Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
U 3 (x, y) = ax 2 y + bxy 2 , (16.25) где числа a и b отличны от нуля. Поле градиентов grad U 3 (x, y) = (y(2ax + by), x(ax + 2by)) (16.26) будет не вырождено, так как прямые y = 0 и 2ax+by = 0 перемежаются с прямыми x = 0 и ax + 2by = 0 при любых ненулевых a и b (см. § 8). Упражнение 16.1. При каких соотношениях между a и b вырождена и невырож- дена функция U 3 (x, y) = x 3 + 3ax 2 y + 3by 2 + y 3 ? (16.27) Непрерывно дифференцируемую функцию U(x, y) назовем направляющей для системы dx dt = P (x, y, t), dy dt = Q(x, y, t). (16.1) если она невырождена и если U 0 x (x, y)P (x, y, t) + U 0 y (x, y)Q(x, y, t) > 0 (16.28) при x 2 + y 2 ≥ R 2 0 , где R 0 — некоторое число. Отметим аналогию между направляющими функциями и функциями Ляпунова из теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Условие (16.28) имеет простой геометрический смысл. Оно означает, что угол между вектором grad U(x, y) и вектором скорости (P, Q) острый. Из теоремы 4.3 вытекает, что вращения полей (16.18) и (16.20) на окружности x 2 + y 2 = R 2 0 и 176 на кривых Γ, внутри которых лежит эта окружность, одинаковы. Так как функ- ция U(x, y) не вырождена, то из неравенства (16.28) вытекает, что вращение поля (P, Q) на указанных выше кривых Γ отлично от нуля. 16.4. Знакопостоянная направляющая функция. Непрерывно дифферен- цируемую функцию U(x, y) назовем отрицательно определенной, если lim x 2 +y 2 →+∞ U(x, y) = −∞. (16.29) Если градиент отрицательно определенной функции не обращается в нуль вне некоторого круга, то эта функция будет невырождена. Для доказательства обозначим через Γ линию уровня U(x, y) = c. где c — отрицательное число, абсолютная величина которого достаточно велика. Так как во всех точках Γ grad U(x, y) не обращается в нуль, то Γ не имеет точек самопересечения и точек самокасания (см. п. 11.1). В силу (16.29) кривая Γ лежит в ограниченной части плоскости. Следовательно, Γ — замкнутая кривая. В силу теоремы 2.4 вращение поля градиентов на кривой Γ равно 1. Поэтому вращение поля градиентов равно 1 и на любой окружности, внутри которой лежит Γ. Это означает, что функция U(x, y) не вырождена. Из проведенных рассуждений вытекает, что U(x, y) будет направляющей функ- цией для системы (16.1), если выполнены условия (16.28) и (16.29). Теорема 16.1. Пусть система (16.1) с периодическими по t правыми частями имеет отрицательно определенную направляющую функцию. Тогда система (16.1) имеет по крайней мере одно периодическое решение. Доказательство. Пусть Γ — линия уровня функции U(x, y), рассмотренная в начале этого пункта, a G — ограниченная кривой Γ область. Из условия (16.28), как уже отмечалось, вытекает отличие от нуля вращения поля (16.18) на Γ. В нашем случае это вращение равно 1. Рис. 16.2 Неравенство (16.28) означает, что все траектории системы (16.1), начинающиеся на Γ, с возрастанием t входят внутрь области G и не возвращаются на Γ (см. рис. 16.2). Отсюда вытекает, что оператор (16.9) определен при всех z 0 ∈ G. 177 Из леммы 16.1 следует, что оператор T имеет в G неподвижную точку z ∗ 0 . Ре- шение z ∗ (t) = z(t, 0; z ∗ 0 ) является периодическим решением системы (16.1). Теорема доказана. Нетрудно видеть, что решение z ∗ (t) лежит в области G. Пусть, например, правые части системы (16.1) удовлетворяют неравенству (a 11 x + a 12 y)P (x, y, t) + (a 12 x + a 22 y)Q(x, y, t) > 0 (x 2 + y 2 ≥ R 2 0 ). (16.30) Тогда функция U(x, y) = 1 2 (a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 ) будет направляющей для системы (16.1). Если числа a ij удовлетворяют неравен- ствам a 11 < 0, a 11 a 22 − a 2 12 > 0, (16.31) то U(x, y) будет отрицательно определенной. Поэтому неравенство (16.30) при условии (16.31) является достаточным условием существования периодического решения у системы (16.1) с периодическими по t правыми частями. Упражнение 16.2. Докажите, что система dx dt = ax + by + φ(x, y, t), dy dt = cx + dy + ψ(x, y, t) с периодическими по t функциями φ и ψ имеет по крайней мере одно периодическое решение, если корни характеристического уравнения ¯ ¯ ¯ ¯ a − λ b c d − λ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 имеют вещественные части одного знака и если равномерно по t lim |x|+|y|→∞ |φ(x, y, t)| + |ψ(x, y, t)| |x| + |y| = 0. 16.5. Основная теорема. В условиях теоремы 16.1 векторное поле (P (x, y, t), Q(x, y, t)) имеет на Γ вращение, равное 1. Кроме того, все точки кривой Γ обладают свойством ω-невозвращаемости. При проверке этого последнего свой- ства существенную роль сыграла отрицательная определенность направляющей функции. Для доказательства существования периодических решений могут быть исполь- зованы направляющие функции, не обладающие свойством знакопостоянства. Од- нако при этом приходится на правые части системы (16.1) налагать дополнитель- ные ограничения. Введем обозначения m = min x 2 +y 2 ≤R 2 0 U(x, y), M = max x 2 +y 2 ≤R 2 0 U(x, y), (16.32) 178 где R 0 — радиус того круга, вне которого выполнены условия (16.28). Череэ S обозначим множество точек плоскости, лежащих вне круга x 2 + y 2 < R 2 0 , для которых m ≤ U(x, y) ≤ M. (16.33) Непрерывно дифференцируемую функцию V (x, y) назовем вспомогательной для направляющей функции U(x, y), если она удовлетворяет условиям V 0 x (x, y)P (x, y, t) + V 0 y (x, y)Q(x, y, t) ≥ 0 ((x, y) ∈ S) (16.34) и lim x 2 +y 2 →∞ |V (x, y)| = +∞ ((x, y) ∈ S). (16.35) Функция V (x, y) может быть определена только на S. Теорема 16.2. Пусть для системы (16.1) с периодическими правыми частями могут быть указаны направляющая и вспомогательная функции. Тогда эта система имеет по крайней мере одно периодическое решение. Доказательство. Допустим вначале, что все решения системы (16.1) могут быть определены при всех t. Тогда оператор Пуанкаре – Андронова T определенна всей плоскости. Из условия (16.28) вытекает отличие от нуля вращения поля (P, Q) на каждой окружности x 2 +y 2 = R 2 1 для R 1 ≥ R 0 . Поэтому для применения леммы 16.1 нужно найти такое R 1 , чтобы все точки окружности Γ (x 2 +y 2 = R 2 1 ) обладали свойством ω-невозвращаемости. Введем обозначение N = max x 2 +y 2 ≤R 2 0 |V (x, y)|. (16.36) В силу (16.35) можно выбрать такое R 1 , что |V (x, y)| > N ((x, y) ∈ Γ ∩ S). (16.37) Покажем, что все точки окружности Γ обладают тогда свойством ω-невозвращаемости. Через u(t) и v(t) ниже обозначаются функции u(t) = U(x(t), y(t)), v(t) = V (x(t), y(t)). (16.38) где (x(t), y(t)) — решение системы (16.1), удовлетворяющее начальному условию (x(t 0 ), y(t 0 )) = (x 0 , y 0 ) ∈ Γ. В силу (16.28) функция u(t) строго возрастает, пока точка (x(t), y(t)) находится вне круга K (x 2 +y 2 ≤ R 2 0 ). Отсюда вытекает, что точка (x 0 , y 0 ) обладает свойством невозвращаемости, если решение лежит вне круга K. Пусть вначале точка (x 0 , y 0 ) не принадлежит S. Тогда выполнено одно из нера- венств U(x 0 , y 0 ) > M 179 или U(x 0 , y 0 ) < m. Если выполнено первое из них, то решение (x(t), y(t)) при t > t 0 все время на- ходится вне круга K, так как в противном случае функция u(t) не была бы воз- растающей. Предположим, что выполнено второе неравенство, но точка (x 0 , y 0 ) обладает свойством возвращаемости: x(t 1 ) = x 0 , y(t 1 ) = y 0 (t 1 > t 0 ). Тогда при некотором t 2 (t 0 < t 2 < t 1 ) будет выполнено неравенство x 2 (t 2 ) + y 2 (t 2 ) ≤ R 2 0 . Обозначим тогда через t ∗ наибольшее значение t из промежутка [t 0 , t 1 ], при кото- ром решение лежит в круге K. Очевидно, u(t ∗ ) ≥ m и из монотонности u(t) вытекает, что u 1 (t 1 ) > u(t ∗ ) ≥ m. Мы пришли к противоречию. Пусть теперь (x 0 , y 0 ) ∈ S. Тогда m ≤ u(t 0 ) ≤ M, |v(t 0 )| > N . Предположим, что v(t 0 ) > N . При возрастании t точка (x(t), y(t)) может все время лежать в S, при этом v(t) будет неубывающей и решение не будет входить в круг K. Функция v(t) будет при этом строго возрастать, в силу чего точка (x 0 , y 0 ) будет обладать свойством невозвращаемости. Если же при возрастании t точка (x(t), y(t)) выйдет на границу множества S в момент t ∗ , то будет выполнено равенство u(t ∗ ) = M. Это значит, что при t > t ∗ функция u(t) принимает значения большие, чем M. Таким образом, функция u(t) строго возрастает при всех t > t ∗ , и, следовательно, точка (x 0 , y 0 ) обладает свойством невозвращаемости. Нам осталось рассмотреть случай, когда (x 0 , y 0 ) ∈ S, m ≤ u(t 0 ) ≤ M, v(t 0 ) < −N. Допустим, что точка (x 0 , y 0 ) обладает свойством возвращаемости: x(t 1 ) = x 0 , y(t 1 ) = y 0 (t 1 > t 0 ). Обозначим через t ∗ наибольшее значение t из промежутка [t 0 , t 1 ], при котором решение лежит в круге K. Тогда v(t ∗ ) ≥ −N и из монотонности v(t) вытекает, что v(t 1 ) ≥ v(t ∗ ) ≥ −N. Но v(t 1 ) = v(t 0 ) < −N. Мы пришли к противоречию. Итак, теорема доказана в предположении, что все решения системы (16.1) опре- делены при всех t. Из доказательства теоремы вытекает, что периодические решения z ∗ (t) системы (16.1) лежат в круге x 2 + y 2 < R 2 1 Это позволяет доказать утверждение теоремы в общем случае. Для этого нужно рассмотреть систему (16.6) при R = R 1 . Нетрудно видеть, что для новой системы выполнены все условия теоремы 16.2, за исключением того, что строгое неравен- ство (16.28) при x 2 + y 2 ≥ (R 1 + 1) 2 переходит в равенство. Однако это изменение условия не меняет доказательства. Поэтому система (16.6) имеет периодические 180 решение, лежащее в круге x 2 + y 2 ≤ R 2 1 . Это решение является одновременно периодическим решением системы (16.1). Теорема доказана. Предположим, например, что правые части системы (16.1) периодичны по t и удовлетворяют неравенству (2αγx + (αδ + βγ)y)P (x, y, t) + ((αδ + βγ)x + 2βδy)Q(x, y, t) > 0 (x 2 + y 2 ≥ R 2 0 ), (16.39) где αδ − βγ 6= 0. Из (16.39) вытекает, что функция U(x, y) = (αx + βy)(γx + δy) является направляющей для системы (16.1). Она не является знакопостоянной. Поэтому теорема 16.1 неприменима. Пусть дополнительно выполнены неравенства βP (x, y, t) − αQ(x, y, t) ≥ 0 (|αx + βy| ≤ ε 0 ), δP (x, y, t) − γQ(x, y, t) ≥ 0 (|γx + δy| ≤ ε 0 ), (16.40) где ε 0 — некоторое положительное число. Неравенства (16.40) означают, что функ- ция V (x, y) = ½ βx − αy при |αx + βy| ≤ ε 0 , δx − γy при |γx + δy| ≤ ε 0 , (x 2 + y 2 ≥ R 2 0 ) является вспомогательной для направляющей функции U(x, y). Таким образом, выполнены все условия теоремы 16.2. Значит, неравенства (16.39) и (16.40) явля- ются достаточными условиями существования периодического решения у системы (16.1). Упражнение 16.3 (Б.П. Демидович). Докажите, что система dx dt = ax + by + φ(x, y, t), dy dt = cx + dy + ψ(x, y, t) с периодическими по t функциями φ и ψ имеет по крайней мере одно периодическое решение, если корни характеристического уравнения ¯ ¯ ¯ ¯ a − λ b c d − λ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 вещественные, разного знака и если равномерно по t lim |x|+|y|→∞ |φ(x, y, t)| + |ψ(x, y, t)| |x| + |y| = 0. 181 Упражнение 16.4. Приведите пример системы, для которой функция (16.25) яв- ляется направляющей. Подберите вспомогательную для (16.25) функцию. Допустим, что одно периодическое решение z ∗ (t) = (x ∗ (t), y ∗ (t)) системы (16.1) известно. Точка (x 0 , y 0 ), где x 0 = x ∗ (0) и y 0 = y ∗ (0), будет неподвижной точкой преобразования T Пуанкаре – Андронова или, что то же, будет особой точкой векторного поля Φ(z) = T (z) − z ≡ (φ(x, y), ψ(x, y)). (16.41) Рассмотрим линеаризованную систему dξ dt = P 0 x (x ∗ (t), y ∗ (t), t)ξ + P 0 y (x ∗ (t), y ∗ (t), t)η, dη dt = Q 0 x (x ∗ (t), y ∗ (t), t)ξ + Q 0 y (x ∗ (t), y ∗ (t), t)η, (16.42) и обозначим через T 0 z ∗ преобразование Пуанкаре – Андронова, определенное этой системой. Из теорем о дифференцируемости по начальным данным решений диф- ференциальных уравнений 46 вытекает, что компоненты векторного поля T 0 z ∗ ζ − ζ = (φ 1 (ξ, η), ψ 1 (ξ, η)) (16.43) определяются равенствами φ 1 ( |