Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
t)x 2 + (a 22 (t) − a 11 (t))xy − a 12 (t)y 2 ≤ M(t)(x 2 + y 2 ), где m(t), M (t) — некоторые непрерывные функции. Тогда m(t) ≤ dφ(t) dt ≤ M(t), откуда b Z a m(t) dt ≤ φ(b) − φ(a) = κ(a, b) ≤ b Z a M(t) dt. (14.12) Упражнение 14.2. Покажите, что в оценках (14.12) можно положить m(t) = a 21 − a 12 − p (a 21 + a 12 ) 2 + (a 22 − a 11 ) 2 2 , M (t) = a 21 − a 12 + p (a 21 + a 12 ) 2 + (a 22 − a 11 ) 2 2 . Упражнение 14.3 (М. Николеску). Пусть a 12 (t)a 21 (t) < 0. Покажите, что меж- ду двумя соседними нулями каждой компоненты решения (x(t), y(t)) системы (14.10) есть нуль другой компоненты. 127 Упражнение 14.4. Условия a 21 (t) ≡ −a 12 (t), a 22 (t) ≡ a 11 (t) необходимы и доста- точны для того, чтобы повороты всех решений системы (14.10) на каждом фиксиро- ванном временном промежутке системы (14.10) на каждом были одинаковы. Докажите. 14.2. Дифференциальные и интегральные неравенства 27 . Обозначим че- рез ψ(t) решение задачи dψ dt = F (t, ψ), ψ(a) = ψ 0 , (14.13) определенное на отрезке a ≤ t ≤ b. Теорема 14.1. Пусть функция φ(t) удовлетворяет дифференциальному нера- венству dφ(t) dt > F (t, φ(t)) (a ≤ t ≤ b), (14.14) и пусть φ(a) > ψ(a). (14.15) Тогда φ(t) > ψ(t) (a ≤ t ≤ b). (14.16) Доказательство вытекает из того факта, что график функции φ(t) в силу условия (14.14) не может касаться графика функции ψ(t) и не может его пересе- кать, переходя сверху вниз (см. рис. 14.3). Рис. 14.3 Если условие (14.14) заменить неравенством dφ(t) dt < F (t, φ(t)), а условие (14.15) неравенством φ(a) < ψ(a), 27 Первые теоремы о дифференциальных неравенствах установлены С.А. Чаплыгиным и О. Перроном. См. по этому поводу Дж. Санcоне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2, ИЛ, 1954; М.А. Красносельский и А.И. Перов, Дифференциальные и интегральные неравенства, статья в справочнике Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физматгаз (го- товится к печати). 128 то, как легко видеть, будет выполняться неравенство φ(t) < ψ(t) (a ≤ t ≤ b). В дальнейшем будем предполагать, что решение уравнения dψ dt = F (t, ψ) един- ственно при любом начальном условии (и в сторону возрастания и в сторону убы- вания t). Теорема 14.2. Пусть функция φ(t) удовлетворяет дифференциальному нера- венству dφ(t) dt ≥ F (t, φ(t)) (a ≤ t ≤ b), и пусть φ(a) ≥ ψ(a). Тогда φ(t) ≥ ψ(t) (a ≤ t ≤ b). Доказательство. Обозначим через ψ n (t) (n = 1, 2, . . .) какое-нибудь решение задачи dψ n dt = F (t, ψ n ) − 1 n , ψ n (a) = ψ(a) − 1 n . В силу теоремы 14.1 имеет место неравенство φ(t) > ψ n (t) (a ≤ t ≤ b. n = 1, 2, . . .). (14.17) При n → ∞ функции ψ n (t) сходятся к решению ψ(t) задачи (14.13). Поэтому из (14.17) вытекает неравенство φ(t) ≥ ψ(t). Проведение деталей доказательства предоставляем читателю. Теорема 14.3. Пусть выполнены условия теоремы 14.2, причем для некоторой последовательности t n → a + 0 имеет место строгое неравенство dφ dt > F (t, φ(t)). Тогда φ(t) > ψ(t) (a < t ≤ b). (14.18) Доказательство. Из условий теоремы непосредственно вытекает, что φ(t n ) > ψ(t n ). Обозначим через ψ n (t) решение задачи dψ n (t) dt = F (t, ψ n ), ψ n (t n ) = φ(t n ). 129 Из теоремы 14.2 вытекает, что φ(t) ≥ ψ n (t) (t n ≤ t ≤ b). Далее, в силу единствен- ности решения ψ n (t) > ψ(t) (t n ≤ t ≤ b). Поэтому φ(t) > ψ(t) (a < t ≤ b). Теорема доказана. Из доказательства теоремы видно, что для справедливости неравенства (14.18) достаточно, чтобы выполнялись неравенства φ(a) > ψ(a), dφ(t) dt ≥ F (t, φ(t)). В тех случаях, когда функция φ(t) удовлетворяет интегральному неравенству типа φ(t) > ψ(a) + t Z a F (s, φ(s)) ds (a ≤ t ≤ b), (14.19) при некоторых ограничениях на функцию F (t, ψ) также справедливо неравенство (14.16). Ограничимся формулировкой и доказательством утверждения, аналогич- ного теореме 14.1. Теорема 14.4. Пусть непрерывная функция φ(t) удовлетворяет интеграль- ному неравенству (14.19). Пусть функция F (t, ψ) не убывает по ψ. Тогда φ(t) > ψ(t) (a ≤ t ≤ b). (14.20) Доказательство. Обозначим правую часть неравенства (14.19) через χ(t). Функ- ция χ(t) удовлетворяет условиям теоремы 14.2: χ(a) = ψ(a), dχ(t) dt = F (t, φ(t)) ≥ F (t, χ(t)). Тогда χ(t) ≥ ψ(t), и, следовательно, φ(t) > ψ(t). Теорема доказана. Упражнение 14.5. Пусть функция φ(t) удовлетворяет интегральному неравенству (14.19). Сформулируйте и докажите аналоги теорем 14.2 и 14.3. 14.3 Теорема Штурма 28 . Рассмотрим линейные системы dx dt = a 11 (t)x + a 12 (t)y, dy dt = a 21 (t)x + a 22 (t)y (14.21) и dx dt = b 11 (t)x + b 12 (t)y, dy dt = b 21 (t)x + b 22 (t)y (14.22) 28 По поводу теорем, доказываемых в этом пункте, см. Э. Камке, Справочник по обыкновен- ным дифференциальным уравнениям, Физматгиз, 1561. 130 с непрерывными коэффициентами. Через A(t) и B(t) будем обозначать матрицы коэффициентов этих систем. Бу- дем писать A(t) ≥ B(t), если при −∞ < x, y < ∞ выполнено неравенство a 21 (t)x 2 +(a 22 (t)−a 11 (t))xy−a 12 (t)y 2 ≥ b 21 (t)x 2 +(b 22 (t)−b 11 (t))xy−b 12 (t)y 2 . (14.23) Будем писать A(t) À B(t), если в (14.23) при x 2 + y 2 > 0 имеет место строгое неравенство. Пусть z(t) = (x(t), y(t)) и ζ(t) = (ξ(t), η(t)) — ненулевые решения соответствен- но систем (14.21) и (14.22), а φ(t) и ψ(t) — их угловые функции (они, очевидно, определены для всех рассматриваемых значений t). Теорема 14.5. Пусть выполнены неравенства φ(a) ≥ ψ(a), A(t) ≥ B(t) (a ≤ t ≤ b). (14.24) Тогда φ(t) ≥ ψ(t) (a ≤ t ≤ b). (14.25) Доказательство. Достаточно заметить, что в силу (14.11) dφ dt = a 21 (t) cos 2 φ + (a 22 (t) − a 11 (t)) cos φ sin φ − a 12 (t) sin 2 φ, dψ dt = b 21 (t) cos 2 ψ + (b 22 (t) − b 11 (t)) cos ψ sin ψ − b 12 (t) sin 2 ψ ≡ F (t, ψ). Правые части этих уравнений удовлетворяют условию Липшица по переменным φ и Ψ. Поэтому для написанных уравнений справедлива теорема единственности. Из (14.24) вытекает, что φ(a) ≥ ψ(a), dφ(t) dt ≥ F (t, φ(t)). Из последних неравенств в силу теоремы 14.2 вытекает неравенство (14.25). Теорема доказана. Из теоремы 14.3 и из замечания к ней вытекает, что в условиях теоремы 14.5 имеет место неравенство φ(b) > ψ(b), если либо φ(a) > ψ(a), либо A(t) À B(t) хотя бы при одном значении t из (a, b). Последнее утверждение можно усилить для специальных классов линейных си- стем. Теорема 14.6. Пусть a 11 (t) − a 22 (t) ≡ b 11 (t) − b 22 (t) (14.26) и a 21 (t) ≥ b 21 (t), −a 12 (t) ≥ −b 12 (t). (14.27) 131 Пусть при некотором t ∗ ∈ [a, b] в одном из соотношений (14.27) имеет место знак строгого неравенства, причем в другом неравенстве при t = t ∗ по крайней мере один из членов отличен от нуля. Пусть, наконец, φ(a) ≥ ψ(a). (14.28) Тогда φ(t) ≥ ψ(t) (a ≤ t ≤ b). (14.29) и φ(b) > ψ(b). (14.30) Доказательство. Неравенство (14.29) вытекает из теоремы 14.5. Для доказа- тельства неравенства (14.30) в силу теоремы 14.3 достаточно показать, что в неко- торой окрестности ∆ точки t ∗ функции φ(t) и ψ(t) не совпадают. Предположим противное. Тогда в окрестности точки t ∗ будет выполнено равенство dφ dt = dψ dt , которое в силу (14.11) можно переписать в виде a 21 (t) cos 2 φ(t) − a 12 (t) sin 2 φ(t) ≡ b 21 (t) cos 2 φ(t) − b 12 (t) sin 2 φ(t). Пусть для определенности a 21 (t ∗ ) > b 21 (t ∗ ). Тогда из последнего тождества выте- кает, что cos 2 φ(t) ≡ 0 в окрестности ∆. Иначе говоря, x(t) ≡ ξ(t) ≡ 0 при t ∈ ∆. Из (14.21) и (14.22) следует, что a 12 (t) ≡ b 12 (t) ≡ 0, и мы пришли к противоречию. Аналогично рассматривается случай, когда −a 12 (t ∗ ) > −b 12 (t ∗ ). Теорема доказана. Теоремы 14.5 и 14.6 могут быть применены для изучения расположения нулей решений систем линейных уравнений. Допустим, что поворот решения z(t) = (x(t), y(t)) линейной системы удовлетво- ряет неравенству |κ(a, b)| ≥ π. Геометрически очевидно, что в этом случае каждая из функций x(t) и y(t) на [a, b] обращается в нуль по крайней мере один раз. Аналогично из неравенства |κ(a, b)| ≥ kπ вытекает, что каждая из функций x(t) и y(t) имеет не менее k нулей на [a, b]. Поэтому оценки поворота решения являются одновременно оценками числа нулей компонент решения. В некоторых случаях между числом нулей и поворотом может быть установлена более точная зависимость. Пусть выполнено условие a 12 (t) < 0 (a ≤ t ≤ b). (14.31) В этом случае поворот решения на промежутке между соседними нулями функции x(t) равен π. Этот факт очевиден, так как все решения пересекают ось ординат 132 при возрастании t так, как это показано на рис. 14.4. Поэтому, если κ(a, b) = kπ и x(a) 6= 0, то x(t) имеет точно k нулей на отрезке [a, b]. Рис. 14.4 Рис. 14.5 Перейдем теперь к вопросу о взаимном расположении нулей решений двух ли- нейных систем. Утверждения теорем 14.5 и 14.6 имеют простой геометрический смысл. Представим себе, что в плоскости расположены две стрелки, закрепленные в начале координат, которые могут вращаться и длина которых может изменяться. Конец одной стрелки имеет координаты (x(t), y(t)), а другой (ξ(t), η(t)). Неравен- ство (14.25) означает, что движение стрелок подчинено строгому правилу: вторая стрелка не может перегонять первую стрелку в положительном направлении. По- этому, если обе стрелки расположены так, как это показано на рис. 14.5, и если стрелка ζ(t), поворачиваясь в положительном направлении, в некоторый момент t 1 первый раз совпадает с осью ординат, то это значит, что стрелка z(t) уже прошла через ось ординат в момент τ 1 ≤ t 1 . Аналогично можно проследить за взаимным расположением других нулей функций ξ(t) и x(t). Предоставляем читателю провести полное доказательство следующего утвер- ждения: Теорема 14.7. Пусть выполнены условия (14.26), (14.27) и −a 12 (t) ≥ −b 12 (t) > 0 (a ≤ t ≤ b). (14.32) Пусть y(a) x(a) ≥ η(a) ξ(a) , (14.33) если ξ(a) 6= 0. Обозначим через t 1 < . . . < t m все нули функции ξ(t), лежащие в полуинтер- вале [a, b]. Тогда x(t) имеет в [a, b] не менее m нулей τ 1 < . . . τ m и τ i ≤ t i (i = 1, . . . , m). Заметим, что τ i < t i , если на (a, t i ) выполнены все условия теоремы 14.6. Упражнение 14.6. Покажите, что если в условиях теоремы 14.7 функции x(t) и ξ(t) имеют на (a, b) одинаковое число нулей, то y(b) x(b) ≥ η(b) ξ(b) . 133 14.4. Об уравнениях второго порядка. Остановимся более подробно на ли- нейных системах вида dx dt = −p(t)y, dy dt = q(t)x (14.34) и dξ dt = −p 1 (t)η, dη dt = q 1 (t)ξ. (14.35) Будем предполагать, что функции p(t) и p 1 (t) положительны на отрезке a ≤ t ≤ b. Теорема 14.8. Пусть выполнены неравенства p(t) ≥ p 1 (t), q(t) ≥ q 1 (t) (a ≤ t ≤ b). (14.36) Пусть t 1 и t 2 — соседние нули функции ξ(t). Тогда x(t) в каждом из полуинтервалов (t 1 , t 2 ] и [t 1 , t 2 ) имеет по крайней мере один нуль. Доказательство. Эту теорему можно получить как следствие теоремы 14.7. Мы приведем прямое доказательство. Предположим, что x(t) не обращается в нуль на (t 1 , t 2 ). Без ограничения общно- сти можно считать, что на (t 1 |