Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
Q меньше 1 4 . Так как в точках этих дуг при малых ρ и 1 η векторы полей Φ m и Ψ σ направлены почти одинаково, то сумма вращений поля Φ m на дугах _ P P 0 и _ Q 0 Q меньше одной трети, то есть |γ σ (Φ m , ε, ρ) − γ ∗ σ (Φ m , η, ρ)| < 1 3 . Поэтому lim ρ→0 γ σ (Φ m , ε, ρ) и lim ρ→0 γ ∗ σ (Φ m , η, ρ) при малых ε и 1 η отличаются меньше чем на половину, откуда и вытекает равенство (17.32). 193 17.5. Исследование основного случая. В этом и следующем пунктах иссле- дуется векторное поле Φ m на множестве R σ (η). Компоненты поля Ψ σ обращаются в нуль по оси y = 0. Назовем поле Ψ σ невы- рожденным в верхней полуплоскости, если оно при y > 0 не имеет особых точек. Оказывается, если поле Ψ σ невырождено, то луч L σ неособый для некоторого по- ля (17.3) и его характеристика γ σ определяется этим полем. Этот случай мы и рассмотрим в настоящем пункте. Рис. 17.4 Первая компонента поля Ψ σ обращается в нуль на криволинейных лучах x = ky r 0 , где k — корень алгебраического уравнения ψ 1 s (k, 1) = 0. Аналогично вторая компонента поля Ψ σ обращается в нуль на криволинейных лучах x = ky r 0 , где k — корень алгебраического уравнения ψ 2 s (k, 1) = 0. Поэтому для того, чтобы поле Ψ σ , было невырожденным в верхней полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы уравнения ψ 1 s (k, 1) = 0, ψ 2 s (k, 1) = 0 (17.33) не имели общих вещественных корней. Пусть поле Ψ σ невырождено в верхней полуплоскости. Отрезок прямой y = 1, лежащий в R σ (η) (см. рис. 17.4), можно покрыть двумя замкнутыми множествами F 1 и F 2 так, что min (x,y)∈F 1 |φ 1 σ (x, y)| > 0, min (x,y)∈F 2 |φ 2 σ (x, y)| > 0. (17.34) Обозначим через F ∗ 1 множество точек, составленное из криволинейных лучей x = ky r 0 , проходящих через F 1 ; аналогично определим множество F ∗ 2 . Множества F ∗ 1 и F ∗ 2 покрывают R σ (η). Из (17.34) вытекают оценки |ψ τ σ (x, y)| ≥ αy m 0 +µ(r 0 −1) ((x, y) ∈ F ∗ τ ; τ = 1, 2; α > 0). (17.35) Из оценок (17.31) и (17.35) при малых x 2 +y 2 и (x, y) ∈ R σ (η) вытекает неравенство (17.15), если только m ≥ m 0 + µ(r 0 − 1). Следовательно, луч вырождения L σ неособый для поля Φ m Переходим к вычислению характеристики γ σ . При малых положительных ρ векторы полей Φ m и Ψ σ на части окружности S ρ (x 2 + y 2 = ρ 2 ), лежащей в 194 R σ (η) (η ≥ η 0 ), в силу (17.31) и (17.35) направлены не в противоположные сторо- ны. В точках же P 0 и Q 0 (см. рис. 17.3) при ρ → 0 векторы этих полей стремятся совпасть по направлению. Отсюда вытекает, что lim ρ→0 γ ∗ σ (Φ m , η, ρ) = lim ρ→0 γ ∗ σ (Ψ σ , η, ρ) и, следовательно, γ σ = lim η→∞ lim ρ→0 γ ∗ σ (Ψ σ , η, ρ). (17.36) Пусть d σ (x, y) — общий наибольший делитель многочленов ψ 1 σ (x, y) и ψ 2 σ (x, y). Тогда Ψ σ (x, y) = e Ψ σ (x, y)d σ (x, y), (17.37) где поле e Ψ σ (x, y) обладает свойством обобщенной однородности и не имеет особых точек, отличных от нулевой при y ≥ 0. Обозначим через γ σ,0 вращение поля e Ψ σ на полуокружности S + 1 (x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0). Так как γ ∗ σ (Ψ σ , η, ρ) = γ ∗ σ (e Ψ σ , η, ρ), то γ σ = lim η→∞ γ ∗ σ (Ψ σ , η, 1) = γ σ,0 . (17.38) Нами доказана Теорема 17.3. Пусть поле Ψ σ невырождено в верхней полуплоскости. Тогда луч вырождения L σ неособый для поля Φ m при m ≥ m 0 + µ(r 0 − 1) и его характеристика γ σ определяется формулой γ σ = γ σ,0 . (17.39) Остановимся на одном способе вычисления вращения γ σ,0 поля e Ψ σ . Рассмотрим, например, случай a m 0 −µ µ 6= 0. Пусть U 0 (k), U 1 (k), . . . , U l(σ) (k) (17.40) — обобщенный ряд Штурма многочленов U 0 (k) = ψ σ (k, 1) и U 1 (k) = ψ 2 σ (k, 1); пусть s(k 0 ) — число перемен знака в ряде (17.40) при k = k 0 . Тогда (см. п. 8.7) γ σ,0 = s(−∞) − s(+∞) 2 . (17.41) Аналогично можно рассмотреть случай, когда b m 0 −µ µ 6= 0. 17.6. Исследование случаев вырождения. Перейдем к случаю, когда по- ле Ψ σ вырождено в верхней полуплоскости, то есть многочлены ψ 1 σ (k, 1), ψ 2 σ (k, 1) имеют один или несколько общих вещественных корней. Пусть r 0 = p q , где p и q — целые взаимно простые числа; очевидно, p > q. Произведём замену переменных: x = |u| p sign u, y = |v| q sign v. (17.42) 195 Рассмотрим на множестве e R σ (η), выделенном неравенством |u| ≤ η 1 p v (17.43) и соответствующем множеству R σ (η), векторное поле e Φ(u, v) = Φ(|u| p sign u, |v| q sign v). (17.44) Компоненты e φ 1 (u, v), e φ 1 2 (u, v) этого поля будут иметь вид e φ 1 (u, v) = e a 1 (u, v) + . . . + e a M q (u, v) + e ω 1 (u, v), e φ 2 (u, v) = eb 1 (u, v) + . . . + eb M q (u, v) + e ω 2 (u, v). , (17.45) где через e a i (u, v), eb i (u, v) обозначены положительно однородные функции порядка i: e a i (λu, λv) ≡ λ i e a i (u, v), eb i (λu, λv) ≡ λ i eb i (u, v) (λ ≥ 0), а функции e ω 1 (u, v), e ω 2 (u, v) являются бесконечно малыми более высокого, чем (u 2 + v 2 ) M q 2 , порядка. Обозначим через e Φ i векторное поле e Φ i (u, v) = (e φ 1 i (u, v), e φ 2 i (u, v)), (17.46) где e φ 1 i (u, v) = e a 1 (u, v) + . . . + e a i (u, v), e φ 2 i (u, v) = eb 1 (u, v) + . . . + eb i (u, v). Из (17.42) вытекает, что при (x, y) ∈ R σ (η) и малых x 2 + y 2 справедливы нера- венства c 1 (u 2 + v 2 ) q ≤ x 2 + y 2 ≤ (u 2 + v 2 ) q (c 1 > 0). (17.47) Поэтому луч вырождения L σ будет неособым для поля Φ m в том и только том случае, если для любого η ≥ η 0 существуют числа ρ > 0 и α > 0 такие, что при u 2 + v 2 ≤ ρ 2 , (u, v) ∈ e R σ (η) выполняется неравенство ke Φ mq (u, v)k ≥ α(u 2 + v 2 ) mq 2 . (17.48) Неравенство (17.48) для поля e Φ mq аналогично неравенству (17.15) для поля Φ m Пусть луч L σ неособый для поля Φ m . При малых положительных u 2 +v 2 векторы поля e Φ mq в e R σ (η) отличны от нуля и, значит, определено вращение e γ σ (e Φ mq , η, ρ) этого поля на дугах окружностей S ρ (u 2 + v 2 = ρ 2 ), лежащих в e R σ (η). Из (17.42) вытекает, что lim ρ→0 e γ σ (e Φ mq , η, ρ) = lim ρ→0 γ ∗ σ (Φ m , η, ρ). (17.49) Действительно, вращение e γ σ (e Φ mq , η, ρ) (см. рис. 17.5) равно вращению поля Φ m на дуге кривой |x| 2 p + |y| 2 q = ρ 2 , лежащей в R σ (η). Через точки P 00 и Q 00 проведем 196 окружность S ρ 1 (x 2 + y 2 = ρ 2 1 ). Тогда e γ σ (e Φ mq , η, ρ) = γ ∗ σ (Φ m , η, ρ 1 ). Но из ρ → 0 следует, что ρ 1 → 0, откуда и вытекает равенство (17.49). Рис. 17.5 Из (17.49) следует, что имеет место формула γ σ = lim η→∞ lim ρ→0 e γ σ (e Φ mq , η, ρ). (17.50) В случае, если p или q четно, компоненты поля (17.44) не допускают пред- ставления вида (17.2): функции e a i (u, v), eb i (u, v) будут однородными “многочлена- ми” степени r, коэффициенты которых будут содержать sign u (если p четно) или sign v (если q четно). Однако нетрудно видеть, что все проведенные выше в этом параграфе рассуждения сохраняют силу. Из соотношений (17.31), записанных в координатах (u, v), вытекает, что e a 1 (u, v) ≡ . . . ≡ e a m 0 q+µ(p−q)−1 (u, v) ≡ 0, e a m 0 q+µ(p−q) (u, v) ≡ ψ 1 σ (|u| p sign u, |v| q sign v) (17.51) и eb 1 (u, v) ≡ . . . ≡ eb m 0 q+µ(p−q)−1 (u, v) ≡ 0, eb m 0 q+µ(p−q) (u, v) ≡ ψ 2 σ (|u| p sign u, |v| q sign v) (17.52) Рассмотрим векторное поле e Ψ σ (u, v) = e Φ m 0 q+µ(p−q) (u, v) = (e a m 0 q+µ(p−q) (u, v),eb m 0 q+µ(p−q) (u, v)). (17.53) Вырожденность в верхней полуплоскости поля Ψ σ означает, что компоненты поля e Ψ σ обращаются в нуль на нескольких лучах L σ,1 (u = k 1 v (v ≥ 0)), . . . , L σ,s(σ) (u = k s(σ) v (v ≥ 0)), (17.54) где k 1 , . . . , k s(σ) — общие вещественные корни уравнений e a m 0 q+µ(p−q) (k, 1) = 0, eb m 0 q+µ(p−q) (k, 1) = 0 (17.55) 197 (число этих корней равно числу криволинейных лучей, на которых поле Ψ σ обра- щается в нуль). Лучи (17.54) будем называть лучами вырождения поля e Ψ σ Луч вырождения L σ,κ называется неособым для поля e Φ i , если при малых u 2 +v 2 и (u, v) для достаточно малого угла с вершиной в нулевой точке, биссектрисой которого является луч L σ,κ выполняется неравенство (17.48). Если луч L σ,κ неосо- бый для поля e Φ i , то его характеристика γ σ,κ определяется формулой, аналогичной (17.16). Справедлива Теорема 17.4. Для того чтобы луч вырождения L σ был неособым для поля Φ m , необходимо и достаточно, чтобы все лучи вырождения (17.54) были неосо- быми для поля e Φ mq . Характеристика γ σ неособого луча вырождения определяется формулой γ σ = γ σ,0 + γ σ,1 + . . . + γ σ,s(σ) . (17.56) К лучам вырождения (17.54) можно снова применить описанную выше схему и т.д. Допустим, что поле Φ m невырождено. Тогда после конечного числа переходов от полей Φ к полям e Φ теоремы 17.4 и 17.3 позволяют установить, что каждый луч вырождения L σ неособый для поля Φ m , и вычислить его характеристику γ σ Этот факт поясним следующими соображениями. Если бы оказалось, что при помощи алгоритма нельзя выяснить, будет ли некоторый луч вырождения L σ неособым, то тем самым была бы построена бесконечная последовательность L (n) (n = 1, 2, . . .) лучей вырождения последовательно конструируемых полей. Уравнение луча L (n) в координатах (x, y) будет иметь вид x = X j c (n) j y α j (α j < α j+1 ), (17.57) причем в этих выражениях при увеличении n увеличивается число совпадающих первых членов. Тем самым выражения (17.57) определяют некоторый ряд по дроб- ным степеням y. Оказывается, этот ряд совпадает с одним из рядов, получаемых при помощи диаграммы Ньютона, применяемой к многочленам φ 1 m (x, y), φ 2 m (x, y). По известной теореме 50 этот ряд будет сходящимся и определит общее решение уравнений φ 1 m (x, y) = 0, φ 2 m (x, y) = 0, что противоречит невырожденности поля Φ m 17.7. Пример. Приведем краткую схему алгоритма. 1) По заданному полю Φ определяется поле Ψ 0 Если поле Ψ 0 невырождено, то нулевая особая точка поля Φ изолирована и ее индекс γ равен вращению поля Ψ 0 на единичной окружности. Для вычисления этого вращения нужно пользоваться методами, изложенными в § 8. 2) Если поле Ψ 0 вырождено, то конструируем невырожденное поле e Ψ 0 и ищем лучи вырождения L σ (см. п. 17.2). 50 См., например, Н.Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, § 38, ГТТИ, 1948: СМБ, Математический анализ (дифференцирование и интегрирование), Физматгиз, 1961. 198 |