Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
, t 2 ) функции x(t) и ξ(t) отрицательны. Одновременно можно считать, что угловые функции φ(t) и ψ(t) решений (x(t), y(t)) и (ξ(t), η(t)) удовлетворяют соотношениям π 2 < φ(t), ψ(t) < 3π 2 (t 1 < t < t 2 ). ψ(t 1 ) = π 2 , ψ(t 2 ) = 3π 2 . Очевидно, dφ dt = q(t)x 2 + p(t)y 2 x 2 + y 2 , dψ dt = q 1 (t)ξ 2 + p 1 (t)η 2 ξ 2 + η 2 . Из неравенств (14.36) и из теоремы 14.2 вытекает, что ψ(t) ≤ φ(t). Поэтому φ(t 2 ) = 3π 2 . Отсюда следует, что φ(t 1 ) = π 2 , так как в противном случае из теоремы 14.3 следовало бы неравенство φ(t 2 ) > ψ(t 2 ) = 3π 2 Теорема доказана. Эта теорема в общих курсах дифференциальных уравнений известна как тео- рема сравнения Штурма. Обычное ее аналитическое доказательство не сложнее того, которое мы привели. В виде системы (14.34) может быть записано дифференциальное уравнение вто- рого порядка d dt µ 1 p(t) dx dt ¶ + q(t)x = 0, (14.37) 134 если положить y = − 1 p(t) dx dt . Из теоремы 14.8 вытекает, что нули линейно независимых решений уравнения (14.37) перемежаются (разделяют друг друга). Упражнение 14.7 (Пойя и С¨ еге). Пусть x(a) = x(b) = 0, x(t) > 0 (a < t < b) и d 2 x dt 2 + x > 0. Докажите, что b − a > π. Упражнение 14.8 (А.Ю. Левин). Пусть x 1 (t) и x 2 (t) — решения соответственно уравнения d 2 x 1 dt 2 + q 1 (t)x 1 = 0 и уравнения d 2 x 2 dt 2 + q 2 (t)x 2 = 0. Пусть x 1 (t) не обращается в нуль на [a, b] и выполнено неравенство − dx 1 (a) dt x 1 (a) + t Z a q 1 (τ ) dτ ≥ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − dx 2 (a) dt x 2 (a) + t Z a q 2 (τ ) dτ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (a ≤ t ≤ b). Покажите, что тогда x 2 (t) не обращается в нуль на [a, b] и имеет место неравенство − dx 1 (t) dt x 1 (t) ≥ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − dx 2 (t) dt x 2 (t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (a ≤ t ≤ b). 14.5. Классы G k . Рассмотрим систему dx dt = a 11 (t)x + a 12 (t)y, dy dt = a 21 (t)x + a 22 (t)y (14.38) с краевыми условиями x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0. (14.39) Без ограничения общности можно считать, что 0 ≤ α < π, 0 < β ≤ π. Краевая задача (14.38)-(14.39) имеет нулевое решение. Будем называть крае- вую задачу регулярной, если она не имеет других решений. В дальнейшем крае- вые условия считаются фиксированными, поэтому можно говорить о регулярности матрицы A(t) коэффициентов системы (14.38). Краевая задача (14.38)-(14.39) имеет простой геометрический смысл: требуется найти решение z(t) = (x(t), y(t)) системы (14.38), которое при t = a лежит на пря- мой x sin α − y cos α = 0, а при t = b — на прямой x sin β − y cos β = 0 (на рис. 14.6 изображено такое решение). Из однородности системы и краевых условий выте- кает, что cz(t) является решением краевой задачи, если z(t) было решением этой задачи. Краевую задачу можно формулировать и в терминах угловой функции: z(t) является решением краевой задачи, если некоторая его угловая функция или угловая функция решения −z(t) удовлетворяет равенствам φ(a) = α, φ(b) = β + kπ, (14.40) 135 где k — некоторое целое число. Таким образом, матрица A(t) регулярна, если угловая функция φ(t) решений, начинающихся на прямой x sin α − y cos α = 0, при t = b принимает значение, отличное от β + kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .), т.е. φ(b) 6= β (mod π). (14.41) Рис. 14.6 Рассмотрим, например, систему dx dt = −ωy, dy dt = ωx. (14.42) Угловая функция φ(t) каждого ее решения имеет вид φ(t) = φ(a) + ω(t − a). (14.43) Разрешимость краевой задачи означает, что ω = kπ + (β − α) b − a . Задача будет регулярна, если ω 6= kπ + (β − α) b − a (k = 0, ±1, ±2, . . .). (14.44) Упражнение 14.9. Покажите, что неоднородная система dx dt = a 11 (t)x + a 12 (t)y + b 1 (t), dy dt = a 21 (t)x + a 22 (t)y + b 2 (t) имеет единственное решение, удовлетворяющее краевым условиям (14.39), тогда и только тогда, когда матрица A(t) регулярна. Разобьем множество всех регулярных матриц на непересекающиеся классы. Пусть угловая функция φ(t) решения системы (14.38) с матрицей A(t) удовле- творяет условиям φ(a) = α, β + kπ < φ(b) < β + (k + 1)π. 136 В этом случае будем говорить, что матрица A(t) принадлежит классу G k Из (14.43) вытекает, что матрица системы (14.42) принадлежит классу G k , если kπ + (β − α) b − a < ω < (k + 1)π + (β − α) b − a . Рассмотрим три линейные системы, матрицы коэффициентов которых обозна- чим через A − (t), A(t), A + (t). Будем предполагать, что A − (t) ≤ A(t) ≤ A + (t). (14.45) Из теоремы 14.5 и из определения классов G k вытекает Теорема 14.9. Если A − (t) и A + (t) принадлежат некоторому G k , то и A(t) ∈ G k . Упражнение 14.10. Докажите, что каждый класс G k является открытым и связ- ным множеством. Рассмотрим более подробно краевую задачу dx dt = −p(t)y, dy dt = q(t)x (14.46) x(a) = x(b) = 0. (14.47) Матрица A(t) в этом случае имеет специальный вид: A(t) = µ 0 −p(t) q(t) 0 ¶ , (14.48) а α = β = π 2 . Для изучения краевой задачи (14.46)-(14.47) рассмотрим решение z(t) = (x(t), y(t)), удовлетворяющее начальному условию x(a) = 0, y(a) = 1. (14.49) Предположим, что коэффициенты p и q системы (14.46) постоянны. Если p = 0, то x(t) ≡ 0 и матрица (14.48) нерегулярна. Если q = 0, то x(t) = −p(t − a), y(t) ≡ 1. Поэтому знак поворота совпадает со знаком p, а абсолютная величина поворота меньше π 2 . Следовательно, матрица (14.48) принадлежит G 0 , если p > 0, и G −1 , если p < 0. 137 Если pq > 0, то решение z(t) определится равенством z(t) = µ p √ pq cos ³π 2 + √ pq(t − a) ´ , sin ³π 2 + √ pq(t − a) ´¶ . Угловая функция этого решения монотонно возрастает при положительном p и мо- нотонно убывает при отрицательном p. Поэтому µ 0 −p q 0 ¶ ∈ G k (k = 0, 1, 2, . . .), если p > 0, kπ b − a < √ pq < (k + 1)π b − a . (14.50) Аналогично µ 0 −p q 0 ¶ ∈ G k (k = −1, −2, . . .), если p < 0, − kπ b − a > √ pq > − (k + 1)π b − a . (14.51) Рис. 14.7 Пусть теперь pq < 0. Тогда решение z(t) определится равенством z(t) = µ − p √ −pq sh (t − a), ch √ −pq(t − a) ¶ . Нетрудно видеть, что знак поворота совпадает со знаком p, а его абсолютная величина меньше π 2 . Поэтому матрица (14.48) принадлежит G 0 , если p > 0, и G −1 , если p < 0. Все описанные случаи охватывает рис. 14.7. Цифры в кружочках обозначают номер класса G k , которому принадлежит матрица (14.48). Если коэффициенты системы (14.46) переменны, то удается найти лишь доста- точные признаки принадлежности матрицы классу G k Введем обозначения m(t) = min {p(t), q(t)}, M (t) = max {p(t), q(t)}. 138 Из (14.12) вытекает, что b Z a m(t) dt ≤ φ(t) − α ≤ b Z a M(t) dt. Поэтому (14.48) принадлежит классу G k , если kπ < b Z a m(t) dt, b Z a M(t) dt < (k + 1)π. (14.52) Этот критерий для постоянных матриц охватывает лишь те случаи, когда точка (p, q) лежит в одном из заштрихованных на рис. 14.7 квадратов. Упражнение 14.11. Пусть p(t) > 0. Докажите следующие необходимые и доста- точные условия принадлежности матрицы (14.48) классу G 0 : 1) (В.А. Кондратьев.) Существует непрерывно дифференцируемая функция u(t), для которой du dt ≤ −p(t)u 2 − q(t) (a ≤ t ≤ b). 2) (В.А. Кондратьев.) Существует положительная функция v(t), которая удовле- творяет неравенству d dt µ 1 p(t) dv(t) dt ¶ + q(t)v(t) ≤ 0. 3) (Дж. Сансоне.) Для любой абсолютно непрерывной отличной от тождественного нуля функции v(t), обращающейся в нуль на концах отрезка и имеющей интегрируемую с квадратом производную, выполняется неравенство b Z a à 1 p(t) µ dv(t) dt ¶ 2 − q(t)v 2 (t) ! dt > 0. Упражнение 14.12. Рассмотрим матрицы A 1 (t) = µ 0 −p 1 (t) q 1 (t) 0 ¶ , A 2 (t) = µ 0 −p 2 (t) q 2 (t) 0 ¶ . Пусть p 1 (t), p 2 (t) > 0. Докажите следующие утверждения: 1) Если A 1 (t), A 2 (t) ∈ G 0 , то G 0 принадлежит матрица A σ (t) = 0 − p 1 (t)p 2 (t) σp 2 (t) + (1 − σ)p 1 (t) σq 1 (t) + (1 − σ)q 2 (t) 0 (0 ≤ σ ≤ 1). 2) Если A 2 (t) ≤ A 1 (t) и A 1 (t) ∈ G 0 , то A 2 (t) ∈ G 0 . Полезно иметь в виду, что общие краевые условия вида (14.39) могут быть приведены к одному из следующих канонических видов: ξ(a) = 0, η(b) = 0 (14.53) 139 или η(a) = 0, ξ(b) = 0. (14.54) К условиям (14.53) можно перейти в случае, когда прямые x sin α − y cos α = 0, x sin β − y cos β = 0 (14.55) различны. Для этого достаточно положить ξ = x sin α − y cos α, η = x sin β − y cos β. Если же прямые (14.55) совпадают, то можно положить ξ = x sin α − y cos α, η = x cos α + y sin α. 14.6. Задача о собственных значениях. 29 Рассмотрим систему dx dt = a 11 (t, λ)x + a 12 (t, λ)y, dy dt = a 21 (t, λ)x + a 22 (t, λ)y, (14.56) коэффициенты которой зависят от вещественного параметра λ. Предполагается, что эти коэффициенты непрерывны по совокупности переменных a ≤ t ≤ b, −∞ < λ < ∞. Будем изучать эту систему при краевых условиях x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0. (14.57) Число λ ∗ называется собственным значением задачи (14.56)-(14.57), если при λ = λ ∗ она имеет решение, отличное от нулевого. Очевидно, это решение един- ственно с точностью до постоянного множителя. Совокупность собственных зна- чений образует спектр задачи. Ненулевое решение z(t) = (x(t), y(t)) краевой задачи называют собственной вектор-функцией или просто собственной функцией, соответствующей данному собственному значению. Через φ(t, λ) будем обозначать угловую функцию решения системы (14.56), удо- влетворяющего начальному условию x(a) = cos α, y(a) = sin α. Будем считать, что φ(a, λ) ≡ α. Собственные значения краевой задачи (14.56)-(14.57) можно определить как решения уравнения φ(b, λ) = β + kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .). (14.58) 29 Cм. Дж. Сансоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1. ИЛ, 1954, 140 Иначе говоря, собственные значения — это абсциссы точек пересечения графика функции φ = φ(b, λ) с прямыми φ = β + kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .) (см. рис. 14.8). Рис. 14.8 Рассмотрим, например, систему dx dt = −(λ + ω)y, dy dt = (λ + ω)x. Из (14.43) вытекает, что φ(t, λ) = α + (ω + λ)(t − a). Поэтому φ(b, λ) = α + (ω + λ)(b − a), откуда следует, что краевая задача имеет счетное число собственных значений λ k = (β − α) + kπ b − a − ω (k = 0, ±1, ±2, . . .). Вернемся к рассмотрению произвольной системы (14.56). Допустим, что при двух значениях λ ∗ и λ ∗∗ параметра λ матрица A(t, λ) коэффициентов системы принадлежит классам G k ∗ и G k ∗∗ , причем k ∗ 6= k ∗∗ . Это значит, что при изменении λ от λ ∗ до λ ∗∗ функция |