ε не превышают ε. Сохраним обозначение Φ ε за полем, которое вне круга K ε совпадает с Φ 0 . Очевидное неравенство kΦ ε (M) − Φ 0 (M)k ≤ 2ε, отсутствие у поля Φ ε , в окрестности точки M 0 особых точек, произвольность ε — все это означает, что особая точка с нулевым индексом неустойчива. Если же индекс особой точки M 0 отличен от нуля, то на малых окружностях S с центром в M 0 вращение поля Φ 0 отлично от нуля. Поэтому отлично от нуля вращение на S полей Φ ε близких к Φ 0 , так как поля Φ ε на S гомотопны Φ 0 . Это значит, что близкие поля внутри указанных окружностей имеют особые точки. Нами доказана Теорема 4.10. Изолированная особая точка непрерывного векторного поля устойчива тогда и только тогда, когда ее индекс отличен от нуля. § 5. Порядок точки и степень отображения 5.1. Порядок точки относительно образа границы. Плоскость можно рас- сматривать как векторное пространство. Это значит, что некоторая точка O плос- кости названа нулевой и что каждая точка M плоскости отождествлена с вектором OM , соединяющим точку O с точкой M. В дальнейшем мы часто не будем делать различия между векторами и точками плоскости. Векторное поле Φ(M) на некотором множестве M можно рассматривать как отображение множества M в некоторое другое множество плоскости; это отоб- ражение мы будем обозначать той же буквой Φ. При этом отображении точка M переходит в точку Φ(M). Непрерывность поля Φ(M), очевидно, равносильна непрерывности отображения Φ. Пусть поле Φ(M) задано на границе Γ некоторой ограниченной области Ω. До- пустим, что точка N 0 не принадлежит образу Γ: N 0 6∈ Φ(Γ). Тогда векторное поле Φ(M, N 0 ) = Φ(M) − N 0 (5.1) не имеет на Γ нулевых векторов. Вращение поля Φ(M, N 0 ) называется порядком точки N 0 относительно образа Φ(Γ) границы Γ. Этот порядок будем обозначать через q(N 0 , Φ; Γ). Если поле Φ(M) не имеет на Γ нулевых векторов, то его вращение — порядок нулевой точки O относительно Φ(Γ). Предположим, что N 0 зависит непрерывно 33 от некоторого параметра λ, причем при значениях λ из некоторого промежутка [α, β] точка N 0 (λ) не принадлежит Φ(Γ). Тогда вектор-функция Φ(M, λ) = Φ(M) − N 0 (λ) будет гомотопно соединять любые два поля Φ(M, λ 1 ) и Φ(M, λ 2 ) (α ≤ λ 1 < λ 2 ≤ β). Это значит, что порядки всех точек N 0 (λ) относительно Φ(Γ) одинаковы. Каждые две точки связного открытого множества можно соединить ломаной, которую можно задать уравнением N = N(λ). Поэтому из предыдущего рассуж- дения вытекает Теорема 5.1. Пусть K — связная компонента множества точек, не принад- лежащих Φ(Γ). Тогда порядок всех точек N 0 ∈ K относительно Φ(Γ) одинаков. Одна из таких связных компонент — мы ее обозначим через K ∞ — содержит внешность круга K с центром в нулевой точке O, в котором лежит Φ(Γ). Для каждой точки N 0 , лежащей вне круга K, направление всех векторов поля (5.1) не совпадает с направлением вектора ON 0 (см. рис. 5.1). Таким образом поле (5.1) выпускает направление ON 0 и, в силу теоремы 4.7, имеет нулевое вращение. Это значит, что порядок всех точек области K ∞ относительно Φ(Γ) равен нулю. Установим некоторые свойства порядка точки. Рис. 5.1 Будем говорить, что отображения Φ и Ψ, определенные на Γ, гомотопны в плос- кости с исключенной точкой N 0 , если существует непрерывная вектор-функция Φ(M, λ) (M ∈ Γ, 0 ≤ λ ≤ 1), не принимающая значения N 0 и такая, что Φ(M, 0) = Φ(M), Φ(M, 1) = Ψ(M) (M ∈ Γ). Это определение равносильно тому, что векторные поля Φ(M) − N 0 и Ψ(M) − N 0 гомотопны. Поэтому вращения полей Φ(M) − N 0 и Ψ(M) − N 0 одинаковы, а это значит, что порядок точки N 0 относительно Φ(Γ) и относительно Ψ(Γ) одинаков. В частности, отсюда вытекает Теорема 5.2. Порядок q(N 0 , Φ; Γ) не меняется при малых возмущениях поля Φ . Предположим, что поле Φ определено на некоторой области Ω, причем N 0 6∈ Φ(Ω). Пусть кривая Γ, лежащая в области Ω, испытывает некоторую непрерывную деформацию в Ω. Это значит, что кривая Γ задана в параметрической форме x = x 0 (t), y = y 0 (t) (a ≤ t ≤ b) (5.2) 34 |