Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
N 0 Степень отображения Φ относительно точки N 0 определяется, очевидно, лишь значениями отображения Φ в окрестности полного прообраза точки N 0 . Поэтому понятие степени отображения может быть отнесено и к отображениям, опреде- ленным на неограниченных областях (например, на всей плоскости), если только полный прообраз точки N 0 является ограниченным множеством. Упражнение 5.7. Пусть F — гомеоморфное преобразование плоскости на себя, a ε — степень отображения F . Доказать, что для любого векторного поля Φ, определенного на Ω, γ(Φ(N 0 ), F Φ, F (Ω)) = εγ(N 0 , Φ, Ω) (5.11) и γ(F −1 (N 0 ), F −1 , F −1 (Ω)) = εγ(N 0 , Φ, Ω), (5.12) где через F −1 обозначено обратное к F преобразование. 41 Упражнение 5.8. Пусть F — локально взаимно однозначное отображение. Пусть K 1 , . . . , K r — все компоненты открытого множества точек, не принадлежащих Φ(Γ), в каждой из которых выбрана фиксированная точка N i (i = 1, . . . , r). Тогда γ(P 0 , F Φ, Ω) = r X i=1 γ(P 0 , F, K i )γ(N i , Φ i , Ω) (5.13) (естественно, что точка P 0 предполагается не принадлежащей F Φ(Γ), где Γ — граница Ω). 5.6. Угловой порядок локально простой кривой 7 . Пусть замкнутая ло- кально простая кривая L задана уравнением M(t) = (φ(t), ψ(t)) (a ≤ t ≤ b). (5.14) В дальнейшем удобно считать, что M(t) периодически продолжена на все значения t: M(t + b − a) ≡ M(t). Пусть α(t) — такая непрерывная положительная функция, что на каждом от- резке [t, t + α(t)] вектор-функция (5.14) взаимно однозначна (разным значениям аргумента соответствует разное значение функции), причем α(t) < b − a. Тогда векторное поле Φ(t) = M(t + α(t)) − M(t) (a ≤ t ≤ b) (5.15) не имеет нулевых векторов и непрерывно. Если мы будем рассматривать поля Φ(t), определенные по различным функциям α(t), то их вращение будет одинаково (докажите!). Это общее вращение назовем угловым порядком локально простой кривой L и обозначим через p(L). Нетрудно видеть, что угловой порядок определяется только направлением об- хода локально простой кривой, а не зависит от выбора параметра, определяющего это направление обхода. При изменении направления обхода угловой порядок ме- няет знак. Если кривая (5.14) гладкая, то ее угловой порядок, очевидно, совпадает с вра- щением поля касательных. Отсюда и из теоремы 2.3 вытекает, что угловой порядок положительно ориентированной гладкой и замкнутой кривой без самопересечений равен 1. Для этой же кривой, проходимой n раз в положительном направлении, угловой порядок равен n, а при обходе в отрицательном направлении угловой по- рядок равен −n. Если локально простая кривая L гладкая всюду, за исключением конечного числа угловых точек, то ее угловой порядок p(L) можно определить как сумму вращений поля касательных на гладких частях и измеренных в единицах полного оборота углов поворота касательных в угловых точках. Геометрически очевидно, что углы поворота касательных в угловых точках могут принимать значения от −π до π (в радианах). 7 Понятие углового порядка кривой было подвергнуто систематическому изучению M. Mор- сом в связи с развитием топологических методов теории функций комплексного переменного (М. Морс, Топологические методы в теории функций комплексного переменного, ИЛ, 1955). 42 Рис. 5.6 Рис. 5.7 На рис. 5.6 около локально простых кривых указан их угловой порядок. Про- верьте, правильно ли он вычислен. Упражнение 5.9. Вычислить угловой порядок кривых, изображенных на рис. 5.7. Упражнение 5.10. При каких ориентациях кривой, изображенной на рис. 5.8, ее угловой порядок равен −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4? Рис. 5.8 Обозначим через A совокупность всех функций α(t), при помощи которых могло конструироваться поле (5.15). Величина ε(L) = sup A min t α(t) (5.16) называется показателем локальной простоты L. Эта величина зависит от того, какой введен параметр. Семейство L(λ) (λ 1 ≤ λ ≤ λ 2 ) локально простых кривых называется допусти- мой деформацией, если эти кривые заданы уравнением M(t, λ) = (φ(t, λ), ψ(t, λ)) (a ≤ t ≤ b, λ 1 ≤ λ ≤ λ 2 ), (5.17) где функции φ(t, λ) и ψ(t, λ) непрерывны по совокупнссти переменных, и если показатели ε(λ) локальной простоты кривых L(λ) ограничены снизу некоторой положительной постоянной ε 0 Локально простые замкнутые кривые, полученные одна из другой при помо- щи допустимой деформации, имеют одинаковый угловой порядок. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что в качестве функции α(t) для всех кривых, 43 определяющих допустимую деформацию, можно взять постоянное число 1 2 ε 0 ; по- сле этого становится очевидной непрерывность углового порядка как функции от λ; остается вспомнить, что угловой порядок — целое число. Нашей дальнейшей целью будет дать простой рецепт 8 вычисления углового порядка для случая локально простых гладких кривых L с конечным числом конечнократных точек. Точка локально простой кривой имеет, по определению, конечную кратность, если ей соответствует конечное число значений параметра (на [a, b]). Такие точки будем называть узлами кривой L. Кривая L делит плоскость на конечное число m однозвязных областей Ω 1 , . . . , Ω m−1 и Ω ∞ , где Ω ∞ — область, содержащая бесконечно удаленную точку. Через q i будем обозначать порядок (см. пп. 5.1 и 5.2) точек области Ω i относительно L. Теорема 5.4 позволяет эти порядки вычислять просто. В п. 5.1 было показано, что q ∞ = 0. Так как по предположению кривая L гладкая, то через каждый узел M 0 прохо- дит с определенным направлением конечное число простых дуг. Те дуги, которые касаются друг друга в точке M 0 , будем считать относящимися к одному пучку; пу- чок может состоять и из одной дуги (см. рис. 5.9). Каждые два пучка пересекают друг друга под отличным от нуля углом. Рис. 5.9 Количество пучков, проходящих через точку M 0 , обозначим через k(M 0 ). Через узел, изображенный на рис. 5.9, проходит три пучка. Круговая окрестность точки M 0 достаточно малого радиуса разбивается про- ходящими через M 0 дугами на конечное число криволинейных секторов. Секторы между дугами одного пучка назовем секторами первого типа, у них центральные углы равны нулю. Секторы между пучками назовем секторами второго типа, у них центральные углы отличны от нуля. Каждый сектор, примыкающий к M 0 , принадлежит некоторой области Ω i . При- пишем сектору S порядок q(S), равный порядку q i , если S ⊆ Ω i Пусть q (1) (M 0 ) — сумма порядков секторов первого типа, а q (2) (M 0 ) — второго 8 А.И. Поволоцкий, Определение углового порядка локально простой кривой, ДАН СССР 124, №3, 1959. 44 типа. Тогда величину I(M 0 ) = 1 2 µ q (1) (M 0 ) + k − 1 k q (2) (M 0 ) ¶ (5.18) назовем индексом узла M 0 . Ниже будет доказано, что индекс каждого узла есть целое число. Вычислим, например, индекс узла, изображенного на рис. 5.10 (цифры указы- вают порядки q(S) соответствующих секторов). Здесь k = 2, q (1) = 8, q (2) = 4, поэтому I(M 0 ) = 1 2 µ 8 + 2 − 1 2 · 4 ¶ = 5. Рис. 5.10 Пусть M 1 , . . . , M n — все узлы гладкой локально простой кривой L. Теорема 5.8. Угловой порядок p(L) можно определить формулой p(L) = m X i=1 q i − n X i=1 I(M i ). (5.19) Доказательство. Рассмотрим границу Γ i области Ω i , порядок которой q i = q(Ω i ) отличен от нуля. Каждая такая область односвязна, и поэтому Γ i можно рассматривать как некоторую локально простую кривую, угловой порядок кото- рой (при положительной ориентации) равен 1. Этот угловой порядок равен сумме поворотов касательных на гладких дугах, из которых составлена граница Γ i , плюс сумма углов между касательными в угловых точках границы Γ i (эти угловые точ- ки — узлы кривой, к которым примыкает область Ω i ). Положительная ориентация кривой Γ i совпадает, в силу теоремы 4.4, с направ- лением обхода всей кривой L на тех дугах границы, которые отделяют Ω i от об- ластей Ω j , порядок которых меньше на 1. На остальных дугах кривой Γ i , отделя- ющих Ω i от областей с большим на 1 порядком, эта положительная ориентация противоположна направлению обхода L. Отсюда вытекает, что при обходе каждой кривой Γ i ровно q i раз (q i раз в положительном направлении, если q i > 0, и |q i | раз в отрицательном направлении, если q i < 0) каждая дуга, разделяющая две 45 области, будет пройдена в направлении обхода кривой L на один раз больше, чем в противоположном направлении. Это значит, что при описанной системе обходов сумма всех поворотов касатель- ных на гладких дугах границ Γ i будет равна 2πp(L), где p(L) — угловой порядок кривой L. Если к поворотам касательных прибавить углы между касательными в угловых точках границ Γ i , то мы получим, как отмечалось в начале доказатель- ства, угловые порядки кривых Γ i . Таким образом, мы приходим к равенству n X i=1 q(Ω i ) = 1 2π m X i=1 r(M i ) + p(L), (5.20) где r(M i ) — это сумма поворотов касательной во всех углах с вершиной в узле M i , причем в этой сумме каждый поворот касательной берется столько раз, каков порядок соответствующего углового сектора. Mы покажем, что 1 2π r(M i ) = I(M i ) (i = 1, . . . , m). Этим доказательство теоремы будет завершено. При допустимой деформации локально простой кривой ее порядок не меняется. Произведем такую деформацию кривой L, чтобы она изменилась лишь в окрестно- сти фиксированного узла M 0 таким образом, что число и взаимное расположение областей Ω i не меняется, но пучки (количество которых равно k) расположены таким образом, что угол между ними равен π k . Возможность описанной дефор- мации геометрически очевидна (на строгом доказательстве, которое несложно, но громоздко, мы не останавливаемся). Так как при рассматриваемой деформации все величины, входящие в равенство (5.20), не меняются, то не меняется и величина r(M 0 ). Но для деформированного узла эта величина просто вычисляется. Если S — сектор первого типа в вершине M 0 , то поворот касательной в точке M 0 равен π, а если S — сектор второго типа, то поворот касательных равен π − π k . Поэтому r(M 0 ) = πq (1) (M 0 ) + ³ π − π k ´ q (2) (M 0 ) = 2πI(M 0 ). Теорема доказана. Рис. 5.11 46 В качестве примера рассмотрим изображенную на рис. 5.11 кривую. В каждой области указан ее порядок. Имеем 12 X i=1 q i = 10. Индексы узлов равны I(M 1 ) = 0, I(M 2 ) = I(M 3 ) = . . . = I(M 7 ) = 1, I(M 8 ) = I(M 9 ) = 2, поэтому 9 X i=1 I(M i ) = 10. Следовательно, угловой порядок этой кривой p = 10 − 10 = 0. Покажем, что индекс каждого узла — целое число, и выведем новую формулу для его вычисления. Аналогично тому, как мы производили допустимую деформацию при доказа- тельстве теоремы 5.8, произведем новую деформацию, при которой все дуги, про- ходящие через узел M 0 , перейдут в один пучок. Такая деформация не изменит r(M 0 ) узла, а следовательно, не изменит и индекс узла. После деформации секто- ров второго типа будет ровно два, а остальные секторы будут секторами первого типа. Поэтому I(M 0 ) = 1 2 q ∗ , (5.21) где q ∗ — сумма порядков секторов первого типа. Порядки соседних секторов в силу теоремы 5.4 являются числами разной четно- сти. Поэтому сумма порядков диаметрально противоположных секторов является четным числом, если количество пар секторов четно, и эта сумма является нечет- ным числом, если количество пар секторов нечетно. В обоих этих случаях число q ∗ , как легко видеть, четно. Поэтому индекс I(M 0 ) — целое число. Число q ∗ отличается от суммы q порядков всех секторов, примыкающих к узлу M 0 , на сумму порядков двух диаметрально противоположных секторов второго типа. Отсюда вытекает, что сумма порядков двух диаметрально противоположных секторов второго типа есть величина постоянная. Заметим, что сумма порядков двух диаметрально противоположных секторов первого типа может отличаться от суммы порядков диаметрально противополож- ных секторов второго типа (постройте пример). 5.7. О вращении разрывных полей. Понятие вращения может быть обоб- щено на некоторые классы разрывных полей. Опираясь на такое обобщение, И.Б. Симоненко (ДАН 135 (1960), №3) получил важные результаты по краевым за- дачам для аналитических функций. О приложениях вращения к этим вопросам см. например, Ф.Д. Гахов, Краевые задачи (Физматгиз, 1963). 47 ГЛАВА 2 ИНДЕКС ОСОБОЙ ТОЧКИ § 6. Векторные поля с главной линейной частью 6.1. Вычисление индекса по главной части поля. Пусть M 0 — особая точ- ка непрерывного векторного поля Φ. Напомним, что к особым точкам относятся точки, в которых поле не определено, в которых нарушается непрерывность поля, и точки, в которых векторы поля равны нулю. Нас в этой главе будет интересо- вать вопрос о том, изолирована ли особая точка M 0 и, если она изолирована, чему равен ее индекс. Всюду в дальнейшем мы будем считать, что в плоскости задана прямоугольная система координат (x, y). Тогда векторное поле Φ задается своими компонентами Φ(x, y) = (φ(x, y), ψ(x, y)). (6.1) Легко видеть, что особая точка (x 0 , y 0 ) поля (6.1) изолирована в том и только в том случае, если изолирована особая точка (0, 0) поля Ψ(x, y) = (φ(x + x 0 , y + y 0 ), ψ(x + x 0 , y + y 0 )), (6.2) причем индексы этих особых точек одинаковы. Поэтому без ограничения общности можно считать, что изучаемая особая точка — это нулевая точка O (0, 0). Поле Φ 0 называется главной частью поля Φ в окрестности точки O, если в отличных от O точках некоторой окрестности O выполняется неравенство kΦ 0 (M) − Φ(M)k < kΦ 0 (M)k. (6.3) Если нулевая точка является изолированной особой точной поля Φ 0 , то она будет изолированной особой точкой поля Φ. В силу теоремы 4.6 (теоремы Руше) индексы нулевой особой точки полей Φ и Φ 0 одинаковы. Основной принцип для вычисления индекса особой точки поля Φ заключается в отыскании такой главной части Φ 0 , чтобы индекс нулевой особой точки поля Φ 0 вычислялся просто. В ближайших параграфах мы будем искать индексы особых точек, являющихся нулями непрерывного векторного поля. Иначе говоря, будем изучать такие точ- ки (x 0 , y 0 ), в которых поле непрерывно и координаты которых определяются из системы уравнений |