Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
x = x(t, µ), y = y(t, µ) (a ≤ t ≤ b, α ≤ µ ≤ β), (5.3) где непрерывные функции x(t, µ) и y(t, µ) при µ = α переходят в функции x 0 (t) и y 0 (t). Тот факт, что деформация происходит в области Ω, означает принадлеж- ность всех точек (x(t, µ), y(t, µ)) области Ω. Кривую, заданную уравнениями (5.3) при фиксированном µ, обозначим через Γ µ Теорема 5.3. Порядок точки N 0 относительно Φ(Γ) и относительно Φ(Γ µ ) одинаков. Предоставляем читателю провести доказательство. Упражнение 5.1. Вычислить порядок точки (0, 0) относительно Φ(Γ), если Γ — окружность x = cos t, y = sin t (0 ≤ t ≤ 2π) и 1) Φ(x, y) = (x − a, y + b), 2) Φ(x, y) = (a − x, b + y), 3) Φ(t) = (cos 3t + cos t + α, sin 3t − sin t + β) (рассмотреть случаи α = ±1, β = 0 и α = 0, β = ±1). Упражнение 5.2. Пусть область Ω с границей Γ разбита на части Ω 1 и Ω 2 с гра- ницами Γ 1 и Γ 2 . Пусть N 0 6∈ Φ(Γ 1 ) ∪ Φ(Γ 2 ). Доказать, что q(N 0 , Φ; Γ 1 ) + q(N 0 , Φ; Γ 2 ) = q(N 0 , Φ; Γ). (5.4) 5.2. Порядок точки относительно локальной простой кривой. Рассмот- рим подробнее частный случай, когда Γ является замкнутой жордановой кривой, а отображение Φ локально взаимно однозначно. Образ Φ(Γ) называют тогда ло- кально простой кривой. Будем считать, что кривая Γ задана в параметрической форме равенствами (5.2). Отображение Φ устанавливает параметризацию на Φ(Γ), а следовательно, и направление обхода. Следует помнить при этом, что разным значениям параметра t соответствуют различные точки кривой Γ, но соответствующие точки локально простой кривой Φ(Γ) могут совпадать. Примером локально простой кривой может служить окружность, проходимая в одном направлении несколько раз. Допустим дополнительно, что Φ(Γ) можно представить как конечное число жордановых кривых, имеющих друг с другом лишь конечное число общих то- чек. В этом случае локально простая кривая Φ(Γ) имеет конечное число кратных точек (то есть, точек “самопересечения” и “самокасания”) и разбивает плоскость на конечное число односвязных областей D 1 , . . . , D n , одна из которых содержит бесконечно удаленную точку. Примеры таких разбиений показаны на рис. 5.2. 35 Рис. 5.2 Теорема 5.4. Для точек двух областей, граничащих друг с другом вдоль неко- торой жорданояой дуги L 0 , являющейся частью Φ(Γ), порядки относительно Φ(Γ) отличаются на 1. При этом порядок больше для точек той области, ко- торая порождает на L 0 направление обхода, совпадающее с тем направлением, которое задано на локально простой кривой Φ(Γ). Доказательство. В силу теоремы 5.3 без ограничения общности можно счи- тать, что дуга L 0 — отрезок прямой, соответствующий изменению параметра t (в представлении (5.2)) на промежутке [t 1 , t 2 ]. Пусть L 0 — образ дуги Γ 0 ⊆ Γ. Остальную часть кривой обозначим через Γ 1 : Γ = Γ 0 ∪ Γ 1 . Рис. 5.3 Пусть значениям t = t 1 и t = t 2 соответствуют на локально простой кривой Φ(Γ) точки Φ(M 1 ) и Φ(M 2 ). Выберем в областях, частью общей границы которых является отрезок L 0 , точки N 1 и N 2 (см. рис. 5.3). Нужно показать, что 1 + q(N 1 , Φ; Γ) = q(N 2 , Φ; Γ), (5.5) то есть, доказать, что вращения γ 1 и γ 2 полей Φ 1 (M, N 1 ) = Φ(M) − N 1 и Φ 2 (M, N 2 ) = Φ(M) − N 2 36 связаны соотношением 1 + γ 1 = γ 2 . (5.6) Для простоты рассуждений будем считать, что точки N 1 и N 2 лежат на общем перпендикуляре к отрезку L 0 , проходящем через середину N 0 этого отрезка, и находятся от L 0 на одинаковом расстоянии ρ. Вращения γ 1 (Γ 1 , ρ) и γ 2 (Γ 1 , ρ) полей Φ 1 (M, N 1 ) и Φ 2 (M, N 2 ) на Γ 1 стремятся к некоторому общему пределу γ ∗ при ρ → 0, так как оба эти поля при ρ → 0 пе- реходят в поле Φ(M) − N 0 без нулевых векторов на Γ 1 . Из рисунка видно, что вращения γ 1 (Γ 0 , ρ) и γ 2 (Γ 0 , ρ) полей Φ 1 (M, N 1 ) и Φ 2 (M, N 2 ) на Γ 0 при ρ → 0 стре- мятся соответственно к − 1 2 и 1 2 Это позволяет предельным переходом в равенстве γ 2 (Γ 0 , ρ) + γ 2 (Γ 1 , ρ) = µ γ 2 (Γ 0 , ρ) − 1 2 ¶ + (γ 2 (Γ 1 , ρ) − γ ∗ )− − µ 1 2 + γ 1 (Γ 0 , ρ) ¶ − (γ 1 (Γ 1 , ρ) − γ ∗ ) + γ 1 (Γ 0 , ρ) + γ 1 (Γ 1 , ρ) + 1 при ρ → 0 получить равенство (5.6). Теорема доказана. Рис. 5.4 Так как для достаточно удаленных точек порядок, как показано в предыдущем пункте, равен нулю, то теорема 5.4 позволяет вычислять порядки точек. Следова- тельно, теорема 5.4 позволяет вычислять вращение векторных полей Φ(M), если удается построить кривую Φ(Γ). На рис. 5.4 в каждой области, на которую делит плоскость изображенная локально простая кривая Φ(Γ), указан порядок точек относительно Φ(Γ). Упражнение 5.3. 1) Вычислить порядки точек в областях, на которые плоскость разбивают локально простые кривые, изображенные на рис. 5.2. 37 2) Как изменятся порядки точек, если ориентацию локально простой кривой заменить противоположной? Из теоремы 5.4 вытекает, что вращение поля Φ на замкнутой кривой Γ равно 1 или −1, если из Φ(M 1 ) = Φ(M 2 ) (M 1 , M 2 ∈ Γ) следует, что M 1 = M 2 Упражнение 5.4. Пусть векторное поле Φ определено на области Ω с границей Γ, причем вращение поля Φ на Γ отлично от нуля. Докажите, что образ области Ω при преобразовании Φ содержит внутренние точки (эту теорему называют принципом сохранения области). 5.3. Степень отображения на окружность. Пусть даны ориентированные жордановы кривые M 1 M 2 и N 1 N 2 . Говорят, что степень гомеоморфного (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного) отображения Φ кривой M 1 M 2 на кривую N 1 N 2 равна 1, если при этом отображении ориентация сохраняется (то есть, Φ(M 1 ) = N 1 , Φ(M 2 ) = N 2 ). Если ориентация меняется, то степень отображе- ния равна −1. Рассмотрим на замкнутой кривой Γ непрерывное нормированное векторное по- ле Φ. Допустим, что единичную окружность S можно разбить на части ∆ 1 , . . . , ∆ n точками N 1 , . . . , N n и кривую Γ на части Σ 1 , . . . , Σ m точками M 1 , . . . , M m (см. рис. 5.5) так, что каждая дуга Σ i при отображении Φ либо переходит полностью в одну точку N j , либо гомеоморфно отображается на некоторую из дуг ∆ j ; отображение Φ в этом случае называют симплициальным. Выберем одну фиксированную дугу ∆ j и обозначим через s число таких дуг Σ i которые переходят при отображении Φ в ∆ j 0 и степень отображения которых на ∆ j 0 равна 1, а через t — число дуг Σ i , степень отображения которых на ∆ j 0 равна −1. Число γ = s − t (5.7) называется степенью отображения Φ кривой Γ на единичную окружность. Рис. 5.5 Степень отображения в формуле (5.7) не случайно обозначена той же буквой, которой выше обозначалось вращение. Оказывается, что степень отображения Φ кривой Γ на единичную окружность равна вращению поля Φ на Γ. Доказатель- ство этого утверждения предоставляем провести читателю; отметим лишь, что это доказательство в других терминах проведено в п. 1.5. Так как степень отображения равна вращению поля, то она не зависит от вы- бора ∆ j 0 38 Для произвольного непрерывного отображения Φ замкнутой кривой Γ на еди- ничную окружность можно построить сколь угодно близкие симплициальные отоб- ражения Φ ε (докажите). Поля Φ ε будут гомотопны (в силу близости) полю Φ и поэтому будут иметь одинаковое вращение. Это значит, что достаточно близкие к Φ симплициальные отображения имеют одинаковую степень; эту общую степень называют степенью отображения Φ кривой Γ на единичную окружность. При этом определении степень отображения Φ снова совпадает с вращением поля Φ. Выше описано, как при помощи степени отображения на окружность ввести понятие вращения непрерывного векторного поля из векторов единичной длины. После этого вращение произвольного непрерывного векторного поля Ψ без нуле- вых векторов определяется как вращение нормированного поля Φ(M) = Ψ(M) kΨ(M)k (M ∈ Γ). Приведенное в этом пункте определение степени отображения на окружность или, что то же, понятия вращения непрерывного нормированного векторного поля имеет существенное преимущество: оно просто обобщается 6 на случай отображе- ний и векторных полей в трехмерном пространстве и в пространствах большего числа измерений. Упражнение 5.5. Пусть на кривой Γ задано поле Φ без нулевых векторов. Допу- стим, что удалось найти все положительные решения уравнения Φ(M ) = tΦ 0 , где Φ 0 — некоторый фиксированный вектор, причем число этих решений конечно. Как по найден- ным решениям вычислить вращение поля Φ? 5.4. Локальная степень отображения. Пусть на области Ω задано непре- рывное векторное поле Φ. Допустим, что в некоторой окрестности точки M 0 ∈ Ω нет отличных от M 0 точек, в которых вектор поля совпадает с вектором Φ(M 0 ). Это значит, что точка M 0 является изолированным нулем векторного поля Ψ(M) = Φ(M)−Φ(M 0 ). Индекс этой особой точки поля назовем локальной степенью отоб- ражения Φ в точке M 0 . Иначе говоря, локальная степень отображения Φ в точке M 0 — это вращение поля Ψ(M) на окружностях S r , малого радиуса r с центром в точке M 0 , или, что то же, степень отображения — это порядок q(Φ(M 0 ), Φ; S r ) точки Φ(M 0 ) относительно Φ(S r ). Упражнение 5.6. Докажите, что локальная степень отображения Φ в точке M 0 равна нулю тогда и только тогда, когда столь угодно малым изменением отображения Φ можно получить отображение Ψ, переводящее некоторую фиксированную окрестность точки M 0 в множество, не содержащее Φ(M 0 ). Нам понадобятся в дальнейшем некоторые свойства локальной степени отобра- жения. Теорема 5.5. Пусть отображение Φ в окрестности точки M 0 взаимно одно- значно и взаимно непрерывно. 6 См. П.С. Александров, Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1950; M.А. Красно- сельский, Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, 1956. Авторы предполагают в ближайшее время подготовить книгу, специально посвященную векторным полям в n-мерном пространстве. 39 Тогда степень отображения Φ в точке M 0 равна 1 или −1. Утверждение это непосредственно вытекает из теоремы 5.4, так как в условиях теоремы 5.5 множества Φ(S r ) будут не только локально простыми кривыми, но, более того, будут замкнутыми жордановыми кривыми. Теорема 5.6. Пусть в окрестности точки M 0 задано непрерывное векторное поле Φ, а в окрестности точки N 0 = Φ(M 0 ) — поле Ψ. Пусть определены локаль- ные степени γ(Φ, M 0 ) и γ(Ψ, N 0 ) отображения Φ в точке M 0 и отображения Ψ в точке N 0 . Тогда определена локальная степень γ(X, M 0 ) отображения X = Ψ(Φ(M)) в точке M 0 , причем γ(X, M 0 ) = γ(Ψ, N 0 ) γ(Φ, M 0 ). (5.8) Это утверждение вытекает из теоремы 4.9; проведение деталей доказательства предоставляем читателю. Теорема 5.6 будет использована при вычислении индексов особых точек неко- торых векторных полей. 5.5. Степень отображения области. Пусть на замкнутой области Ω с грани- цей Γ задано непрерывное векторное поле Φ. Пусть N 0 6∈ Φ(Γ). Порядок γ(N 0 , Φ, Γ) точки N 0 относительно Φ(Γ) называют также степенью отображения Φ области Ω относительно точки N 0 . Наряду с обозначением γ(N 0 , Φ, Γ) мы будем писать иногда γ(N 0 , Φ, Ω). Из определения следует, что все отображения области Ω, совпадающие на Γ, имеют одинаковую степень отображения относительно N 0 Читатель без труда сформулирует аналоги утверждений, приведенных в п. 5.1, в терминах степени отображения области. Допустим, что точка N 0 имеет в области Ω конечное число прообразов, то есть лишь конечное число точек M 1 , . . . , M k области Ω при преобразовании Φ переходит в N 0 . Теорема об алгебраическом числе особых точек поля Φ(M) − N 0 может быть сформулирована следующим образом: Теорема 5.7. Степень γ(N 0 , Φ, Ω) отображения Φ области Ω относитель- но точки N 0 равна сумме локальных степеней γ(Φ, M i ) отображения Φ во всех прообразах M i точки N 0 : γ(N 0 , Φ; Ω) = k X i=1 γ(M i , Φ). (5.9) В частности, степень γ(N 0 , Φ, Ω) гомеоморфного отображения Φ области Ω отно- сительно всех точек N 0 ∈ Φ(Ω) равна (в силу теоремы 5.5) 1 или −1. Принято гово- рить, что Ω при отображении Φ положительно накрывает N 0 , если γ(N 0 , Φ, Ω) = 1, аналогично Ω отрицательно накрывает N 0 , если γ(N 0 , Φ; Ω) = −1. 40 Если в малой окрестности каждого прообраза M 1 , . . . , M k точки N 0 отображение Φ взаимно однозначно, то теорема 5.7 означает, что степень отображения Φ обла- сти Ω относительно точки N 0 равна количеству n 1 прообразов точки N 0 , окрестно- сти которых при отображении Φ положительно накрывают N 0 , минус количество n 2 прообразов, окрестности которых при отображении Φ отрицательно накрывают N 0 : γ(N 0 , Φ; Ω) = n 1 − n 2 . (5.10) Формула (5.9) удобна для вычисления степени отображения, а следовательно, и для вычисления вращения векторных полей. Применение этой формулы требует вычисления индексов особых точек векторных полей. Опишем еще один способ введения понятия степени отображения области, ана- логичный описанному в п. 5.3 определению степени отображения на окружность. Пусть два многоугольника Ω и разбиты некоторым способом на треугольни- ки. Все треугольники считаются ориентированными обычным способом — обход вершин против хода часовой стрелки. Непрерывное отображение Φ многоугольника Ω на многоугольник называет- ся симплициальным, если каждый треугольник Σ разбиения многоугольника Ω при преобразовании Φ либо переходит в одну точку, либо в сторону одного из треугольников ∆ разбиения многоугольника , либо Σ аффинно преобразуется в некоторый треугольник ∆. Пусть N 0 — внутренняя точка одного из треугольни- ков ∆ 0 разбиения многоугольника T . Степенью симплициального отображения Φ многоугольника Ω относительно точки N 0 называется разность между числом треугольников Σ, переходящих в ∆ 0 с сохранением ориентации, и числом треуголь- ников Σ, переходящих в ∆ 0 с изменением ориентации. В силу формулы (5.10) это определение совпадает с принятым ранее. Для случаев произвольных (несимплициальных) отображений Φ произвольной (отличной от многоугольника) области Ω степень отображения определяется как общая степень всех достаточно близких к Φ симплициальных отображений, опре- деленных на многоугольниках, содержащихся в Ω и содержащих все прообразы точки |