Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
− x 2 − y 2 )y, dy dt = e −λ 2 (1 − x 2 − y 2 )x, x(0) = x(π) = 0, (15.82) ни при одном значении λ не имеет решений с малой нормой, отличных от нулевого, так как x(t, c; λ) = −c sin ³ e −λ 2 (1 − c 2 )t ´ , x(t, c; λ) = c cos ³ e −λ 2 (1 − c 2 )t ´ . В то же самое время линеаризованная задача dx dt = −e −λ 2 y, dy dt = e −λ 2 x, x(0) = x(π) = 0, (15.83) имеет единственное собственное значение λ = 0. В связи с этим представляет интерес Теорема 15.13. Каждое устойчивое собственное значение линейной задачи (15.75)-(15.76) является бифуркационным значением задачи (15.72)-(15.73). Доказательство. Пусть λ 0 — устойчивое (см. п. 14.8) собственное значение за- дачи (15.75)-(15.76). Коэффициенты системы (15.75) обозначим через a ij (t; λ) (i, j = 1, 2). Пусть задано ε > 0. Согласно определению устойчивого собственного значения для числа ε можно указать такое число δ > 0, что из неравенств |e a ij (t; λ) − a ij (t; λ)| < δ (a ≤ t ≤ b, |λ − λ 0 | < ε, i, j = 1, 2), (15.84) вытекает, что краевая задача dx dt = e a 11 (t; λ)x + e a 12 (t; λ)y, dy dt = e a 21 (t; λ)x + e a 22 (t; λ)y, (15.85) x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0 (15.86) имеет собственное значение λ ε , лежащее в интервале (λ 0 − ε, λ 0 + ε). 170 Решение z(t, c; λ) = (x(t, c; λ), y(t, c; λ)) системы (15.72) является одновременно решением линейной системы dx dt = a 11 (t, c; λ)x + a 12 (t, c; λ)y, dy dt = a 21 (t, c; λ)x + a 22 (t, c; λ)y, . (15.87) коэффициенты которой задаются формулами (15.79). В силу непрерывности z(t, c; λ) и a ij (t, c; λ) (i, j = 1, 2) по всем переменным для чисел ε и δ можно найти такое число ρ 1 > 0, что будут выполнены неравенства kz(t, c; λ)k < ε (a ≤ t ≤ b, |c| < ρ 1 , |λ − λ 0 | < ε), (15.88) |a ij (t, c; λ) − a ij (t; λ)| < δ (a ≤ t ≤ b, |c| < ρ 1 , |λ − λ 0 | < ε). (15.89) Зафиксируем теперь некоторое c, 0 < |c| < ρ 1 . Положим e a ij (t; λ) = a ij (t, c; λ). Из неравенств (15.89) в силу сказанного выше вытекает, что задача (15.85)-(15.86) имеет собственное значение λ ε , для которого |λ ε − λ 0 | < ε. Кроме того, решение z ε (t) = z(t, c; λ ε ) является решением задачи (15.72)-(15.73), для которого в силу (15.88) выполнено неравенство kz ε (t)k < ε (a ≤ t ≤ b). Мы показали, что λ 0 является бифуркационным значением задачи (15.72)-(15.73). Теорема доказана. При изучении решений краевой задачи (15.72)-(15.73) большой нормы, то есть таких решений z(t), для которых выполнено неравенство kz(t)k < 1 ε (a ≤ t ≤ b), естественно ввести следующее определение. Число λ 0 назовем бифуркационным значением задачи (15.72)-(15.73) на бесконечности, если по любому ε > 0 можно указать число λ ε и решение z ε (t) задачи (15.72)-(15.73) такие, что |λ ε − λ 0 | < ε, kz ε (t)k > 1 ε (a ≤ t ≤ b) (15.90) (определенные выше бифуркационные значения, в отличие от этих, естественно было бы назвать бифуркационными значениями в нуле). Опять-таки для линей- ных задач бифуркационные значения на бесконечности совпадают с собственными значениями. Пусть правые части системы (15.72) допускают представление в виде f (t, x, y; λ) = a 11 (t; λ)x + a 12 (t; λ)y + b 1 (t, x, y; λ), g(t, x, y; λ) = a 21 (t; λ)x + a 22 (t; λ)y + b 2 (t, x, y; λ), (15.91) где a ij (t; λ) (i, j = 1, 2) непрерывно зависят от параметра λ и t, а функции b i (t, x, y; λ) (i = 1, 2) непрерывны по всем переменным и lim |x|+|y|→+∞ |b 1 (t, x, y; λ)| + |b 2 (t, x, y; λ)| |x| + |y| = 0 (15.92) 171 равномерно по t (a ≤ t ≤ b) и λ, меняющемся на любом конечном отрезке. Наряду с задачей (15.72)-(15.73) рассмотрим линейную задачу dx dt = a 11 (t; λ)x + a 12 (t; λ)y, dy dt = a 21 (t; λ)x + a 22 (t; λ)y (15.93) x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0. (15.94) Аналогично теоремам 15.12 и 15.13 могут быть доказаны следующие теоремы. Теорема 15.14. Каждое бифуркационное значение задачи (15.72)-(15.73) на бесконечности является собственным значением линейной задачи (15.93)-(15.94). Теорема 15.15. Каждое устойчивое значение линейной задачи (15.93)-(15.94) является бифуркационным значением задачи (15.72)-(15.73) на бесконечности. § 16. Метод направляющей функции в задаче о периодических решениях 45 16.1. Оператор Пуанкаре-Андронова. Рассмотрим неавтономную систему dx dt = P (x, y, t), dy dt = Q(x, y, t). (16.1) Будем предполагать, что правые части определены и непрерывны по совокупности всех переменных вместе со своими производными первого порядка по x и y. То- гда будет гарантировано не только существование, но и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию. Решение z(t) = (x(t), y(t)), (16.2) удовлетворяющее начальному условию (x(t 0 ), y(t 0 )) = (x 0 , y 0 ) = z 0 , (16.3) будем обозначать через z(t, t 0 ; z 0 ). Вектор-функция z(t, t 0 ; z 0 ) будет непрерывна по совокупности переменных; основные ее свойства выражаются равенствами z(t 0 , t 0 ; z 0 ) ≡ z 0 (16.4) 45 Этот метод для систем n-го порядка разработан М.А. Красносельским и А.И. Перовым (см. М.А. Красносельский и А.И. Перов, ДАН СССР 123 (1958), №2; А.И. Перов, Некото- рые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, диссертация, Воронеж, 1959). Здесь излагаются простейшие теоремы. 172 и z(t 2 , t 1 ; z(t 1 , t 0 ; z 0 )) ≡ z(t 2 , t 0 ; z 0 ). (16.5) Как и при изучении автономных систем, при изучении вектор-функции linebreakz(t, t 0 ; z 0 ) возникают трудности в связи с тем, что решения системы (16.1) могут за конеч- ное время “уходить в бесконечность”. Чтобы избежать этого, мы будем наряду с системой (16.1) рассматривать вспомогательные системы dx dt = P (x, y, t; R), dy dt = Q(x, y, t; R), (16.6) правые части которых при x 2 +y 2 ≤ R 2 совпадают с функциями P (x, y, t), Q(x, y, t) и для которых уже справедлива теорема о продолжимости каждого решения на бесконечный интервал −∞ < t < +∞. Функции P (x, y, t; R) и Q(x, y, t; R) могут быть определены, например, равенствами P (x, y, t; R) = P (x, y, t)φ(x 2 + y 2 ), Q(x, y, t; R) = Q(x, y, t)φ(x 2 + y 2 ), (16.7) где функция φ(u) гладкая и имеет график, изображенный на рис. 16.1, то есть φ(u) = 1 при u ≤ R, φ(u) = 0 при u ≥ R + 1, 0 < φ(u) < 1 при R < u < R + 1. Рис. 16.1 Решение системы (16.6), удовлетворяющее начальному условию (16.3), обозна- чим через z R (t, t 0 ; z 0 ). Для нас будет важно, что каждая часть интегральной кри- вой z(t) = z R (t, t 0 ; z 0 ) (16.8) системы (16.6), лежащая в круге x 2 + y 2 ≤ R 2 , является одновременно интеграль- ной кривой системы (16.1). Пусть ω — некоторое фиксированное положительное число. Допустим, что каж- дое решение системы (16.1) определено на промежутке 0 ≤ t ≤ ω. Тогда формула T (z 0 ) = z(ω, 0; z 0 ) (16.9) определяет оператор Пуанкаре – Андронова T преобразования плоскости в себя. 173 Очевидна важность оператора Пуанкаре – Андронова в задачах о периодиче- ских решениях системы (16.1). Допустим, что правые части этой системы перио- дичны по t с периодом ω: P (x, y, t + ω) = P (x, y, t), Q(x, y, t + ω) = Q(x, y, t). (16.10) Периодическое с периодом ω решение z(t, 0; z 0 ) удовлетворяет равенству z(ω, 0; z 0 ) = z 0 , (16.11) то есть начальное условие, определяющее периодическое решение, — это непо- движная точка оператора Пуанкаре – Андронова. Пусть, наоборот, z 0 — непо- движная точка оператора T ; тогда из равенства (16.5) вытекает, что z(t + ω, 0; z 0 ) = z(t + ω, ω; z(ω, 0; z 0 )) = z(t + ω, ω; z 0 ). (16.12) Но из периодичности правых частей системы (16.1) следует, что z(t + ω, ω; z 0 ) = z(t, 0; z 0 ). (16.13) Поэтому из (16.12) вытекает, что z(t, 0; z 0 ) — периодическое решение системы. Итак, между неподвижными точками оператора Пуанкаре – Андронова и пери- одическими решениями системы установлено взаимно однозначное соответствие. Если не все решения системы (16.1) определены при 0 ≤ t ≤ ω, то оператор (16.9) определен не на всей плоскости. В этом случае удобно переходить к системам (16.6) и определять для них оператор Пуанкаре - Андронова T R (z 0 ) = z R (ω, 0; z 0 ). (16.14) Неподвижные точки оператора T R определяют периодические решения системы (16.6). Если эти решения окажутся лежащими в круге x 2 + y 2 ≤ R 2 , то они будут периодическими решениями и системы (16.1). Оператор Пуанкаре – Андронова полезен и в задачах, не связанных с периоди- ческими решениями. В п. 16.6 он будет использован, например, при доказательстве теоремы о существовании ограниченного решения. 16.2. Лемма. Для доказательства существования неподвижных точек у опе- ратора Пуанкаре – Андронова T R (или T ) естественно воспользоваться общими теоремами об особых точках векторного поля Φ(z) = T R (z) − z. (16.15) Будем говорить, что точка z 0 обладает свойством ω-невозвращаемости, если при всех t ∈ (0, ω] z R (t, 0; z 0 ) 6= z 0 . (16.16) Если все точки некоторой замкнутой кривой Γ обладают свойством ω-невозвраща- емости, то это значит, что все векторные поля Φ(z; t) = z R (t, 0; z) − z (16.17) 174 при 0 < t ≤ ω не имеют на Γ нулевых векторов; следовательно, эти векторные поля гомотопны и имеют одинаковое вращение, равное вращению поля (16.15) на Γ. Допустим дополнительно, что векторное поле Φ 0 (z) = (P (x, y, 0; R); Q(x, y, 0; R)) (16.18) не имеет на Γ нулевых векторов. Из очевидного равенства lim t→0 1 t Φ(z; t) = Φ 0 (z) (16.19) вытекает, что векторы поля Φ(z; t) на Γ при малых t не направлены противополож- но векторам поля Φ 0 (z). Поэтому поля Φ(z; t) и, в частности, поле Φ(z) = Φ(z; ω) гомотопно на Γ полю Φ 0 (z) и их вращения одинаковы. Нами доказана Лемма 16.1. Пусть вращение поля (16.18) на некоторой замкнутой кривой Γ отлично от нуля. Пусть все точки кривой Γ обладают свойством ω-невозвращаемости. Тогда оператор T R имеет по крайней мере одну неподвижную точку, лежа- щую внутри Γ. Применение этой леммы для доказательства существования периодических ре- шений требует преодоления ряда трудностей. Во-первых, нужно уметь вычислять вращение поля (16.18) (или доказывать отличие этого вращения от нуля). Во-вторых, нужно доказывать ω-невозврашае- мость точек кривой Γ. В-третьих, нужно доказать, что периодическое решение системы (16.6), определяемое неподвижной точкой оператора T R полностью лежит в круге x 2 + y 2 ≤ R 2 16.3. Направляющая функция. Непрерывно дифференцируемую функцию U(x, y) назовем невырожденной, если векторное поле ее градиентов grad U(x, y) = (U 0 x (x, y), U 0 y (x, y)) (16.20) имеет ненулевое вращение на всех окружностях x 2 + y 2 = R 2 достаточно больших радиусов. В этом определении, естественно, предполагается, что поле (16.20) на окружностях x 2 + y 2 = R 2 не имеет нулевых векторов. Из теоремы 4.8 вытекает, что непрерывно дифференцируемая четная функция U(x, y) невырождена, если ее градиент не обращается в нуль вне некоторого круга. Для доказательства достаточно заметить, что поле градиентов четной функции — это нечетное векторное поле. В частности, квадратичные формы U(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 (16.21) являются невырожденными функциями, если выполнено неравенство ¯ ¯ ¯ ¯ a 11 a 12 a 12 a 22 ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. (16.22) 175 При этом (см. § 6) вращение γ поля градиентов функции (16.21) grad U(x, y) = 2(a 11 x + a 12 y, a 12 + a 22 y) (16.23) равно sign (a 11 a 22 − a 2 12 ). Методы, изложенные в § 7, позволяют выяснить, будет ли однородная форма U n (x, y) = a (0) n x n + a (1) n−1 x n−1 y + . . . + a (n−1) 1 xy n−1 + a (n) 0 y n (16.24) невырождена. Рассмотрим, например, форму третьего порядка U 3 (x, y) = x 3 − y 3 . Поле градиентов имеет вид 3(x 2 , −y 2 ). Это поле выпускает направление (1, 1), и поэтому его вращение на любой окружности равно нулю. Значит, функция x 3 − y 3 вырождена в смысле нашего определения. Рассмотрим другую форму третьего порядка: |