Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
− 2xy + y 2 , x 2 + 3xy − x 3 + 9x 2 y − 7xy 2 + 64y 5 ), 2) Φ(x, y) = (x + x 2 + 2xy + x 3 − 3xy 2 + y 4 , x 2 + 3xy + 17xy 2 + 2y 5 − 2x 6 + 3x 2 y 4 ). Описанный в этом пункте алгоритм применим к исследованию нулевой особой точки, если хотя бы одно из чисел (7.2) отлично от нуля. В этом случае всегда можно перейти к полю, компоненты которого имеют вид (7.14). Покажем это. Пусть для определенности a 1 = φ 0 x (0, 0) 6= 0. Перейдем от поля (7.1) к полю e Φ(ξ, η) = µ φ µ 1 a 1 ξ − a 2 a 1 η, η ¶ , ψ µ 1 a 1 ξ − a 2 a 1 η, η ¶¶ . (7.24) Компоненты e φ(ξ, η) и e ψ(ξ, η) поля (7.24) представимы в виде (7.14) (проверьте!). Нетрудно видеть, что нулевая особая точка поля e Φ(ξ, η) изолирована тогда и толь- ко тогда, когда изолирована нулевая особая точка поля Φ(x, y). Индексы e γ и γ этих особых точек связаны, в силу теоремы 5.6, равенством γ = e γ sign a 1 , (7.25) так как sign a 1 — это степень линейного преобразования x = 1 a 1 ξ − a 2 a 1 η, y = η. § 8. Векторные поля с главной полилинейной частью 8.1. Полилинейное поле. Векторное поле Φ 0 (M) назовем полилинейным 11 , если каждая его компонента является однородным многочленом относительно x и y: Φ 0 (x, y) = (a 0 m x m + a 1 m−1 x m−1 y + . . . + a m 0 y m , b 0 n x n + b 1 n−1 x n−1 y + . . . + b n 0 y n ). (8.1) 11 Вектор-функция Φ(u 1 , . . . , u n ) векторных аргументов u i = (x i , y i ) (i = 1, . . . , n) называется n-линейной, если она является линейной (аддитивной и однородной) вектор-функцией каждого своего аргумента: Φ(u 1 , . . . , u i−1 , αu i + βv i , u i+1 , . . . , u n ) = = αΦ(u 1 , . . . , u i−1 , u i , u i+1 , . . . , u n ) + βΦ(u 1 , . . . , u i−1 , v i , u i+1 , . . . , u n ). Полагая u 1 = u 2 = . . . = u n = u = (x, y), получаем вектор-функцию Φ 0 (u) = Φ(u, u, . . . , u), которую называют полилинейной. Нетрудно видеть, что построенные таким образом вектор- функции являются частным случаем вектор-функций (8.1); для них m = n. 60 При m = n = 1 мы получаем линейное поле; если m = n = 2, то поле называется билинейным. Полилинейное поле называется невырожденным, если нулевая точка являет- ся единственной особой точкой этого поля. Из однородности компонент полили- нейного поля вытекает, что особые точки вырожденного поля образуют прямые, проходящие через начало координат. Первая компонента поля (8.1) аннулируется на прямых y = kx, угловой коэф- фициент k которых является вещественным корнем уравнения a 0 m + a 1 m−1 k + . . . + a m 0 k m = 0. (8.2) Если степень уравнения (8.2) меньше, чем m, то нужно считать, что уравнение имеет корень k = ∞; это значит, что первая компонента аннулируется на прямых x = 0. Аналогично вторая компонента аннулируется на прямых, угловой коэффициент которых является корнем уравнения b 0 n + b 1 n−1 k + . . . + b n 0 k n = 0. (8.3) Таким образом, полилинейное поле невырождено, если уравнения (8.2) и (8.3) не имеют одинаковых вещественных корней (включая корень k = ∞). Поэтому для исследования полилинейного поля достаточно проверить, что либо уравнение (8.2) имеет степень m, либо уравнение (8.3) имеет степень n, затем найти общий наибольший делитель многочленов a 0 m + a 1 m−1 k + . . . + a m 0 k m , b 0 n + b 1 n−1 k + . . . + b n 0 k n (8.4) (например, при помощи алгоритма Евклида). Если этот общий делитель не имеет вещественных корней, то поле невырождено. 8.2. Общая теорема. Рассмотрим поле Φ(x, y) = (a 0 m x m + a 1 m−1 x m−1 y + . . . + a m 0 y m + ω 1 (x, y), b 0 n x n + b 1 n−1 x n−1 y + . . . + b n 0 y n + ω 2 (x, y)), (8.5) где ω 1 (x, y) = o ¡ (x 2 + y 2 ) m 2 ¢ , ω 2 (x, y) = o ¡ (x 2 + y 2 ) n 2 ¢ . (8.6) Теорема 8.1. Пусть полилинейное поле (8.1) невырождено. Тогда нулевая точка (0, 0) будет изолированной особой точкой поля (8.5). Ин- декс γ 0 нулевой особой точки полей (8.1) и (8.5) одинаков. Доказательство. Так как поле (8.1) невырождено, то единичную окружность x 2 + y 2 = 1 можно покрыть двумя замкнутыми множествами F 1 и F 2 так, чтобы на первом из них не аннулировалась первая компонента P 0 (x, y) поля (8.1), а на втором не аннулировалась вторая компонента Q 0 (x, y). 61 Пусть α 0 = min F 1 |P 0 (x, y)|, β 0 = min F 2 |Q 0 (x, y)|. (8.7) Очевидно, числа α 0 и β 0 положительны. Обозначим через e F 1 множество точек плоскости, составленное из лучей, выхо- дящих из нулевой точки и проходящих через точки множества F 1 . Аналогично определяется множество e F 2 Из (8.7) и из однородности компонент поля (8.1) вытекают неравенства |P 0 (x, y)| ≥ α 0 (x 2 + y 2 ) m 2 ((x, y) ∈ e F 1 ), |Q 0 (x, y)| ≥ β 0 (x 2 + y 2 ) n 2 ((x, y) ∈ e F 2 ). Из этих неравенств и из оценок (8.6) следует, что на пересечении окружностей x 2 + y 2 = ρ 2 малого радиуса ρ с множеством e F 1 первая компонента поля (8.5) имеет тот же знак, что и первая компонента поля (8.1). На пересечении указанных окружностей с e F 2 одинаковый знак имеют вторые компоненты полей (8.1) и (8.5). Таким образом, на окружностях малого радиуса векторы полей (8.1) и (8.5) не направлены противоположно. Из теоремы 4.3 вытекает, что эти поля гомотопны. Следовательно, их вращения одинаковы. Теорема доказана. 8.3. Частный класс полилинейных полей. Рассмотрим поле Φ 0 вида Φ 0 (x, y) = ((a 1 x − b 1 y) . . . (a n x − b n y), (c 1 x − d 1 y) . . . (c n x − d n y)). (8.8) Будем предполагать, что прямые a i x − b i y = 0 (i = 1, . . . , n) (8.9) и c i x − d i y = 0 (i = 1, . . . , n) (8.10) все различны, причем прямые семейства (8.9) перемежаются с прямыми семейства (8.10) (см. рис. 8.1). Это значит, что перемежаются корни уравнений (8.2) и (8.3), построенных по компонентам поля (8.8). Рис. 8.1 Мы покажем, что индекс γ 0 нулевой особой точки по абсолютной величине равен n, и найдем знак этого индекса. 62 Лемма 8.1 12 . Пусть f 1 (k) и f 2 (k) — два многочлена с вещественными коэф- фициентами, корни которых вещественные, простые и перемежаются. Тогда определитель D(k) = ¯ ¯ ¯ ¯ f 1 (k) f 0 1 (k) f 2 (k) f 0 2 (k) ¯ ¯ ¯ ¯ (8.11) при всех k отличен от нуля и, следовательно, имеет постоянный знак. Доказательство. Из того, что корни перемежаются, вытекает, что степени многочленов f 1 (k), f 2 (k) либо одинаковы, либо отличаются на 1. Для определенно- сти будем считать, что степень n многочлена f 2 (k) не меньше степени многочлена f 1 (k). Корни многочлена f 2 (k), расположенные в порядке возрастания, обозначим через k 1 , . . . , k n Представим отношение f 1 (k) f 2 (k) в виде g(k) = f 1 (k) f 2 (k) = A 0 + A 1 k − k 1 + . . . + A n k − k n , (8.12) где A i — некоторые постоянные. При значениях k, близких к k 2 и меньших, чем k 2 , знак значений g(k) будет совпадать со знаком значений g(k) при k < k 1 , так как знак g(k) меняется и при переходе через корень функции f 1 (k) и при переходе через корень функции f 2 (k). Из аналогичных рассуждений вытекает, что знак g(k) будет одинаков при значениях k, близких к любому k i и меньших, чем этот корень k i Знак g(k) при близких к k i значениях k совпадает со знаком A i (k − k i ). Поэтому все A i (i = 1, . . . , n) имеют одинаковый знак. Продифференцируем равенство (8.12): f 0 1 (k)f 2 (k) − f 1 (k)f 0 2 (k) f 2 2 (k) = − A 1 (k − k 1 ) 2 − . . . − A n (k − k n ) 2 . Из этого тождества вытекает, что D(k) принимает значения одного знака при всех k, отличных от k 1 , . . . , k n Остается заметить, что D(k i ) 6= 0. В предположении противного имело бы место равенство f 0 2 (k i ) = 0 и k i был бы кратным корнем многочлена f 2 (k). Лемма доказана. Покажем теперь, что угловая функция θ(t) поля (8.8) на единичной окружности монотонна. Для доказательства рассмотрим на правой и левой полуокружностях параметр k = y x . Возрастанию этого параметра на каждой полуокружности соот- ветствует обход этой полуокружности в положительном направлении. Компоненты поля (8.8) обозначим через P 0 (x, y), Q 0 (x, y). Очевидно, P 0 (x, y) = x n P 0 (1, k), Q 0 (x, y) = x n Q 0 (1, k), 12 Н.Г. Чеботарев, Н.Н. Мейман, Проблема Рауса – Гурвица для полиномов и целых функ- ций, Труды Матем. института им. В. А. Стеклова АН СССР, 26 (1949). 63 причем многочлены P 0 (1, k) и Q 0 (1, k) имеют перемежающиеся вещественные кор- ни. В силу леммы 8.1 определитель ∆ 0 (k) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P 0 (1, k) ∂ ∂y P 0 (1, k) Q 0 (1, k) ∂ ∂y Q 0 (1, k) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (8.13) не обращается в нуль и имеет постоянный знак. Далее, dθ(k) dk = d dk arctg Q 0 (x, y) P 0 (x, y) = d dk arctg Q 0 (1, k) P 0 (1, k) = ∆ 0 (k) (P 0 (1, k)) 2 + (Q 0 (1, k)) 2 и sign dθ(k) dk = sign ∆ 0 (k) = sign ∆ 0 (0). Итак, знак индекса γ 0 нулевой особой точки поля (8.8) определяется равенством sign γ 0 = sign ∆ 0 (0). Угловая функция θ(t) поля (8.8) на единичной окружности принимает значе- ния, кратные π, в тех точках, в которых вторая компонента поля обращается в нуль. Количество таких точек равно 2n. Поэтому вращение поля на единичной окружности по абсолютной величине равно n. Нами доказана Теорема 8.2. Индекс γ 0 нулевой особой точки поля (8.8) определяется равен- ством γ 0 = n sign ∆ 0 (0). (8.14) Рассмотрим в качестве примера поле Φ(x, y) = ((x − y)(x − 3y)(x − 5y), (x − 2y)(x − 4y)(x − 6y)). Из теоремы 8.2 вытекает, что γ 0 = 3sign ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −9 1 −12 ¯ ¯ ¯ ¯ = −3. Упражнение 8.1. Вычислить индекс особой точки поля: 1) Φ(x, y) = (y(y − 2x)(2y + 3x)(2y − x), −x(y + x)(2y − 3x)(3y − x)), 2) Φ(x, y) = (x 3 − x 2 y − 9xy 2 − +9y 3 , x 2 y − 4y 3 ). 64 8.4. Общий случай полилинейных полей 13 . Перейдем к рассмотрению невырожденного полилинейного поля (8.1) общего вида. Наша цель заключает- ся в том, чтобы вычисление индекса его нулевой особой точки свести к случаю, когда применима теорема 8.2. Каждую однородную функцию T (x, y) = c 0 n x n + c 1 n−1 x n−1 y + . . . + c n 0 y n можно разложить на вещественные линейные и неприводимые квадратичные мно- жители. Для этого достаточно ввести обозначение y = kx, записать функцию T (x, y) в виде T (x, y) = x n f (k), разложить f (k) на линейные и неприводимые квадратичные множители 14 , а затем снова произвести замену k = y x Поэтому общий вид полилинейного поля дается равенством Φ(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), (8.15) где P (x, y) и Q(x, y) — произведения линейных и квадратичных множителей. Без ограничения общности можно считать, что неприводимые квадратичные множители не принимают отрицательных значений. Обозначим через P 1 (x, y) и Q 1 (x, y) многочлены, в которые перейдут многочлены P (x, y) и Q(x, y) соответ- ственно, если в них зачеркнуть неотрицательные квадратичные множители. Нетрудно видеть, что индекс γ 0 нулевой особой точки поля (8.15) совпадает с индексом γ 1 нулевой особой точки поля Φ 1 (x, y) = (P 1 (x, y), Q 1 (x, y)). (8.16) Для доказательства достаточно заметить, что ни в одной точке единичной окружности векторы полей Φ и Φ 1 не направлены противоположно (ненулевая компонента сохраняет знак). Из теоремы 4.3 вытекает, что вращения полей Φ 0 и Φ 1 на единичной окружности одинаковы. Это и означает, что индексы γ 0 и γ 1 совпадают. В общем случае поле (8.16) имеет вид Φ 1 (x, y) = (a 1 x − b 1 y) . . . ( |