Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
, y(t 0 ) = y 0 , (15.2) однако не гарантирует его единственности 33 . Кроме того, это решение может не допускать продолжения на весь отрезок a ≤ t ≤ b. В этом параграфе мы будем рассматривать такие системы (15.1), все решения которых продолжимы на отрезок a ≤ t ≤ b. Если, кроме того, предполагать, что решение системы однозначно определяется начальными условиями (15.2), то для понимания дальнейшего достаточно ознакомиться лишь с утверждениями лемм 15.1 и 15.2. 32 Результаты этого параграфа в основном получены А.И. Перовым. См. А.И. Перов, Неко- торые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, гл. 2, диссертация, Воро- нежский государственный университет, 1959; О двухточечной краевой задаче, ДАН СССР 122 (1958), №6; О краевой задаче для системы двух дифференциальных уравнений, ДАН СССР 144 (1962), №3. Нелинейным краевым задачам посвящена значительная литература. См. по этому поводу Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Физматгиз, 1961; Дж. Сансоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2, ИЛ, 1954. 33 Если решения системы (15.1) однозначно определяются начальными условиями (15.2), то дальнейшие построения упрощаются. 147 Теорема 15.1, которую мы приводим ниже, предполагает знакомство читателя с элементами функционального анализа (метрические пространства, компактность, связность и т. д.). Эту теорему мы приведем без доказательства. Теорема 15.1 (М. Хукухара). Пусть S — ограниченное замкнутое связное множество области D. Пусть все решения системы (15.1) могут быть продол- жены на весь отрезок a ≤ t ≤ b. Тогда совокупность решений системы (15.1), проходящих через точки мно- жества S и определенных на всем отрезке a ≤ t ≤ b, является компактным и связным множеством в пространстве C[a, b] непрерывных на a ≤ t ≤ b вектор- функций 34 Каждое решение задачи (15.1)-(15.2) будем записывать в виде z(t, z 0 ) = (x(t, x 0 , y 0 ), y(t, x 0 , y 0 )), если z 0 = (x 0 , y 0 ) и t 0 = a. Лемма 15.1. Пусть любое решение системы (15.1) продолжимо на весь от- резок a ≤ t ≤ b. Тогда можно указать такие функции m(u) и M(u), что m(kz 0 k) ≤ kz(t, z 0 )k ≤ M(kz 0 k), (15.3) причем lim u→∞ m(u) = +∞. (15.4) Доказательство. Из теоремы 15.1 вытекает, что функция M(u) может быть определена равенством M(u) = sup a≤t≤b, kz 0 k≤u kz(t, z 0 )k. (15.5) Покажем, что функция m(u), определяемая равенством m(u) = inf a≤t≤b, kz 0 k≥u kz(t, z 0 )k, (15.6) удовлетворяет условию (15.4). Пусть задано r 0 > 0. Рассмотрим все решения си- стемы (15.1), проходящие через точки множества S : a ≤ t ≤ b, kz 0 k ≤ r 0 . В силу теоремы 15.1 можно указать такое число u 0 , что kz(t)k ≤ u 0 для любого рас- сматриваемого нами решения. Нетрудно видеть, что решение z(t, z 0 ) с kz 0 k > u 0 удовлетворяет неравенству kz(t, z 0 )k > r 0 . Поэтому в силу определения функции m(u) получаем, что m(u) ≥ r 0 при u > u 0 Лемма доказана. Напомним, что угловой функцией φ(t) решения z(t) = (x(t), y(t)) системы (15.1), не обращающегося в нуль, называется полярный угол вектора z(t) (φ(t) — непре- рывная функция). Пусть ζ(t) = (ξ(t), η(t)) —другое решение системы (15.1), угло- вую функцию которого обозначим через ψ(t). 34 Masuo Hukuhara, Proc. Japan. Acad. 29 (1953), 154; см. также М.А. Красносельский и А.И. Перов, О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений, ДАН СССР 126 (1959), №1. 148 Лемма 15.2. Пусть выполнены неравенства kz(t) − ζ(t)k ≤ M, kz(t)k ≥ m (a ≤ t ≤ b), (15.7) где M < m. (15.8) Пусть |φ(a) − ψ(a)| < π M m . (15.9) Тогда |φ(t) − ψ(t)| < π M m (a ≤ t ≤ b). (15.10) Доказательство. Обозначим через z 0 (t) и ζ 0 (t) нормированные вектор-функции, соответствующие z(t) и ζ(t). Так как kz 0 (t) − ζ 0 (t)k = ° ° ° ° z(t) kz(t)k − ζ(t) kζ(t)k ° ° ° ° ≤ 2kx(t) − ζ(t)k kz(t)k , то kz 0 (t) − ζ 0 (t)k ≤ 2 M m . (15.11) Предположим, что неравенство (15.10) не выполнено. Пусть t 0 — то значение t, при котором |φ(t 0 ) − ψ(t 0 )| = π M m . (15.12) Геометрически ясно, что ¯ ¯ ¯ ¯sin φ(t 0 ) − ψ(t 0 ) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ = 1 2 kz 0 (t 0 ) − ζ 0 (t 0 )k. Воспользовавшись элементарным неравенством | sin α| > 2 π |α| ³ 0 < |α| < π 2 ´ , из (15.12) получаем kz 0 (t 0 ) − ζ 0 (t 0 )k > 2 π |φ(t 0 ) − ψ(t 0 )| = 2 M m . Это противоречит неравенству (15.11). Лемма доказана. Из этой леммы вытекает простое следствие. Пусть φ n (t) — угловые функции решений z n (t); пусть вектор-функции z n (t) равномерно на [a, b] сходятся к z(t), причем z(t) 6= 0 при a ≤ t ≤ b; наконец, пусть, φ n (a) → φ 0 . Тогда φ n (t) равномерно сходятся к угловой функции φ(t) решения z(t), удовлетворяющей условию φ(a) = φ 0 Через φ(t, z 0 ) обозначим угловую функцию любого решения системы (15.1), удо- влетворяющего начальному условию (15.2). Так как одному и тому же начальному 149 условию могут соответствовать разные решения, то обозначение φ(t, z 0 ) относится к целому семейству угловых функций. В дальнейшем рассматриваются решения z(t, z 0 ) с начальными условиями из некоторого сектора Σ (см. рис. 15.1) с вер- шиной в нулевой точке. Это позволяет нам в дальнейшем считать, что значения φ(a, z 0 ) принадлежат некоторому промежутку (α 1 , α 2 ), где |α 2 − α 1 | < π. Рис. 15.1 Совокупность значений всех угловых функций φ(t, z 0 ) при фиксированных t и z 0 будем обозначать через e φ(t, z 0 ). Функция e φ(t, z 0 ) при t = a однозначна, а при t > a, вообще говоря, многозначна. Предположим, что все решения системы (15.1) продолжимы на отрезок a ≤ t ≤ b. Изучим некоторые свойства многозначной функции e φ(t, z 0 ), считая ее опреде- ленной лишь в тех точках z 0 ∈ Σ, для которых любое решение z(t, z 0 ) при a ≤ t ≤ b не обращается в нуль. В силу леммы 15.1 функция e φ(t, z 0 ) определена при a ≤ t ≤ b по крайней мере для тех z ∈ Σ, норма kzk которых достаточно велика. Функция e φ(t, z 0 ) обладает следующими свойствами: 1) каждое множество e φ(t, z 0 ) является отрезком (может быть, вырождающимся в точку); 2) функция e φ(t, z 0 ) непрерывна по z 0 в том смысле, что каждому ε > 0 соот- ветствует такое δ > 0, что из khk < δ следует включение e φ(t, z 0 + h) ⊆ [min e φ(t, z 0 ) − ε, max e φ(t, z 0 ) + ε]; 3) справедлива теорема о промежуточном значении, которая нужна в такой форме: объединение множеств e φ(t, z 0 ), когда z 0 пробегает любой отрезок [z 1 , z 2 ] (см. рис. 15.1), также образует отрезок. Покажем, во-первых, что множество e φ(t, z 0 ) ограничено. В предположении про- тивного существует последовательность решений z n (t), угловые функции φ n (t) ко- торых удовлетворяют неравенствам |φ(τ )| > n. В силу теоремы 15.1 последова- тельность (z n (t, z 0 )) компактна. Поэтому можно считать, что последовательность z n t, z 0 ) равномерно на a ≤ t ≤ b сходится к некоторому решению z(t, z 0 ) 35 (в про- 35 Тот факт, что предел равномерно сходящейся последовательности решений есть снова реше- ние системы, проще всего получить, если от задачи (15.1)-(15.2) перейти к системе интегральных уравнений. 150 тивном случае мы перешли бы к подпоследовательности). Пусть φ(t) — угловая функция решения z(t, z 0 ). Тогда равномерно на ≤ t ≤ b последовательность φ n (t) сходится к φ(t). Последнее противоречит неравенству |φ n (τ )| > n (n = 1, 2, 3, . . .). Итак, множество e φ(t, z 0 ) ограничено. Покажем, во-вторых, что множество e φ(τ, z 0 ) замкнуто. Пусть φ n → φ и φ n ∈ e φ(t, z 0 ) (n = 1, 2, . . .). Обозначим через z n (t, z 0 ) решение, угловая функция которого удовлетворят условию φ n (τ ) = φ n (n = 1, 2, . . .). В силу компактности последовательности z n (τ, z 0 ) можно считать, что она равномерно на a ≤ t ≤ b сходится к решению z(t, z 0 ) (в противном случае мы так же, как и выше, перешли бы к подпоследовательности). Поэтому последовательность φ n (t) равномерно на a ≤ t ≤ b сходится к угловой функции φ(t) решения z(t, z 0 ). При t = τ получаем φ(τ ) = lim φ n (τ ) = φ. Тем самым доказана замкнутость множества e φ(t, z 0 ). Покажем, наконец, что множество e φ(t, z 0 ) связно. Предполагая обратное, най- дем такие непустые непересекающиеся замкнутые множества e F 1 и e F 2 что e φ(t, z 0 ) = e F 1 ∪ e F 2 . Разобьем все решения z(t, z 0 ) на два множества F 1 и F 2 , относя решение в F 1 или в F 2 , смотря по тому, какому множеству, e F 1 или e F 2 , принадлежит значение угловой функции этого решения при t = τ . Нетрудно видеть, что F 1 и F 2 непусты, замкнуты и не пересекаются. Последнее находится в противоречии с теоремой 15.1, из которой вытекает, в частности, что множество {z(t, z 0 )} при фиксированном z 0 связно. Из ограниченности, замкнутости и связности множества e φ(t, z 0 ) и вытекает, что оно представляет собою либо точку, либо отрезок. Перейдем к доказательству свойства 2. Предположим, что в некоторой точке z 0 оно не выполнено. Это означает, что для некоторого ε 0 > 0 существует после- довательность решений z n (t, z n 0 ), угловые функции которых φ n (t) удовлетворяют условию φ n (τ ) 6∈ [min e φ(t, z 0 ) − ε, max e φ(t, z 0 ) + ε], (15.13) несмотря на то что kz n 0 − z 0 k → 0. Так же, как и выше, в силу компактности после- довательности z(t, z n 0 ) можно считать, что она равномерно сходится к некоторому решению z(t, z 0 ). Тогда последовательность φ n (t) равномерно сходится к угловой функции φ(t) этого решения. Так как φ(τ ) ∈ e φ(t, z 0 ), то последнее находится в противоречии с (15.13). Следовательно, функция e φ(t, z 0 ) непрерывна. Доказательство свойства 3 проводится тем же путем, как и доказательство тео- ремы Больцано – Коши для однозначных функций. 15.2. Теоремы сравнения. Теорема 14.5 допускает обобщение на случай нели- нейных систем (15.1). Наряду с системой (15.1) рассмотрим систему dx dt = e f (t, x, y), dy dt = e g(t, x, y). , (15.14) 151 правые части которой непрерывны в области D (−∞ < x, y < +∞, a ≤ t ≤ b). Пусть D ∗ ⊆ D. Будем писать (f, g) ≥ ( e f , e g) в области D ∗ , если xg(t, x, y) − yf (t, x, y) ≤ xe g(t, x, y) − y e f (t, x, y) ((t, x, y) ∈ D ∗ ). (15.15) Предположим, что правые части системы (15.14) обладают свойством положи- тельной однородности: e f (t, cx, cy) ≡ c e f (t, x, y), e g(t, cx, cy) ≡ ce g(t, x, y) (c ≥ 0). (15.16) Из (15.16) вытекает, что система (15.14) имеет нулевое решение, так как e f (t, 0, 0)]equive g(t, 0, 0) ≡ 0, и что вместе с e z(t) решением системы будет и ce z(t) при любом неотрицательном c. Кроме того потребуем, чтобы решение системы (15.14) однозначно определя- лось начальными условиями. Теорема 15.2. Пусть решения z(t) и e z(t) соответственно систем (15.1) и (15.14) определены и не обращаются в нуль на всем отрезке a ≤ t ≤ b, причем (t, x(t), y(t)) ∈ D ∗ , (t, e x(t), e y(t)) ∈ D ∗ . Обозначим их угловые функции через φ(t) и e φ(t). Пусть φ(a) ≥ e φ(a), (f, g) ≥ ( e f , e g) D ∗ . (15.17) Тогда φ(t) ≥ e φ(t) (a ≤ t ≤ b). (15.18) Доказательство. Так как φ(t) = arctg y(t) x(t) , e φ(t) = arctg e y(t) e x(t) , то dφ dt = 1 kz(t)k (g(t, kz(t)k cos φ, kz(t)k sin φ) cos φ − f (t, kz(t)k cos φ, kz(t)k sin φ) sin φ), de φ dt = e g(t, cos e φ, sin e φ) cos e φ − e f (t, cos e φ, sin e φ) sin e φ ≡ F (t, e φ). . Здесь использован тот факт, что правые части системы (15.14) удовлетворяют условию (15.16). Из неравенств (15.17) вытекает, что φ(a) ≥ e φ(a), dφ(t) dt ≥ F (t, φ(t)). 152 Осталось применить теорему 14.2. Теорема доказана. Заметим, что если в условиях теоремы 15.2 в (15.17) знаки неравенств изменить на обратные, то будет выполнено неравенство φ(t) ≤ e φ(t). Если правые части ни одной из систем (15.1) и (15.14) не удовлетворяют усло- виям положительной однородности, то теорема 15.2 неверна. Например, решение системы dx dt = −e −(r−1) 2 y, dy dt = e −(r−1) 2 x (r = p x 2 + y 2 ) |