Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
0 x (t, x) ≤ π 2 (b − a) 2 − ε, где ε > 0 (Пикар); 2) k 2 π 2 (b − a) 2 + ε ≤ g 0 x (t, x) ≤ (k + 1) 2 π 2 (b − a) 2 − ε, где k — некоторое целое неотрицательное число, а ε > 0. Упражнение 15.13. Покажите, что уравнение Дуффинга d 2 x dt 2 + δ sin x + h(t) = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее краевым условиям x(a) = x(b) = 0, если |δ| < π 2 (b − a) 2 . 164 Упражнение 15.14. Дана краевая задача d 2 x dt 2 + g µ t, x, dx dt ¶ = 0, x(a) = x(b) = 0. Покажите, что: 1) она имеет единственное решение, если функции g(t, x, u), g 0 x (t, x, u), g 0 u (t, x, u) непре- рывны, |g 0 x (t, x, u)| ≤ τ 1 , |g 0 y (t, x, u)| ≤ τ 2 и ³ τ 1 + τ 2 2 ´ ³ 1 + τ 2 2 ´ < 1; 2) она имеет не более одного решения если g 0 x (t, x, y) < 0. Во многих случаях интересно выяснить, когда краевая задача имеет несколько решений, и дать оценку числа таких решений. Дадим предварительно следующее определение. Предположим, что система (15.52) имеет нулевое решение, то есть f (t, 0, 0) ≡ g(t, 0, 0) ≡ 0. (15.59) Предположим, далее, что функции f (t, x, y) и g(t, x, y) непрерывно дифференци- руемы по переменным x и y при x 2 + y 2 ≤ ρ 2 0 , a ≤ t ≤ b. Образуем матрицу A(t) = µ f 0 x (t, 0, 0) f 0 y (t, 0, 0) g 0 x (t, 0, 0) g 0 y (t, 0, 0) ¶ . (15.60) Если A(t) ∈ G l , то будем говорить, что система (15.52) удовлетворяет в нуле l-условию (относительно краевых условий (15.53)). Теорема 15.11. Пусть система (15.52) удовлетворяет на бесконечности k- условию, а в нуле l-условию, причем k 6= l. Тогда краевая задача (15.52)-(15.53) имеет не менее 2|k −l| ненулевых решений. Доказательство. Пусть z(t, c) = (x(t, c), y(t, c)) — любое решение системы (15.52), удовлетворяющее начальному условию x(a) = c cos α, y(a) = c sin α, (15.61) a φ(t, c) — его угловая функция (φ((a, c) ≡ α при c > 0, φ(a, c) ≡ α + π при c < 0). В условиях нашей теоремы решение z(t, c) можно считать определенным и не обращающимся в нуль на всем отрезке a ≤ t ≤ b. Изучим поведение многозначной функции e φ(b, c) при c > 0 (относительно свойств e φ(b, c) см. п. 15.1). Так как на бесконечности система (15.52) удовлетворяет k-условию, то β + kπ < φ(b, c) < β + (k + 1)π (c > c 1 ). (15.62) Покажем, что выполнение в нуле l-условия влечет за собой неравенства β + lπ < φ(b, c) < β + (l + 1)π (0 < c < c 0 ). (15.63) 165 Рассмотрим дифференциальное уравнение dφ dt = g 0 x (t, 0, 0) cos 2 φ + (g 0 y (t, 0, 0) − f 0 x (t, 0, 0)) cos φ sin φ − f 0 y (t, 0, 0) sin 2 φ + δ(t). (15.64) Так как в нуле выполнено l-условие, то для решения ψ(t) уравнения (15.64) при δ(t) ≡ 0, удовлетворяющего начальному условию ψ(a) = α, справедливы неравен- ства β + lπ + ε < ψ(b) < β + (l + 1)π − ε (ε > 0). (15.65) В силу непрерывной зависимости решения от правой части уравнения 41 по чис- лу ε можно указать такое δ > 0, что любое решение φ(t) уравнения (15.64), в котором |δ(t)| < δ (a ≤ t ≤ b), удовлетворяющее условию φ(a) = α, отличается от ψ(t) меньше чем на ε: |φ(t) − ψ(t)| < ε (a ≤ t ≤ b). (15.66) Выберем теперь число ρ 1 (ρ 1 < ρ 0 ) так, чтобы было справедливо неравенство |f (t, x, y)−f 0 x (t, 0, 0)x−f 0 y (t, 0, 0)y| 2 +|g(t, x, y)−g 0 x (t, 0, 0)x−g 0 y (t, 0, 0)y| 2 < δ 2 (x 2 +y 2 ). (15.67) Это возможно сделать, так как частные производные функций f и g равномерно непрерывны при a ≤ t ≤ b, x 2 +y 2 ≤ ρ 2 0 . В силу непрерывной зависимости решения z(t, c) от c (при малых по модулю значениях c) можно указать такое число c 0 > 0, что kz(t, c)k < ρ 1 (a ≤ t ≤ b, 0 ≤ c < c 0 ). (15.68) Функция φ(t, c) является решением уравнения (15.64), в котором δ(t) имеет вид δ(t) = (g − g 0 x x(t, c) − g 0 y y(t, c))(x(t, c) − (f − f 0 x x(t, c) − f 0 y y(t, c))y(t, c) x 2 (t, c) + y 2 (t, c) , (15.69) где принятые сокращения сами собой понятны. Пусть 0 < c < c 0 . В силу неравенств (15.68), формулы (15.69) и элементарного неравенства |u 1 v 1 +u 2 v 2 | 2 ≤ (u 2 1 +v 2 1 )(u 2 2 +v 2 2 ) мы получаем, что |δ(t)| < δ (a ≤ t ≤ b). Поэтому справедливо неравенство (15.66), в котором φ(t) = φ(t, c). Наконец, так как выполнено (15.65), то из (15,66) следует (15.63). Функция e φ(b, c) (0 < c < +∞) удовлетворяет теореме Больцано-Коши о проме- жуточном значении. Поэтому из неравенств (15.62) и (15.63) вытекает существо- вание таких положительных чисел c + j и таких угловых функций φ(t, c + j ), что φ(t, c + j ) = β + jπ (j = m + 1, . . . , m + |k − l|). (15.70) Здесь m = min {k, l}. Очевидно, что решения z(t, c + j ), соответствующие угловым функциям φ(t, c + j ), являются решениями краевой задачи (15.52)-(15.53). 41 И.Г. Петровский, Лекции по теории обыкноввнных дифференциальных уравнений, Госте- хиздат, 1952. 166 Аналогичным образом доказывается существование отрицательных чисел − j и угловых функций φ(t, c − j ), для которых φ(t, c − j ) = (β + π) + jπ (j = m + 1, . . . , m + |k − l|). (15.71) Eсли z(t, c − j ) — решения, соответствующие угловым функциям φ(t, c − j ), то мы по- лучаем еще |k − l| решений нашей краевой задачи. Теорема доказана. Интересно выяснить, когда в условиях теоремы 15.11 краевая задача имеет точно 2|k − l| ненулевых решений. Ясно, что последнее всегда имеет место, когда φ(t, c) строго монотонна по c как при c > 0, так и при c < 0. Достаточные условия строгой монотонности функции φ(t, c) по дают теоремы 15.3 и 15.4 (в которых нужно заменить слова “не убывает” и “не возрастает” на “возрастает” и “убыва- ет”). Поэтому, если в условиях теоремы 15.11 дополнительно известно, что правая часть системы удовлетворяет условиям теоремы 15.3 или 15.4 (с указанными вы- ше замечаниями), то краевая задача (15.52)-(15.53) имеет точно 2|k − l| ненулевых решений. Упражнение 15.15. В условиях теоремы 15.11 найти наименьшее число корней уравнения x(t, c) sin β − y(t, c) cos β = 0 в (a, b) при c = c + j и c = c − j (y = m + 1, . . . , m + |k − l|). Когда эта оценка будет точной? Упражнение 15.16. Дать в зависимости от δ оценку числа решений уравнения Дуффинга d 2 x dt 2 + δ sin x = 0, удовлетворяющих краевому условию x(0) = x(1) = 0. Упражнение 15.17. Покажите, что уравнение d 2 x dt 2 + g(x) = 0 имеет единственное положительное на (0, π) решение, если выполнены следующие усло- вия: g(x) непрерывна и нечетна, 0 < g 0 (0) < 1, g(x) x — возрастающая функция (x > 0) и lim x→+∞ g(x) x = +∞. 15.6. Задачи о собственных значениях. Рассмотрим систему нелинейных уравнений dx dt = f (t, x, y; λ), dy dt = g(t, x, y; λ). , (15.72) правые части которой зависят от вещественного параметра λ. Будем предполагать, что система (15.72) при всех λ имеет нулевое решение, то есть f (t, 0, 0; λ) ≡ g(t, 0, 0; λ) ≡ 0. 167 Ставится задача об отыскании таких значений параметра λ, при которых система (15.72) имеет ненулевое решение, удовлетворяющее краевым условиям x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0 (0 ≤ α < π, 0 < β ≤ π). (15.73) Эти значения λ называются собственными значениями краевой задачи (15.72)- (15.73); совокупность собственных значений образует спектр краевой задачи (15.72)- (15.73). При изучении малых решений задачи (15.72)-(15.73), то есть таких решений z(t) = (x(t), y(t)), для которых kz(t)k < ε достаточно мала, естественно ввести понятие бифуркационного значения параметра λ. Число λ 0 называется бифурка- ционным значением 42 задачи (15.72)-(15.73), если для любого положительного ε можно указать такое число λ ε , и такое ненулевое решение z ε (t) задачи (15.72)- (15.73) при λ = λ ε , что |λ ε − λ 0 | < ε, kz ε (t)k < ε (a ≤ t ≤ b). (15.74) Для линейных задач бифуркационные значения совпадают с собственными зна- чениями. Предположим, что функции f (t, x, y, λ) и g(t, x, y, λ) непрерывно дифференци- руемы по переменным x и y при a ≤ t ≤ b, x 2 + y 2 ≤ ρ 2 0 и рассматриваемых значениях параметра λ. Линейная краевая задача dx dt = f 0 x (t, 0, 0; λ)x + f 0 y (t, 0, 0; λ)y, dy dt = g 0 x (t, 0, 0; λ)x + g 0 y (t, 0, 0; λ)y, , (15.75) x(a) sin α − y(a) cos α = 0, x(b) sin β − y(b) cos β = 0 (15.76) называется линеаризованной в нуле задачей (15.72)-(15.73) Имеет место следующая Теорема 15.12. Каждое бифуркационное значение задачи (15.72)-(15.73) явля- ется собственным значением линейной задачи (15.75)-(15.76). Доказательство. Мы покажем, что число λ 0 , не являющееся собственным зна- чением задачи (15.75)-(15.76), не может быть бифуркационным значением задачи (15.72)-(15.73). Отсюда и будет вытекать утверждение теоремы. Пусть z(t, c; λ) = (x(t, c; λ), y(t, c; λ)) — решение системы (15.72), удовлетворяю- щее начальному условию x(a) = c sin α, y(a) = c sin α. (15.77) 42 По поводу этих понятий см. М.А. Красносельский, Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, 1956. Результаты пункта могут быть полу- чены и как следствие общих теорем о точках бифуркации для операторных уравнений 168 Ясно, что при любом c решение z(t, c; λ) удовлетворяет первому из краевых усло- вий (15.73). Так как для системы (15.72) при x 2 + y 2 ≤ ρ 2 0 справедлива теорема единственности, то решение z(t, c; λ) является при достаточно малых c (по моду- лю) непрерывной функцией всех своих аргументов 43 . Обозначим через φ(t, c; λ) угловую функцию решения z(t, c; λ) (φ(a, c, ; λ) ≡ α при c > 0, φ(a, c; λ) ≡ α + π при c < 0). При любом фиксированном значении λ функция φ(t, c; λ) в силу соотношений (15.58) при ξ = η = 0 и равенств f (t, 0, 0; λ) = 0, g(t, 0, 0; λ) = 0 является решением дифференциального уравнения dφ dt = a 21 (t, c; λ) cos 2 φ+(a 22 (t, c; λ)−a 11 (t, c; λ)) cos φ sin φ−a 12 (t, c; λ) sin 2 φ, (15.78) где a 11 (t, c; λ) = 1 Z 0 f 0 x (t, sx(t, c; λ), sy(t, c; λ)) ds, a 12 (t, c; λ) = 1 Z 0 f 0 y (t, sx(t, c; λ), sy(t, c; λ)) ds, a 21 (t, c; λ) = 1 Z 0 g 0 x (t, sx(t, c; λ), sy(t, c; λ)) ds, a 22 (t, c; λ) = 1 Z 0 g 0 y (t, sx(t, c; λ), sy(t, c; λ)) ds. (15.79) Положим в (15.78) c = 0, λ = λ 0 . Нетрудно видеть, что решение ψ(t) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ψ(a) = α, является угловой функцией некоторого решения системы (15.75). Так как число λ 0 не является соб- ственным значением задачи (15.75)-(15.76), то при некотором целом l справедливо неравенство β + lπ < ψ(b) < β + (l + 1)π. (15.80) Из непрерывности частных производных функций f и g по всем переменным вытекает, что коэффициенты a ij (t, c; λ) также являются непрерывными функция- ми всех своих аргументов. В силу непрерывной зависимости решения от правой части уравнения 44 для любого положительного η можно указать такое число ε > 0, что справедливы неравенства |φ(t, c; λ) − ψ(t)| < η 0 < c < ε, |φ(t, c; λ) − ψ(t) − π| < η 0 > c > −ε, (a ≤ t ≤ b, |λ − λ 0 | < ε). (15.81) 43 См. сноску на стр. 156. 44 См. сноску на стр. 156. 169 Если η достаточно мало, то из последних неравенств в силу (15.80) мы заклю- чаем, что задача (15.72)-(15.73) не имеет решений малой нормы при |λ − λ 0 | < ε. Следовательно, λ 0 не является бифуркационным значением. Теорема доказана. Утверждение, обратное теореме 15.12, вообще говоря, неверно. Рассмотрим сле- дующий пример. Нелинейная краевая задача dx dt = −e −λ 2 (1 |