Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
φ(b, λ) принимает по крайней мере один раз значение, равное β по mod π. Более того, если |k ∗ − k ∗∗ | = n, то таких значений будет не меньше чем n. Отсюда вытекает Лемма 14.1. Пусть A(t, λ ∗ ) ∈ G k ∗ , A(t, λ ∗∗ ) ∈ G k ∗∗ и |k ∗ − k ∗∗ | = n. Тогда краевая задача (14.56)-(14.57) на интервале (λ ∗ , λ ∗∗ ) имеет по крайней мере n собственных значений. Проверка условий этой леммы во многих случаях проводится без труда. При- ведем пример. Предположим, что коэффициенты системы (14.56) удовлетворяют неравенствам m(λ)(x 2 + y 2 ) ≤ a 21 (t, λ)x 2 + (a 22 (t, λ) − a 11 (t, λ))xy − a 12 (t, λ)y 2 ≤ M(λ)(x 2 + y 2 ). (14.59) Теорема 14.10. Пусть lim λ→+∞ m(λ) = +∞, lim λ→−∞ M(λ) = −∞. (14.60) Тогда спектр задачи (14.56)-(14.57) содержит как положительные, так и от- рицательные собственные значения, сколь угодно большие по абсолютной вели- чине. 141 Доказательство. Условие (14.59) означает, что A − (λ) ≤ A(t, λ) ≤ A + (λ), где A − (λ) = µ 0 −m(λ) m(λ) 0 ¶ , A + (λ) = µ 0 −M(λ) M(λ) 0 ¶ . Обозначим через φ − (t, λ), φ(t, λ) и φ + (t, λ) угловые функции решений системы с матрицами коэффициентов A − (λ), A(t, λ) и A + (λ), удовлетворяющие начальному условию φ − (a, λ) = φ(a, λ) = φ + (a, λ) = α. Из теоремы 14.5 вытекает, что φ − (b, λ) ≤ φ(b, λ) ≤ φ + (b, λ), то есть в силу (14.43) m(λ)(b − a) ≤ φ(b, λ) − α ≤ M(λ)(b − a). Из первого условия (14.60) вытекает существование таких λ k → +∞, что A(t, λ k ) ∈ G k , где k → ∞. Аналогично из второго условия (14.60) следует существование та- кой последовательности λ 0 k → −∞, что A(t, λ 0 k ) ∈ G k 0 , где k 0 → −∞. Остается воспользоваться леммой 14.1. Теорема доказана. Если в условиях теоремы 14.10 функция φ(b, λ) строго монотонна, то каждое из уравнений (14.58) имеет единственное решение. Это позволяет перенумеровать собственные значения краевой задачи. Из замечания, приведенного после доказательства теоремы 14.5, вытекает усло- вие строгого возрастания функции φ(b, λ) достаточно, чтобы из λ < µ вытекало неравенство A(t, λ) ≤ A(t, µ) (a ≤ t ≤ b), в котором хотя бы при одном t имеет место знак строгого неравенства. Упражнение 14.13 (Гурвиц). Покажите, что спектр краевой задачи для системы dx dt = −(λ + r(t))y, dy dt = (λ + s(t))x (при краевых условиях (14.57) ) образует последовательность . . . < λ −2 < λ −1 < λ 0 < λ 1 < λ 2 < . . . , причем λ −k → −∞, λ k → +∞ при k → ∞. 14.7. Задача Штурма-Лиувилля 30 . В этом пункте мы более подробно изу- чим краевую задачу для систем вида dx dt = r(t, λ)x − p(t, λ)y, dy dt = q(t, λ)x + t(t, λ)y. . (14.61) 30 Cм., например, И.Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Физ- матгиз, 1961; Дж. Сансоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1, ИЛ, 1954; Э.А. Коддингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ. 1959. 142 К изучению частных классов таких систем с краевыми условиями (14.57) приво- дит 31 задача Штурма-Лиувилля о собственных значениях краевой задачи d dt µ 1 p(t, λ) dx dt ¶ + q(t, λ)x = 0, (14.62) x(a) sin α + dx(a) dt 1 p(a, λ) cos α = 0, x(b) sin β + dx(b) dt 1 p(b, λ) cos β = 0. (14.63) В дальнейшем предполагается, что p(t, λ) ≥ p > 0. (14.64) Теорема 14.11. Пусть функции p(t, λ) и q(t, λ) не убывают no λ, причем для каждой пары. чисел λ < µ найдется такое τ , что либо q(τ, λ) < q(τ, µ), либо p(τ, λ) < p(τ, µ) и по крайней мере одно из чисел q(τ, λ) и q(τ, µ) отлично от нуля. Пусть lim λ→+∞ q(t, λ) = +∞. (14.65) Тогда собственные значения краевой задачи (14.61)-(14.57) образуют возраста- ющую последовательность λ 1 < λ 2 < . . . , lim n→∞ λ n = +∞. (14.66) Доказательство. Для исследования краевой задачи, как обычно, рассмотрим функцию φ(b, λ). Из теоремы 14.6 и из первого условия доказываемой теоремы вытекает, что φ(b, λ) строго возрастает по λ. Поэтому доказательство будет завер- шено, если будет показано, что φ(b, λ) → +∞ при λ → ∞ и φ(b, λ) ограничена снизу. Положим q(λ) = min a≤t≤b q(t, λ). Тогда матрица A(t, λ коэффициентов системы (14.61) удовлетворяет неравенству A(t, λ) ≥ B(λ), где B(λ) = µ 0 −p q(λ) 0 ¶ , (14.67) и в силу теоремы 14.5 φ(b, λ) ≥ ψ(b, λ), где ψ(b, λ) — угловая функция для системы, коэффициенты которой определяются матрицей (14.67). Из неравенств (14.50) вытекает, что ψ(b, λ) → +∞, если q(λ) → 31 Достаточно ввести обозначение dx dt = −p(t, x)y. При этом, естественно, r(t, λ) ≡ 0. 143 +∞. Последнее соотношение выполняется в силу (14.65). Таким образом, φ(b, λ) → +∞ при λ → ∞. Покажем теперь, что φ(b, λ) ≥ − π 2 . Действительно, dφ(t, λ) dt = q(t, λ) cos 2 φ + p(t, λ) sin 2 φ, (14.68) а функция ψ(t) ≡ − π 2 удовлетворяет неравенствам ψ(a) < φ(a, λ) = α, dψ dt ≤ q(t, λ) cos 2 ψ + p(t, λ) sin 2 ψ. Остается применить теорему 14.2. Теорема доказана. Теорема 14.12. Пусть выполнены условия теоремы 14.11, и пусть равномерно относительно t ∈ [a, b] lim λ→−∞ q(t, λ) p(t, λ) = −∞. (14.69) Тогда первая компонента x n (t) собственной функции z n (t) = (x n (t), y n (t)), отве- чающей собственному значению λ n , имеет точно n − 1 нуль в интервале (a, b). Нули x n (t) разделяют нули x n+1 (t). Доказательство. Покажем вначале, что lim λ→−∞ φ(b, λ) = − π 2 0 ≤ α < π 2 , π 2 , π 2 ≤ α < π. (14.70) Пусть 0 ≤ α < π 2 . Выберем такое ε > 0, что α < π 2 − ε. Пусть δ = min |φ|≤ π 2 −ε cos 2 φ и положительное число N удовлетворяет неравенству p(Nδ − 1) > π b − a . В силу условия (14.69) можно указать такое λ 0 , что при λ < λ 0 выполняется неравенство q(t, λ) p(t, λ) < −N (a ≤ t ≤ b). (14.71) Тогда при a ≤ t ≤ b, |φ| ≤ π 2 − ε и λ < λ 0 dφ(t, λ) dt = q(t, λ) cos 2 φ + p(t, λ) sin 2 φ ≤ −Np(t, λ)δ + p(t, λ) = = −p(t, λ)(Nδ − 1) ≤ −p(Nδ − 1) < − π b − a . (14.72) 144 Из последнего неравенства мы получаем, что φ(t, λ) − α < − π b − a (t − α) до тех пор, пока |φ(t, λ)| ≤ π 2 − ε. Так как α − π b − a (b − a) = α − π < − π 2 + ε, то при некотором значении τ (a < τ < b) φ(τ, λ) = − π 2 + ε, и в силу (14.72) φ(t, λ) < − π 2 + ε при τ < t ≤ b. С другой стороны, всегда выполнено неравенство φ(t, λ) ≥ − π 2 , так как dφ dt > 0, если φ = − π 2 . Поэтому при λ < λ 0 − π 2 ≤ φ(b, λ) < − π 2 + ε. Тем самым наше утверждение доказано. Аналогично рассматривается случай π 2 ≤ α < π. Каждую из прямых φ = β + kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .), лежащую выше прямой φ = − π 2 в случае 0 ≤ α < π 2 и прямой φ = π 2 в случае π 2 ≤ α < π, кривая φ = φ(b, λ) пересекает при единственном значении λ. Занумеруем эти собственные значения в порядке возрастания λ 1 < λ 2 < . . .. Ясно, что lim n→+∞ λ n = +∞. Покажем, что x n (t) имеет точно n − 1 нуль в интервале (a, b). Снова для опре- деленности положим 0 ≤ α < π 2 . Согласно определению собственных значений φ(b, λ n ) ∈ ³ − π 2 + (n − 1)π, − π 2 + nπ i . Так как φ(a, λ n ) = α < π 2 , то в силу теоремы Больцано функция φ(t, λ n ) при некоторых t 1 , . . . , t n−1 (a < t 1 < . . . < t n−1 < b) принимает значения π 2 , π 2 + π, . . . , π 2 + (n − 1)π. Это означает, что t 1 , . . . , t n−1 — нули x n (t). Других нулей в (a, b) нет, так как dφ dt > 0 при φ = π 2 (mod π). Докажем последнее утверждение теоремы: нули τ 1 < . . . < τ n функции x n+1 (t) разделяют нули t 1 < . . . < t n−1 функции x n (t). В условиях теоремы имеют место неравенства φ(t, λ n ) < φ(t, λ n+1 ) < φ(t, λ n ) + π (a < t < b). (14.73) Первое из них вытекает из строгого возрастания φ(t, λ) по λ. Второе неравенство доказывается несколько сложнее. При t близких к a, оно очевидно. Если бы оно не выполнялось при некотором t = τ , то в силу теоремы 14.3 φ(t, λ n+1 ) > φ(t, λ n ) + π (τ < t ≤ b), и, следовательно, φ(t, λ n+1 ) > φ(b, λ n ), что противоречит определению собственно- го значения. Отметим, что здесь использован тот факт, что φ(t, λ n ) + π удовлетво- ряет тому же дифференциальному уравнению, что и φ(t, λ n ). 145 Из неравенств (14.73) при t = t k получаем φ(t k , λ n ) = π 2 + (k − 1)π < φ(t k , λ n+1 ) < φ(t k , λ n ) + π = π 2 + π. (14.74) Это значит, что τ k < t k < τ k+1 Теорема доказана. Условия теоремы 14.12 заведомо выполнены, если p(t, λ) ≡ p(t) > 0, q(t, λ) = a 0 (t) + a 1 (t)λ + . . . + a m (t)λ 2m−1 , где коэффициенты a 1 (t), . . . , a m (t) неотрицательны, а сумма их положительна. Упражнение 14.14 (И.Г. Петровский). Пусть 0 < p ≤ p(t) ≤ p, q(t, λ) = λr(t) + f (t) и 0 < r ≤ r(t) ≤ r, f ≤ f (t) ≤ f . Тогда для собственных значений задачи d dt µ 1 p(t) dx dt ¶ + (λr(t) + f (t))x = 0 справедливы неравенства 1 p k 2 π 2 (b − a) 2 − f r ≤ λ k ≤ 1 p k 2 π 2 (b − a) 2 − f r (k = 1, 2, . . .). Упражнение 14.15 (Путнам). Покажите, что при выполнении неравенства 1 2 Z 0 t 2 (f (t) + f (1 − t)) dt > 1 краевая задача d 2 x dt 2 + (λ + f (t))x = 0, x(0) = x(1) = 0, имеет отрицательное собственное значение. 14.8. Об устойчивости собственных значений краевой задачи. Назовем собственное значение λ 0 краевой задачи (14.56)-(14.57) устойчивым, если по лю- бым положительным числам ε и E можно указать такое δ > 0, что из неравенств |a ij (t) − a ij (t)| ≤ δ (a ≤ t ≤ b, |λ − λ 0 | < E) (14.75) вытекает существование у краевой задачи dx dt = a 11 (t, λ)x + a 12 (t, λ)y, dy dt = a 21 (t, λ)x + a 22 (t, λ)y, (14.76) x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0 (14.77) собственного значения λ 0 удовлетворяющего неравенству |λ 0 − λ 0 | < ε. 146 Упражнение 14.16. Краевая задача dx dt = e −λ 2 y, dy dt = e −λ 2 x, x(0) = x(π) = 0 имеет единственное собственное значение λ 0 = 0. Покажите, что оно неустойчиво. Предоставляем читателю показать, что собственное значение λ 0 устойчиво то- гда и только тогда, когда λ 0 не является точкой локального экстремума функции φ(b, λ). § 15. Нелинейные краевые задачи 32 15.1. Вспомогательные предложения. В дальнейшем нам понадобятся неко- торые свойства решений системы dx dt = f (t, x, y), dy dt = g(t, x, y). (15.1) часть из которых мы приведем с доказательствами. Мы будем рассматривать систему (15.1) в предположении, что функции f (t, x, y) и g(t, x, y) непрерывны по совокупности переменных в области D : a ≤ t ≤ b, −∞ < x, y < +∞. Это, как хорошо известно, обеспечивает существование ре- шения системы (15.1), удовлетворяющего начальному условию x(t 0 ) = x 0 |