Главная страница

Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов


Скачать 2 Mb.
НазваниеМ. А. Красносельский, А. И. Перов
АнкорВекторные поля
Дата29.06.2021
Размер2 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ.pdf
ТипКнига
#222479
страница24 из 28
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   28
U
3
(x, y) = ax
2
y + bxy
2
,
(16.25)
где числа a и b отличны от нуля. Поле градиентов grad U
3
(x, y) = (y(2ax + by), x(ax + 2by))
(16.26)
будет не вырождено, так как прямые y = 0 и 2ax+by = 0 перемежаются с прямыми
x = 0 и ax + 2by = 0 при любых ненулевых a и b (см. § 8).
Упражнение 16.1.
При каких соотношениях между a и b вырождена и невырож-
дена функция
U
3
(x, y) = x
3
+ 3ax
2
y + 3by
2
+ y
3
?
(16.27)
Непрерывно дифференцируемую функцию U(x, y) назовем направляющей для системы
dx
dt
= P (x, y, t),
dy
dt
= Q(x, y, t).
(16.1)
если она невырождена и если
U
0
x
(x, y)P (x, y, t) + U
0
y
(x, y)Q(x, y, t) > 0
(16.28)
при x
2
+ y
2
≥ R
2 0
, где R
0
— некоторое число.
Отметим аналогию между направляющими функциями и функциями Ляпунова из теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Условие (16.28) имеет простой геометрический смысл. Оно означает, что угол между вектором grad U(x, y) и вектором скорости (P, Q) острый. Из теоремы
4.3 вытекает, что вращения полей (16.18) и (16.20) на окружности x
2
+ y
2
= R
2 0
и
176
на кривых Γ, внутри которых лежит эта окружность, одинаковы. Так как функ- ция U(x, y) не вырождена, то из неравенства (16.28) вытекает, что вращение поля
(P, Q) на указанных выше кривых Γ отлично от нуля.
16.4. Знакопостоянная направляющая функция. Непрерывно дифферен- цируемую функцию U(x, y) назовем отрицательно определенной, если lim
x
2
+y
2
+
U(x, y) = −∞.
(16.29)
Если градиент отрицательно определенной функции не обращается в нуль вне некоторого круга, то эта функция будет невырождена.
Для доказательства обозначим через Γ линию уровня
U(x, y) = c.
где c — отрицательное число, абсолютная величина которого достаточно велика.
Так как во всех точках Γ grad U(x, y) не обращается в нуль, то Γ не имеет точек самопересечения и точек самокасания (см. п. 11.1). В силу (16.29) кривая Γ лежит в ограниченной части плоскости. Следовательно, Γ — замкнутая кривая. В силу теоремы 2.4 вращение поля градиентов на кривой Γ равно 1. Поэтому вращение поля градиентов равно 1 и на любой окружности, внутри которой лежит Γ. Это означает, что функция U(x, y) не вырождена.
Из проведенных рассуждений вытекает, что U(x, y) будет направляющей функ- цией для системы (16.1), если выполнены условия (16.28) и (16.29).
Теорема 16.1. Пусть система (16.1) с периодическими по t правыми частями
имеет отрицательно определенную направляющую функцию.
Тогда система (16.1) имеет по крайней мере одно периодическое решение.
Доказательство. Пусть Γ — линия уровня функции U(x, y), рассмотренная в начале этого пункта, a G — ограниченная кривой Γ область. Из условия (16.28),
как уже отмечалось, вытекает отличие от нуля вращения поля (16.18) на Γ. В
нашем случае это вращение равно 1.
Рис. 16.2
Неравенство (16.28) означает, что все траектории системы (16.1), начинающиеся на Γ, с возрастанием t входят внутрь области G и не возвращаются на Γ (см. рис.
16.2). Отсюда вытекает, что оператор (16.9) определен при всех z
0
∈ G.
177

Из леммы 16.1 следует, что оператор T имеет в G неподвижную точку z

0
. Ре- шение z

(t) = z(t, 0; z

0
) является периодическим решением системы (16.1).
Теорема доказана.
Нетрудно видеть, что решение z

(t) лежит в области G.
Пусть, например, правые части системы (16.1) удовлетворяют неравенству
(a
11
x + a
12
y)P (x, y, t) + (a
12
x + a
22
y)Q(x, y, t) > 0 (x
2
+ y
2
≥ R
2 0
).
(16.30)
Тогда функция
U(x, y) =
1 2
(a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
)
будет направляющей для системы (16.1). Если числа a
ij
удовлетворяют неравен- ствам
a
11
< 0,
a
11
a
22
− a
2 12
> 0,
(16.31)
то U(x, y) будет отрицательно определенной. Поэтому неравенство (16.30) при условии (16.31) является достаточным условием существования периодического решения у системы (16.1) с периодическими по t правыми частями.
Упражнение 16.2.
Докажите, что система
dx
dt
= ax + by + φ(x, y, t),
dy
dt
= cx + dy + ψ(x, y, t)
с периодическими по t функциями φ и ψ имеет по крайней мере одно периодическое
решение, если корни характеристического уравнения
¯
¯
¯
¯
a − λ
b
c
d − λ
¯
¯
¯
¯ = 0
имеют вещественные части одного знака и если равномерно по t
lim
|x|+|y|→∞
(x, y, t)| + (x, y, t)|
|x| + |y|
= 0.
16.5. Основная теорема. В условиях теоремы 16.1 векторное поле
(P (x, y, t), Q(x, y, t)) имеет на Γ вращение, равное 1. Кроме того, все точки кривой
Γ обладают свойством ω-невозвращаемости. При проверке этого последнего свой- ства существенную роль сыграла отрицательная определенность направляющей функции.
Для доказательства существования периодических решений могут быть исполь- зованы направляющие функции, не обладающие свойством знакопостоянства. Од- нако при этом приходится на правые части системы (16.1) налагать дополнитель- ные ограничения.
Введем обозначения
m =
min
x
2
+y
2
≤R
2 0
U(x, y),
M =
max
x
2
+y
2
≤R
2 0
U(x, y),
(16.32)
178
где R
0
— радиус того круга, вне которого выполнены условия (16.28). Череэ S
обозначим множество точек плоскости, лежащих вне круга x
2
+ y
2
< R
2 0
, для которых
m ≤ U(x, y) ≤ M.
(16.33)
Непрерывно дифференцируемую функцию V (x, y) назовем вспомогательной
для направляющей функции U(x, y), если она удовлетворяет условиям
V
0
x
(x, y)P (x, y, t) + V
0
y
(x, y)Q(x, y, t) 0 ((x, y) ∈ S)
(16.34)
и lim
x
2
+y
2
→∞
|V (x, y)| = +((x, y) ∈ S).
(16.35)
Функция V (x, y) может быть определена только на S.
Теорема 16.2. Пусть для системы (16.1) с периодическими правыми частями
могут быть указаны направляющая и вспомогательная функции.
Тогда эта система имеет по крайней мере одно периодическое решение.
Доказательство. Допустим вначале, что все решения системы (16.1) могут быть определены при всех t. Тогда оператор Пуанкаре – Андронова T определенна всей плоскости. Из условия (16.28) вытекает отличие от нуля вращения поля (P, Q)
на каждой окружности x
2
+y
2
= R
2 1
для R
1
≥ R
0
. Поэтому для применения леммы
16.1 нужно найти такое R
1
, чтобы все точки окружности Γ (x
2
+y
2
= R
2 1
) обладали свойством ω-невозвращаемости.
Введем обозначение
N =
max
x
2
+y
2
≤R
2 0
|V (x, y)|.
(16.36)
В силу (16.35) можно выбрать такое R
1
, что
|V (x, y)| > N
((x, y) Γ ∩ S).
(16.37)
Покажем, что все точки окружности Γ обладают тогда свойством ω-невозвращаемости.
Через u(t) и v(t) ниже обозначаются функции
u(t) = U(x(t), y(t)),
v(t) = V (x(t), y(t)).
(16.38)
где (x(t), y(t)) — решение системы (16.1), удовлетворяющее начальному условию
(x(t
0
), y(t
0
)) = (x
0
, y
0
) Γ.
В силу (16.28) функция u(t) строго возрастает, пока точка (x(t), y(t)) находится вне круга K (x
2
+y
2
≤ R
2 0
). Отсюда вытекает, что точка (x
0
, y
0
) обладает свойством невозвращаемости, если решение лежит вне круга K.
Пусть вначале точка (x
0
, y
0
) не принадлежит S. Тогда выполнено одно из нера- венств
U(x
0
, y
0
) > M
179
или
U(x
0
, y
0
) < m.
Если выполнено первое из них, то решение (x(t), y(t)) при t > t
0
все время на- ходится вне круга K, так как в противном случае функция u(t) не была бы воз- растающей. Предположим, что выполнено второе неравенство, но точка (x
0
, y
0
)
обладает свойством возвращаемости:
x(t
1
) = x
0
,
y(t
1
) = y
0
(t
1
> t
0
).
Тогда при некотором t
2
(t
0
< t
2
< t
1
) будет выполнено неравенство
x
2
(t
2
) + y
2
(t
2
) ≤ R
2 0
.
Обозначим тогда через t

наибольшее значение t из промежутка [t
0
, t
1
], при кото- ром решение лежит в круге K. Очевидно,
u(t

) ≥ m
и из монотонности u(t) вытекает, что
u
1
(t
1
) > u(t

) ≥ m.
Мы пришли к противоречию.
Пусть теперь (x
0
, y
0
) ∈ S. Тогда m ≤ u(t
0
) ≤ M, |v(t
0
)| > N . Предположим,
что v(t
0
) > N . При возрастании t точка (x(t), y(t)) может все время лежать в S,
при этом v(t) будет неубывающей и решение не будет входить в круг K. Функция
v(t) будет при этом строго возрастать, в силу чего точка (x
0
, y
0
) будет обладать свойством невозвращаемости. Если же при возрастании t точка (x(t), y(t)) выйдет на границу множества S в момент t

, то будет выполнено равенство u(t

) = M.
Это значит, что при t > t

функция u(t) принимает значения большие, чем M.
Таким образом, функция u(t) строго возрастает при всех t > t

, и, следовательно,
точка (x
0
, y
0
) обладает свойством невозвращаемости.
Нам осталось рассмотреть случай, когда (x
0
, y
0
) ∈ S, m ≤ u(t
0
) ≤ M, v(t
0
) <
−N. Допустим, что точка (x
0
, y
0
) обладает свойством возвращаемости: x(t
1
) = x
0
,
y(t
1
) = y
0
(t
1
> t
0
). Обозначим через t

наибольшее значение t из промежутка
[t
0
, t
1
], при котором решение лежит в круге K. Тогда v(t

) ≥ −N и из монотонности
v(t) вытекает, что v(t
1
) ≥ v(t

) ≥ −N. Но v(t
1
) = v(t
0
) < −N. Мы пришли к противоречию.
Итак, теорема доказана в предположении, что все решения системы (16.1) опре- делены при всех t.
Из доказательства теоремы вытекает, что периодические решения z

(t) системы
(16.1) лежат в круге x
2
+ y
2
< R
2 1
Это позволяет доказать утверждение теоремы в общем случае. Для этого нужно рассмотреть систему (16.6) при R = R
1
. Нетрудно видеть, что для новой системы выполнены все условия теоремы 16.2, за исключением того, что строгое неравен- ство (16.28) при x
2
+ y
2
(R
1
+ 1)
2
переходит в равенство. Однако это изменение условия не меняет доказательства. Поэтому система (16.6) имеет периодические
180
решение, лежащее в круге x
2
+ y
2
≤ R
2 1
. Это решение является одновременно периодическим решением системы (16.1).
Теорема доказана.
Предположим, например, что правые части системы (16.1) периодичны по t и удовлетворяют неравенству
(2αγx + (αδ + βγ)y)P (x, y, t) + ((αδ + βγ)x + 2βδy)Q(x, y, t) > 0
(x
2
+ y
2
≥ R
2 0
),
(16.39)
где
αδ − βγ 6= 0.
Из (16.39) вытекает, что функция
U(x, y) = (αx + βy)(γx + δy)
является направляющей для системы (16.1). Она не является знакопостоянной.
Поэтому теорема 16.1 неприменима. Пусть дополнительно выполнены неравенства
βP (x, y, t) − αQ(x, y, t) 0 (|αx + βy| ≤ ε
0
),
δP (x, y, t) − γQ(x, y, t) 0 (|γx + δy| ≤ ε
0
),
(16.40)
где ε
0
— некоторое положительное число. Неравенства (16.40) означают, что функ- ция
V (x, y) =
½
βx − αy при |αx + βy| ≤ ε
0
,
δx − γy при |γx + δy| ≤ ε
0
,
(x
2
+ y
2
≥ R
2 0
)
является вспомогательной для направляющей функции U(x, y). Таким образом,
выполнены все условия теоремы 16.2. Значит, неравенства (16.39) и (16.40) явля- ются достаточными условиями существования периодического решения у системы
(16.1).
Упражнение 16.3 (Б.П. Демидович).
Докажите, что система
dx
dt
= ax + by + φ(x, y, t),
dy
dt
= cx + dy + ψ(x, y, t)
с периодическими по t функциями φ и ψ имеет по крайней мере одно периодическое
решение, если корни характеристического уравнения
¯
¯
¯
¯
a − λ
b
c
d − λ
¯
¯
¯
¯ = 0
вещественные, разного знака и если равномерно по t
lim
|x|+|y|→∞
(x, y, t)| + (x, y, t)|
|x| + |y|
= 0.
181

Упражнение 16.4.
Приведите пример системы, для которой функция
(16.25)
яв-
ляется направляющей. Подберите вспомогательную для
(16.25)
функцию.
Допустим, что одно периодическое решение z

(t) = (x

(t), y

(t)) системы (16.1)
известно. Точка (x
0
, y
0
), где x
0
= x

(0) и y
0
= y

(0), будет неподвижной точкой преобразования T Пуанкаре – Андронова или, что то же, будет особой точкой векторного поля
Φ(z) = T (z) − z ≡ (φ(x, y), ψ(x, y)).
(16.41)
Рассмотрим линеаризованную систему

dt
= P
0
x
(x

(t), y

(t), t)ξ + P
0
y
(x

(t), y

(t), t)η,

dt
= Q
0
x
(x

(t), y

(t), t)ξ + Q
0
y
(x

(t), y

(t), t)η,
(16.42)
и обозначим через T
0
z

преобразование Пуанкаре – Андронова, определенное этой системой. Из теорем о дифференцируемости по начальным данным решений диф- ференциальных уравнений
46
вытекает, что компоненты векторного поля
T
0
z

ζ − ζ = (φ
1
(ξ, η), ψ
1
(ξ, η))
(16.43)
определяются равенствами
φ
1
(
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   28


написать администратору сайта