Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
+ 3 = 0? 85 10.6. Существование неявной функции. Рассмотрим систему уравнений f (x, y, z 1 , . . . , z n ) = 0, g(x, y, z 1 , . . . , z n ) = 0. (10.26) Предположим, что f (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) = g(x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) = 0, (10.27) и поставим вопрос о существовании неявных функций x = φ(z 1 , . . . , z n ), y = ψ(z 1 , . . . , z n ), (10.28) определяемых уравнениями (10.26) при близких к z 0 1 , . . . , z 0 n значениях z 1 , . . . , z n и удовлетворяющих условию φ(z 0 1 , . . . , z 0 n ) = x 0 , ψ(z 0 1 , . . . , z 0 n ) = y 0 . (10.29) Напомним, что функции (10.28) называются неявными функциями, определяемы- ми уравнениями (10.26), если f (φ(z 1 , . . . , z n ), ψ(z 1 , . . . , z n ), z 1 , . . . , z n ) ≡ 0, g(φ(z 1 , . . . , z n ), ψ(z 1 , . . . , z n ), z 1 , . . . , z n ) ≡ 0. (10.30) Относительно функций f (x, y, z 1 , . . . , z n ) и g(x, y, z 1 , . . . , z n ) всюду ниже предпо- лагается, что они непрерывны по совокупности всех n + 2 переменных в окрест- ности точки (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ). Допустим вначале, что функции f (x, y, z 1 , . . . , z n ) и g(x, y, z 1 , . . . , z n ) дифферен- цируемы в одной точке (x 0 , y 0 ), причем якобиан ∆(x 0 , y 0 ) = ¯ ¯ ¯ ¯ f 0 x (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) f 0 y (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) g 0 x (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) g 0 y (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) ¯ ¯ ¯ ¯ (10.31) отличен от нуля. Рассмотрим тогда векторное поле Φ 0 (x, y) = (f (x, y, z 0 1 , . . . , z 0 n ), g(x, y, z 0 1 , . . . , z 0 n )). (10.32) Точка (x 0 , y 0 ) будет изолированной особой точкой этого поля, индекс которой (см. § 6) γ 0 определяется равенством γ 0 = sign ∆(x 0 , y 0 ) (10.33) и, следовательно, отличен от нуля. Обозначим через S окружность с центром в точке (x 0 , y 0 ), на которой поле (10.32) не имеет нулевых векторов и внутри ко- торой нет отличных от (x 0 , y 0 ) особых точек поля. Из непрерывности функций f (x, y, z 1 , . . . , z n ) и g(x, y, z 1 , . . . , z n ) вытекает существование такого положитель- ного δ 0 , что при фиксированных z 1 , . . . , z n , удовлетворяющих неравенствам |z 1 − z 0 1 | < δ 0 , . . . , |z n − z 0 n | < δ 0 , (10.34) 86 векторное поле Φ [z 1 ,...,z n ] (x, y) = (f (x, y, z 1 , . . . , z n ), g(x, y, z 1 , . . . , z n )) (10.35) на S гомотопно полю (10.32). Но тогда вращение поля (10.35) на S равно γ 0 и от- лично от нуля. В силу теоремы об алгебраическом числе особых точек поле (10.35) имеет внутри окружности S по крайней мере одну особую точку, координаты кото- рой и являются неявными функциями (10.28). Итак, мы доказали существование неявной функции в области, выделенной неравенствами (10.34). Определенная выше неявная функция могла оказаться неоднозначной, так как поле (10.35) может внутри окружности S иметь несколько особых точек и коор- динаты каждой из этих особых точек могут быть объявлены значениями неявной функции. Неявная функция была бы однозначной в области (10.34), если бы у поля (10.35) внутри S была единственная особая точка. Предположим дополнительно, что в некоторой окрестности точки (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) существуют непрерывные частные производные f 0 x (x, y, z 1 , . . . , z n ), f 0 y (x, y, z 1 , . . . , z n ) g 0 x (x, y, z 1 , . . . , z n ), g 0 y (x, y, z 1 , . . . , z n ) . (10.36) Тогда в некоторой окрестности U этой точки якобиан ∆ (z 1 ,...,z n ) (x, y) = ¯ ¯ ¯ ¯ f 0 x (x, y, z 1 , . . . , z n ) f 0 y (x, y, z 1 , . . . , z n ) g 0 x (x, y, z 1 , . . . , z n ) g 0 y (x, y, z 1 , . . . , z n ) ¯ ¯ ¯ ¯ (10.37) отличен от нуля и принимает значения того же знака, что и определитель (10.31). Без ограничения общности можно считать, что окрестность U состоит из точек, координаты x и y которых определяют точку плоскости, лежащую внутри окруж- ности S, а остальные координаты которых удовлетворяют неравенствам (10.34). Отличие от нуля определителя (10.37) означает (см. § 6), что особые точки полей (10.35), лежащие внутри S, изолированы. Их индекс равен знаку определителя (10.37). Таким образом, все особые точки поля (10.35) имеют одинаковый индекс, совпадающий с вращением поля на граничной окружности. Значит, особая точка единственна. Мы показали, что существование и непрерывность производных (10.36) в до- полнении к предположению об отличии от нуля определителя (10.31) являются до- статочными условиями существования в окрестности точки (z 0 1 , . . . , z 0 n ) однознач- ной неявной функции. Именно при этих условиях теорема существования неявной функции обычно доказывается в курсах математического анализа. Упражнение 10.6. 1) Докажите, что из отличия от нуля определителя (10.31) вытекает, что неявные функции непрерывны в точке (z 0 1 , . . . , z 0 n ). 2) Пусть известно, что в окрестности точки (z 0 1 , . . . , z 0 n ) неявные функции определя- ются однозначно. Докажите, что непрерывность неявных функций вытекает из непре- рывности функций f (x, y, z 1 , . . . , z n ) и g(x, y, z 1 , . . . , z n ). В случае, когда определитель (10.31) равен нулю, вопрос о существовании неяв- ной функции становится существенно более сложным. Мы отметим здесь лишь одно очевидное утверждение. 87 Допустим, что особая точка (x 0 , y 0 ) поля (10.32) изолирована и индекс ее отли- чен от нуля. Тогда из проведенных выше рассуждений вытекает существование неявной функции. Пусть, например, f 0 x (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) = f 0 y (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) = = g 0 x (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) = g 0 y (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ) = 0. (10.38) Тогда неравенство ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f 00 xx ¯ f 00 xy ¯g 00 xx ¯g 00 xy ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f 00 xy ¯ f 00 yy ¯g 00 xy ¯g 00 yy ¯ ¯ ¯ ¯ > ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f 00 xx ¯ f 00 yy ¯g 00 xx ¯g 00 yy ¯ ¯ ¯ ¯ 2 , (10.39) где черта сверху означает, что значение второй производной взято в точке (x 0 , y 0 , z 0 1 , . . . , z 0 n ), является достаточным условием существования неявной функ- ции. Действительно, из условия (10.39) вытекает, что индекс особой точки (x 0 , y 0 ) билинейного поля Φ(x, y) = ( ¯ f 00 xx (x − x 0 ) 2 + 2 ¯ f 00 xy (x − x 0 )(y − y 0 ) + ¯ f 00 yy (y − y 0 ) 2 , ¯g 00 xx (x − x 0 ) 2 + 2¯g 00 xy (x − x 0 )(y − y 0 ) + ¯g 00 yy (y − y 0 ) 2 ) (10.40) отличен от нуля (см. теорему 8.4). Но тогда (в силу теоремы 8.1) индекс особой точки (x 0 , y 0 ) поля (10.32) отличен от нуля, откуда и вытекает наше утверждение. Упражнение 10.7. Пусть функции f (x, y, z 1 , . . . , z n ) и g(x, y, z 1 , . . . , z n ) трижды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x 0 , y 0 , z 0 1 . . . . , z 0 n ), в которой выпол- нены равенства (10.27). Пусть выполнены равенства (10.38) и равенства ¯ f 00 xx = ¯ f 00 xy = ¯ f yy = ¯ g xx = ¯ g 00 xy = ¯ g yy = 0. Найти, при каких соотношениях между третьими производными (в точке (x 0 , y 0 , z 0 1 . . . . , z 0 n )) существует неявная функция, определяемая уравнениями (10.26). 10.7. О расположении корней многочлена. Рассмотрим многочлен f (z) = a 0 + a 1 z + . . . + a n z n . (10.41) Нас будет интересовать известная и важная во многих приложениях задача 16 об определении количества σ корней многочлена (10.41), имеющих отрицательную вещественную часть. При этом каждый корень будем считать столько раз, какова его кратность. Обозначим через Ψ(x, y) векторное поле, определенное многочленом (10.41): Ψ(x, y) = (Re f (x + iy), lm, f (x + iy)). (10.42) 16 См. Н.Г. Чеботарев и Н.Н. Мейман, Проблема Рауса – Гурвица для многочленов и це- лых функций, Труды Матем. ин-та АН СССР 26, 1949. По существу, методом, основанным на использовании вращения, изучал расположение корней многочленов еще Коши (см., например, Д.А. Граве, Элементы высшей алгебры, Киев, 1911). 88 Допустим, что уравнение f (z) = 0 не имеет корней на мнимой оси. Тогда инте- ресующая нас сумма σ кратностей корней, лежащих в левой полуплоскости, будет равна (в силу теорем 3.2 и 9.2) вращению γ поля (10.42) на границе Γ полукруга (см. рис. 10.4), выделенного неравенствами x 2 + y 2 ≤ R 2 , x ≤ 0, если только радиус R выбран достаточно большим. Граница Γ состоит из двух частей: полуокружности Γ 1 и отрезка Γ 2 оси ординат (см. рис. 10.4). Рис. 10.4 При больших R векторы поля (10.42) на полуокружности Γ 1 близки по направ- лению к векторам поля Ψ 1 (x, y) = (Re a k z k , Im a k z k ). (10.43) Вращение на Γ 1 поля (10.43) равно 1 2 k. Поэтому вращение γ 1 поля (10.42) на Γ 1 определится равенством γ 1 = k 2 + δ 1 (R), (10.44) где lim R→∞ δ 1 (R) = 0. Рассмотрим теперь поле (10.42) на отрезке Γ 2 . Компоненты этого поля Ψ(0, y) = (Re f (iy), Im f (iy)) (10.45) являются многочленами с вещественными коэффициентами. Положим T 0 (y) = Re f (iy), T 1 (y) = Im f (iy). (10.46) 89 Без ограничения общности можно считать, что степень m многочлена T 0 (y) не ниже степени n многочлена T 1 (y) (в противном случае мы перешли бы от рас- смотрения многочлена f (z) к рассмотрению if (z) с теми же корнями). Построим по многочленам (10.46) обобщенный ряд Штурма (см. § 8, формулы (8.35) и (8.36)) T 0 (y), T 1 (y), . . . , T l (y). (10.47) При доказательстве теоремы (8.5) было установлено, что вращение γ 0 поля Φ(x, y) = ³ x m T 0 ³ y x ´ , x n T 1 ³ y x ´´ (10.48) на полуокружности x 2 + y 2 = 1, x > 0 определяется формулой γ 0 = 1 2 (s(+∞) − s(−∞)), где s(−∞) — количество перемен знака в ряде чисел (10.47) при отрицательных и больших по абсолютной величине y, a s(−∞) — количество перемен знака в ряде (10.47) при больших положительных . Но вращение поля (10.48) на полу- окружности совпадает с вращением поля (10.45) на мнимой оси, так как вектор поля (10.48) в точке (x, y) полуокружности не направлен противоположно вектору поля (10.45) в точке ³ 0, y x ´ мнимой оси, причем векторы поля (10.45) при неогра- ниченном возрастании y (к +∞ и −∞) сходятся по направлению к векторам поля (10.48) в точках (0, 1) и (0, −1). Поэтому вращение γ 2 поля (10.45) или, что то же, поля (10.42) на отрезке Γ 2 оси ординат определится равенством γ 2 = s(∞) − s(−∞) 2 + δ 2 (R), (10.49) где lim R→∞ δ 2 (R) = 0. Из равенств (10.44) и (10.49) и из равенства σ = γ 1 + γ 2 вытекает, что σ = k + s(∞) − s(−∞) 2 . (10.50) Упражнение 10.8. Допустим, что многочлен (10.41) имеет на мнимой оси корни, сумма кратностей которых равна κ. Докажите, что в этом случае σ = k − κ + s(∞) − s(−∞) 2 . Упражнение 10.9. Определить сумму кратностей корней, лежащих в левой полу- плоскости, для следующих многочленов: 90 1) z 3 + iz 2 − 2iz + 4 + 2i, 2) z 4 + 7z 3 + 18z 2 + 22z + 10. 10.8. Четность степени эллиптических многочленов. Рассмотрим одно- родный многочлен степени m: P (z 1 , z 2 , . . . , z n ) = k X i=1 a i z α (i) 1 1 z α (i) 2 2 . . . z α (i) n n (10.51) с n переменными z 1 , z 2 , . . . , z n и с комплексными коэффициентами; однородность, как обычно, означает, что α (i) 1 + α (i) 2 + . . . + α (i) n = m (i = 1, 2, . . . , k). Пусть многочлен (10.51) обладает тем свойством, что из равенства P (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 и из вещественности x 1 , x 2 , . . . , x n вытекают равенства x 1 = x 2 = . . . = x n = 0. Примерами могут служить многочлены z 1 + iz 2 , z 2 1 + z 2 2 + . . . + z 2 n . Покажем, что m четно, если n > 2. Это утверждение используется в теории эллиптических дифференциальных операторов. Доказательство проведем от противного. Допустим, что m нечетно. Рассмотрим тогда в плоскости (x 1 , x 2 ) векторное поле Φ(x 1 , x 2 ) = (Re P (x 1 , x 2 , 0, . . . , 0), Im P (x 1 , x 2 , 0, . . . , 0)). Из сделанных предположений вытекает, что оно имеет лишь одну нулевую особую точку. Индекс этой особой точки отличен от нуля, так как поле нечетно и его вращение на любой окружности x 2 1 + x 2 2 = ρ 2 в силу теоремы 2.2 нечетно. Из теоремы 4.10 вытекает, что при малом ненулевом вещественном x 0 3 векторное поле Φ 1 (x 1 , x 2 ) = (Re P (x 1 , x 2 , x 0 3 , 0, . . . , 0), Im P (x 1 , x 2 , x 0 3 , 0, . . . , 0)) имеет особую точку x 0 1 , x 0 2 ). Это значит, что P (x 0 1 , x 0 2 , x 0 3 , 0, . . . , 0) = 0, и мы пришли к противоречию. 91 § 11. Векторные поля градиентов функции 11.1. Потенциальные системы уравнений. Система уравнений P (x, y) = 0, Q(x, y) = 0 (11.1) называется потенциальной, если существует такая функция U(x, y), что P (x, y) = ∂ ∂x U(x, y), Q(x, y) = ∂ ∂y U(x, y). (11.2) Функцию U(x, y) называют потенциалом системы (11.1). В дальнейшем предполагается, что функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны по совокупности переменных не только в рассматриваемых замкнутых областях Ω, но и в некоторой окрестности Ω. Если бы мы предполагали дополнительно, что функции P (x, y) и Q(x, y) непре- рывно дифференцируемы, то условие потенциальности системы в односвязной об- ласти записалось бы, как известно, равенством ∂ ∂y P (x, y) ≡ ∂ ∂x Q(x, y). Потенциал U(x, y) в односвязной области Ω может быть восстановлен (с точно- стью до произвольной постоянной) при помощи формулы U(x, y) = (x,y) Z (x 0 ,y 0 ) P (x, y) dx + Q(x, y) dy, где криволинейный интеграл берется по произвольной кривой, соединяющей фик- сированную точку (x 0 , y 0 ) с переменной точкой (x, y) (см. рис. 11.1). Рис. 11.1 Решения системы (11.1) называют критическими точками потенциала U(x, y). Иначе говоря, критические точки потенциала — это особые точки векторного поля grad U(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). (11.3) В настоящем параграфе мы показываем, как по общим характеристикам значений функции U(x, y) на границе области может быть оценено вращение поля (11.3). 92 Следовательно, по общим характеристикам поведения функции U(x, y) на грани- це области Ω может быть сделано заключение о существовании в области Ω по крайней мере одной критической точки функции U(x, y). Для функций одной переменной подобная теорема хорошо известна — это тео- рема Ролля о существовании нуля у производной функции, которая на концах некоторого отрезка принимает одинаковые значения. При переходе к двумерным областям теорема Ролля может быть обобщена нетривиальным способом. Вектор поля (11.3) называется градиентом функции U(x, y). В связи с этим поле (11.3) мы будем ниже называть полем градиентов. Вектор-градиент в каждой точке направлен в сторону быстрейшего возрастания функции. Линии, на которых U(x, y) принимает постоянное значение, называются линия- ми уровня функции U(x, y). Таким образом, линии уровня задаются уравнениями U(x, y) = const. (11.4) Допустим, что точка (x 0 , y 0 ) некритическая для функции U(x, y). Рассмотрим линию уровня U(x, y) − U(x 0 , y 0 ) = 0. (11.5) Из теоремы о неявной функции вытекает, что в окрестности точки (x 0 , y 0 ) линия уровня, проходящая через точку (x 0 , y 0 ), — это кривая, которую можно рассмат- ривать как график некоторой функции y = φ(x) (если Q(x 0 , y 0 ) 6= 0) или функции x = ψ(y) (если P (x 0 , y 0 ) 6= 0). Мы показали, что линия уровня, не содержащая критических точек, — это линия без пересечений и самокасаний. Отсюда, в частности, вытекает, что точка (x 0 , y 0 ) обязательно будет критиче- ской, если через нее проходит несколько дуг линии уровня, пересекающих друг друга под некоторым углом или касающихся друг друга. Второй важный вывод относится к ограниченным линиям уровня (лежащим в области), на которых нет критических точек. Эти линии уровня состоят из за- мкнутых гладких кривых. 11.2. Индекс критической точки. Дифференцируя равенство (11.4), полу- чим P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. (11.6) Так как вектор (dx, dy) определяет направление касательной к линии уровня (11.4), то равенство (11.6) означает, что вектор-градиент направлен по нормали к линии уровня. Допустим, что Γ — замкнутая линия уровня, на которой нет критических точек. Из непрерывности векторного поля градиентов вытекает, что вектор-градиенты во всех точках кривой Γ направлены по одному (внутреннему или внешнему) направ- лению нормали к Γ. Из теоремы 2.3 тогда следует Лемма 11.1. Вращение поля градиентов на кривой Γ равняется 1, если Γ об- ходить в положительном направлении. Из этой простой леммы можно получить ряд важных следствий. 93 В частности, из нее вытекает, что внутри каждой замкнутой линии уровня функции U(x, y) есть по крайней мере одна критическая точка. Это тривиаль- ное обобщение теоремы Ролля можно, впрочем, получить и более простым путем: если на границе Γ области Ω функция U(x, y) принимает постоянное значение, то некоторая внутренняя точка области является точкой абсолютного максимума или минимума U(x, y) на Ω, точки абсолютного максимума или минимума являются критическими точками. Критические точки функции U(x, y) — особые точки поля градиентов. Индекс изолированной особой точки — это, по определению, индекс изолированной крити- ческой точки функции. В связи с этим точку локального экстремума (минимума или максимума) будем называть изолированной, если в некоторой ее окрестности нет других критических точек. Теорема 11.1. Индекс изолированной точки экстремума равен 1. Доказательство. Пусть для определенности точка (x 0 , y 0 ) — изолированная точка максимума функции. Тогда линии уровня, определяемые уравнением U(x, y) = U(x 0 , y 0 ) − ε в окрестности точки (x 0 , y 0 ), при малых положительных ε будут замкнутыми кри- выми Γ, внутри которых лежит точка (x 0 , y 0 ). Индекс этой критической точки равен вращению поля градиентов на кривой Γ. В силу леммы 11.1 индекс равен 1. Теорема доказана. Упражнение 11.1. Вычислить индекс критической точки квадратичной формы U (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 . Теорема 11.2. Пусть граница Γ области Ω состоит из ν замкнутых кривых, каждая из которых является линией уровня функции U(x, y). Пусть ν 6= 2. Тогда функция U(x, y) на Ω имеет по крайней мере одну критическую точку. Доказательство. Допустим, что на Γ функция U(x, y) не имеет критических точек. Рис. 11.2 Пусть граница Γ состоит из кривых Γ 1 , Γ 2 , . . . , Γ ν , первая из которых — внешняя кривая (см. рис. 11.2). Из леммы 11.1 и из формулы (3.1) вытекает, что вращение поля градиентов на границе области Ω равно 2−ν. Поэтому поле градиентов имеет в области Ω по крайней мере одну особую точку. 94 Теорема доказана. При ν = 2 утверждение теоремы неверно, как видно из примера функции U(x, y) = x 2 + y 2 , рассматриваемой в кольце 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2. Ниже будет указан признак существования критических точек для случая, ко- гда граничная кривая не является линией уровня. 11.3. Относительное вращение поля. Пусть векторное поле Φ определено и не имеет особых точек на гладкой замкнутой кривой Γ, заданной уравнением M(t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b). Рис. 11.3 Обозначим через θ 1 (t) угол между вектором Φ в точке M (t) и направлением внутренней нормали к Γ в точке M(t) (см. рис. 11.3). Функция θ 1 (t) по самому своему определению многозначна; мы сохраним обозначение θ 1 (t) за некоторой ее непрерывной ветвью. Приращение θ 1 (t) после обхода кривой Γ, выраженное в единицах полного обо- рота, назовем относительным вращением поля Φ и обозначим через I(Φ; Γ). Из определения следует, что I(Φ; Γ) = 1 2π (θ 1 (b) − θ 1 (a)). (11.7) Имеет место очевидное равенство θ 1 (t) = θ(t) − θ 2 (t) + const, где θ(t) — угловая функция поля Φ, а θ 2 (t) — угловая функция поля внутренних нормалей. Поэтому относительное вращение связано с вращением I(Φ; Γ) поля Φ на Γ равенством I(Φ; Γ) = γ(Φ, Γ) − γ 0 , где γ 0 — вращение поля внутренних нормалей. В силу теоремы 2.4 γ 0 = 1. Поэтому I(Φ; Γ) = γ(Φ, Γ) − 1. (11.8) Упражнение 11.2. Покажите, что равенство (11.8) следует из формулы (4.11) (упражнение 4.7. 1 ). 95 В этом пункте будет описан один способ вычисления относительного вращения, а следовательно, и вращения векторного поля. Через Φ(t) будем, как обычно, обозначать вектор поля Φ в точке M (t) ∈ Γ. Точку M(t) нам будет удобно называть основанием вектора. Вектор Φ(t) назовем нормально входящим, если он направлен по внутренней нормали к Γ. Аналогично определяются нормально выходящие векторы. Основание каждого нормально входящего вектора можно покрыть такой от- крытой дугой (на кривой Γ), что замыкание ее не содержит оснований нормально выходящих векторов. Из совокупности таких дуг можно выделить конечное число непересекающихся дуг L 1 , . . . , L s , покрывающих основания всех нормально входя- щих векторов. Дуги L 1 , . . . , L s образуют входящее покрытие, порождаемое полем Φ. Одно и то же поле может порождать различные входящие покрытия, но все эти покрытия содержат основания всех нормально входящих векторов, а их замыка- ния не содержат ни одного основания нормально выходящего вектора. Входящее покрытие может быть пустым (если нет нормально входящих векторов), оно мо- жет совпадать со всей кривой Γ (если нет нормально выходящих векторов). На рис. 11.4 утолщенной линией изображено одно из входящих покрытий. Рис. 11.4 Точку M, являющуюся концом дуги L i , назовем тангенциально входящей, если проекция вектора Φ(M) на касательную (к Γ в точке M) направлена в сторону дуги L i . Аналогично определяются тангенциально выходящие точки. На рис. 11.4 тангенциально входящие концы дуг L i , обозначены буквой α, а тангенциально выходящие — буквой β. Каждой дуге L i входящего покрытия припишем характеристику τ (L i ), равную 1, если оба ее конца тангенциально входящие (на рис. 11.4 — дуга L 2 ); равную −1, если оба ее конца тангенциально выходящие (на рис. 11.4 — дуга L 3 ); равную нулю, если один конец тангенциально входящий, а другой тангенциально выходящий (на рис. 11.4 — дуга L 1 ); τ (L i ) = 0 и в том случае, если L i = Γ. Характеристику τ входящего покрытия L 1 , . . . , L s определили равенством τ = τ (L 1 ) + . . . + τ (L s ). (11.9) Теорема 11.3 (М. Морс). Характеристика τ входящего покрытия равна от- носительному вращению поля Φ. 96 Доказательство совершенно элементарно, и мы предоставляем его читателю. Заметим лишь, что для доказательства нужно проследить за изменением функ- ции θ 1 (t) (непрерывной ветви угла наклона вектора Φ(t) к вектору внутренней нормали) при переходе точки через дугу входящего покрытия. Из теоремы 11.3 вытекает, что характеристики всех входящих покрытий, по- рожденных одним и тем же полем Φ, одинаковы. Если поле Φ имеет на Γ лишь конечное число нормально входящих векторов, то вместо характеристик дуг входящего покрытия можно говорить о характери- стиках самих нормально входящих векторов. Пусть поле Φ на Γ имеет m 1 нормально входящих векторов с характеристикой 1 и m 2 с характеристикой −1. Тогда из теоремы 11.3 вытекают равенства I(Φ; Γ) = m 1 − m 2 (11.10) и γ(Φ, Γ) = m 1 − m 2 + 1. (11.11) Формула (11.10) — это, по существу, формула (2.7). Рис. 11.5 Понятие относительного вращения естественным образом обобщается на слу- чай, когда поле рассматривается на границе Γ многосвязной области. Пусть эта граница состоит из гладких замкнутых кривых Γ 0 , Γ 1 , . . . , Γ ν−1 (см. рис. 11.5), и пусть относительные вращения поля Φ на кривых Γ 0 , Γ 1 , . . . , Γ ν−1 (ориентирован- ных против хода часовой стрелки) равны I 0 , I 1 , . . . , I ν−1 Тогда относительное вращение I(Φ; Γ) поля Φ на Γ определяется равенством I(Φ; Γ) = I 0 − I 1 − . . . − I ν−1 . (11.12) Из равенства (11.8) вытекает, что для границ Γ областей, ограниченных ν кри- выми, относительное вращение I(Φ; Γ) связано с вращением γ(Φ, Γ) равенством I(Φ; Γ) = γ(Φ, Γ) − (2 − ν). (11.13) 97 Если точка M лежит на одной из внутренних кривых Γ 1 , . . . , Γ ν−1 , то вектор Φ(M) естественно называть нормально входящим, если он направлен внутрь об- ласти Ω по нормали к Γ (на рис. 11.5 вектор Φ(M 1 )). Аналогично определяются нормально выходящие векторы (на рис. 11.5 вектор Φ(M 2 )). Легко видеть, что при таких определениях формула (11.10) при переходе к многосвязным областям остается без изменений: I(Φ; Γ) = m 1 − m 2 . (11.14) 11.4. Точки локального экстремума на границе области. Вернемся к изучению поля (11.3) градиентов функции U(x, y). Это поле будем рассматривать на гладкой замкнутой кривой Γ, заданной уравнением M(t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b). (11.15) Функция U(x, y) на кривой Γ может рассматриваться как функция u(t) пара- метра t: u(t) = U(x(t), y(t)), (11.16) причем для удобства мы будем считать функцию u(t) продолженной периодически на все значения t. Производная u 0 (t) = ∂U ∂x x 0 (t) + ∂U ∂y y 0 (t) = P (x, y) dx dt + Q(x, y) dy dt (11.17) — это скалярное произведение вектор-градиента на вектор (x 0 (t), y 0 (t)), направлен- ный по касательной к Γ. Поэтому вектор Φ(t) может быть направлен по нормали к Γ лишь в тех точках, в которых u 0 (t) = 0. Уже из этого замечания ясно, что теорема 11.3 может быть применена в некоторых случаях к вычислению враще- ния поля градиентов. Отметим также, что вектор Φ(t) обязательно направлен по нормали к Γ в тех точках M(t), в которых u 0 (t) = 0, если функции x(t) и y(t) в (11.16) обладают тем свойством, что |x 0 (t)| + |y 0 (t)| > 0 (a ≤ t ≤ b). (11.18) Ниже через α и β обозначаются соответственно абсолютный минимум и абсо- лютный максимум функции u(t) (то есть функции U(x, y) на Γ). Теорема 11.4. Пусть функция U(x, y) имеет на Γ ровно 2m точек экстре- мума, причем во всех m точках локального минимума ее значение равно α, а во всех m точках локального максимума значение функции равно β. Пусть m 6= 1. (11.19) Тогда функция U(x, y) в области Ω, ограниченной кривой Γ, имеет по крайней мере одну критическую точку. 98 Доказательство. Если функция U(x, y) в некоторой точке области Ω прини- мает значение не из интервала (α, β), то в области Ω находится точка абсолютного максимума или абсолютного минимума функции U(x, y), рассматриваемой на Ω. Тогда точка абсолютного экстремума будет критической точкой функции. Поэто- му остается рассмотреть тот случай, когда выполнены неравенства α < U (x, y) < β ((x, y) ∈ Ω). (11.20) Мы покажем, что в этом случае вращение поля Φ градиентов на Γ равно −m + 1, откуда и будет вытекать утверждение теоремы. В каждой точке минимума U(x, y) на Γ вектор-градиент направлен по нормали к Γ, и, более точно, он является нормально входящим (в противном случае в Ω нашлись бы точки, в которых U(x, y) принимала бы меньшее чем α значение). Аналогично в каждой точке максимума вектор-градиент является нормально вы- ходящим вектором. Построим входящее покрытие по полю градиентов. Каждая дуга L этого покры- тия, содержащая точку минимума, имеет характеристику −1, так как на дугах, соединяющих соседние точки минимума и максимума, функция u(t) монотонна. По той же причине характеристики дуг входящего покрытия, не содержащих то- чек минимума, равны нулю. Дуга входящего покрытия не может содержать двух точек минимума, так как в противном случае она содержала бы и промежуточ- ную точку максимума, в которой вектор-градиент нормально выходящий. Итак, характеристика входящего покрытия равна −m. В силу теоремы 11.3 относительное вращение поля градиентов на Γ равно −m. Отсюда, в силу формулы (11.8), вращение поля градиентов на Γ равно −m + 1. Теорема доказана. Теорема 11.4 допускает дальнейшие обобщения как для случая односвязной области Ω, ограниченной замкнутой кривой Γ, так и для случая ν-связных обла- стей 17 Упражнение 11.3. Пусть функция U (M ) задана на Γ и имеет на Γ одну точку минимума и одну точку максимума. Показать, что функцию U (M ) можно продолжить на Ω до функции, не имеющей критических точек. Функцию U (M ) на Γ и саму кривую Γ можно считать сколь угодно гладкими. 11.5. Входящие и выходящие точки локального экстремума. Проведем дополнительный анализ точек локального экстремума функции U(M), рассмат- риваемой на гладкой границе Γ области Ω. Изолированную точку M 0 локального минимума назовем точкой входящего ми- нимума, если она является изолированной точкой локального минимума функции U(M), рассматриваемой не только на Γ, но и на всей замкнутой области Ω. Ина- че говоря, в окрестности точки M 0 нет отличных от нее точек M области Ω, в которых U(M) ≤ U(M 0 ). Линии уровня в окрестности точки входящего миниму- ма расположены так, как это показано на рис. 11.6 (возможные изменения этой картины не влияют на дальнейшие рассуждения). 17 См. А.И. Перов, Об одном обобщении теоремы Ролля, Труды семинара по функциональ- ному анализу (Воронежский ун-т), вып. 6, 1958; обобщения на случай многосвязных областей указаны А.И. Поволоцким. 99 Рис. 11.6 Изолированную точку M 0 локального минимума назовем точкой выходящего минимума, если через точку M 0 проходит линия уровня U(M) = U(M 0 ), разби- вающая окрестность точки M 0 в Ω на три части, как это показано на рис. 11.7. Рис. 11.7 Рис. 11.8 Аналогично определяются точки M 0 входящего максимума (рис. 11.8) и выхо- дящего максимума (рис. 11.9). Рис. 11.9 Перечисленными типами точки локального экстремума, конечно, не исчерпы- ваются. Однако в дальнейших построениях можно будет ими ограничиться. Если функция U(M) непрерывно дифференцируема и в точке M 0 локального экстремума grad U(M) отличен от нуля, то точка M 0 относится, как легко ви- деть, к одному из четырех перечисленных типов, причем вектор grad U(M) будет нормально входящим с характеристикой 1 в точках входящего максимума и с ха- рактеристикой −1 в точках входящего минимума. 100 Допустим, что функция U(M) на Γ имеет конечное число точек локального экстремума, принадлежащих лишь четырем указанным выше типам. Через m 1 обозначим количество точек входящего максимума, а через m 2 — точек входя- щего минимума. Разность m 1 − m 2 назовем граничной характеристикой Морса функции U(M) на Γ. Эта характеристика определена не только для дифференци- руемых функций. Если U(M) непрерывно дифференцируема и Γ состоит из глад- ких кривых, то, как это следует из формулы (11.14), граничная характеристика Морса функции U(M) на Γ совпадает с относительным вращением векторного поля градиентов на Γ. 11.6. Устойчивость критических значений. Из теоремы 4.10 вытекает, что критическая точка (x 0 , y 0 ) функции U(x, y) устойчива, если ее индекс отличен от нуля. Устойчивость критической точки при этом означает, что по каждому ρ 0 > 0 можно указать такое ε 0 > 0, что каждая функция U 1 (x, y) имеет по крайней мере одну критическую точку (x 1 , y 1 ) на меньшем, чем ρ 0 , расстоянии от точки (x 0 , y 0 ), если только ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ ∂x U 1 (x, y) − ∂ ∂x U(x, y) ¯ ¯ ¯ ¯ < ε 0 , ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ ∂y U 1 (x, y) − ∂ ∂y U(x, y) ¯ ¯ ¯ ¯ < ε 0 . (11.21) Возникает естественный вопрос о том, устойчивы ли критические точки нену- левого индекса относительно возмущений малыми по абсолютной величине функ- циями, оценки производных которых неизвестны. Оказывается, что нет. Рассмотрим в качестве примера функцию U(x, y) = xy (−∞ < x, y < ∞), (11.22) графиком которой является седло. Эта функция имеет единственную критическую точку — начало координат. Индекс этой особой точки равен −1. Положим h(x, y) = th y(x 2 y 2 sign x − δ 2 ) (δ > 0). (11.23) Эта функция обращается в нуль при y = 0 и на линиях xy = δ (x > 0), xy = −δ (x > 0). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что h(x, y) непрерывно дифференцируема: ее градиент всюду отличен от нуля. Пусть непрерывно дифференцируемая функция σ(t) равна 1 при 0 ≤ t ≤ δ, нулю при t ≥ 2δ и строго убывает при δ < 1 < 2δ. Положим σ(x, y) = σ(|xy|). (11.24) Эта функция непрерывно дифференцируема на всей плоскости. Определим теперь функцию U 1 (x, y) равенством U 1 (x, y) = xy + σ(x, y)(h(x, y) − xy) (−∞ < x, y < ∞). (11.25) 101 Тогда, во-первых, |U 1 (x, y) − U(x, y)| ≤ 5δ 2 + 2δ, и при малых δ эта разность сколь угодно мала. Во-вторых, функция (11.25) не име- ет точек, в которых градиент обращается в нуль. Доказательство предоставляем читателю. § 12. Критические точки гармонических и псевдогармонических функций 12.1. Структура линий уровня гармонической функции. Функция U(x, y) называется гармонической в области Ω, если она дважды непрерывно дифферен- цируема в Ω и удовлетворяет уравнению Лапласа ∂ 2 U ∂x 2 + ∂ 2 U ∂y 2 = 0. (12.1) Функция называется гармонической в точке, если она гармоническая в некото- рой окрестности точки. В каждой односвязной области гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции f (z) комплекс- ной переменной z = x + iy: U(x, y) = Re f (z). (12.2) Пусть z 0 = x 0 + iy 0 — фиксированная точка, и пусть функция f (z) − f (z 0 ) в точке z 0 имеет нуль порядка m. Тогда, как известно, разность f (z) − f (z 0 ) может быть представлена в виде f (z) − f (x 0 ) = (z − z 0 ) m g(z), (12.3) где g(z 0 ) 6= 0. Функция w(z) = (z − z 0 )g 1 m (z), (12.4) где g 1 m (z) — одна из однозначных ветвей корня степени m из g(z), будет аналитич- на в окрестности точки z 0 . Более того, функция w(z) будет давать конформное отображение этой окрестности на окрестность нулевой точки w 0 = 0, так как w 0 (z 0 ) = g 1 m (z 0 ) 6= 0. Из (12.3) и (12.4) вытекает, что f (z) − f (z 0 ) = w m , или, в полярных координатах, f (z) − f (z 0 ) = ρ m (cos mφ + i sin mφ). (12.5) 102 Поэтому линии уровня U(x, y) = U(x 0 , y 0 ) (12.6) при конформном отображении (12.4) переходят в линии ρ m cos mφ = 0, (12.7) то есть в m прямых, проходящих через нулевую точку и делящих центральный угол на равные части. При переходе через каждую такую прямую функция ρ m cos mφ меняет знак, откуда вытекает, что гармоническая функция при переходе через ду- гу линии уровня (12.6) переходит от значений меньших, чем U(x 0 , y 0 ), к большим или, наоборот, от больших к меньшим. Сформулируем полученный результат в ослабленной форме в виде теоремы. Теорема 12.1. Существует такая малая окрестность точки (x 0 , y 0 ) = M 0 (в которой U(x, y) гармонична), которую можно гомеоморфно отобразить на круг K так, что M 0 перейдет в центр круга K, а линия уровня, проходящая через M 0 , перейдет в систему 2m радиусов, делящих круг K на равные секторы. В прообра- зах двух соседних секторов разность U(x, y)−U(x 0 , y 0 ) имеет противоположные знаки. Если m = 1, то проходящая через M 0 линия уровня является одной гладкой дугой (рис. 12.1), при переходе через которую разность U(x, y) − U(x 0 , y 0 ) меняет знак (на рис. 12.1 это отмечено знаком + и −). Рис. 12.1 Рис. 12.2 Если m > 1, то через M 0 проходят m гладких дуг (рис. 12.2). В соответствии с видом графика функции U(x, y) точка M 0 , для которой m > 1, называется седло- вой или просто седлом. Число m − 1 называется кратностью седловой точки. На рис. 12.1 и 12.2 сплошными линиями показаны линии уровня, соответствующие большим, чем U(x 0 , y 0 ), значениям, а пунктирными — линии уровня, соответству- ющие меньшим значениям. Отметим некоторые важные следствия из теоремы 12.1. Так как в окрестности каждой точки (x 0 , y 0 ) есть точки, в которых значения U(x, y) больше U(x 0 , y 0 ), и точки, в которых значения U(x, y) меньше U(x 0 , y 0 ), то никакая точка области не может быть точкой экстремума гармонической функции. Отсюда следует, что отличная от константы функция, гармоническая в области Ω и непрерывная на 103 замкнутой области Ω, свое наибольшее и наименьшее значения принимает только на границе области. Это утверждение называют принципом максимума. Из принципа максимума, в свою очередь, вытекает, что отличная от константы функция не может иметь замкнутых линий уровня, внутри которых она гармони- ческая. 12.2. Индексы особых точек гармонических функций. Рассмотрим поле градиентов гармонической функции U(x, y): grad U(x, y) = (U 0 x (x, y), U 0 y (x, y)). (12.8) Пусть в окрестности точки (x 0 , y 0 ) функция U(x, y) является вещественной ча- стью аналитической функции f (z) = U(x, y) + iV (x, y). (12.9) Из условий аналитичности Коши-Римана ∂U ∂x = ∂V ∂y , ∂U ∂y = − ∂V ∂x вытекает, что ∂U ∂x = Re f 0 (z), ∂U ∂y = −Im f 0 (z), то есть U 0 x (x, y) + iU 0 y (x, y) = f 0 (z). (12.10) Последнее равенство означает, что (x 0 , y 0 ) является особой точкой векторного поля градиентов, если она является нулем функции f 0 (z), то есть она является нулем второго или более высокого порядка функции f (z) − f (z 0 ). Таким обра- зом, критические точки гармонической функции — это седловые точки различной кратности. В остальных точках градиент гармонической функции отличен от ну- ля. Из теоремы 12.1 следует, что каждая критическая точка изолирована. Отсюда вытекает, что гармоническая в области Ω и непрерывно дифференцируемая на Ω функция имеет лишь конечное число критических точек, если нет критических точек на границе области. Преобразование w = z перехода к сопряженной точке есть линейное преобразо- вание плоскости в себя. Определитель этого преобразования равен −1, и поэтому его степень также равна −1. Из теоремы 5.6 поэтому вытекает, что вращения по- лей f (z) и f (z) на любой кривой отличаются друг от друга знаком. Теорема 12.2. Индекс седловой точки гармонической функции (как критиче- ской точки) равен ее кратности m − 1, взятой со знаком минус. Доказательство. Из равенства (12.10) вытекает, что индекс отличается знаком от порядка нуля z 0 функции f 0 (z), который (порядок) в силу (12.3) равен m − 1. Теорема доказана. 104 В дальнейшем мы функцию U(x, y) будем называть гармонической в области Ω, если она в старом определении гармонична лишь в области Ω с некоторыми вы- брошенными (как говорят, выколотыми) точками. Эти выколотые точки — особые точки гармонической функции. Например, гармонические функции U 1 (x, y) = y x 2 + y 2 , U 2 (x, y) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 ln(x 2 + y 2 ), (12.11) как легко проверить, имеют единственную особую точку (0, 0). Функция, гармоническая в окрестности особой точки z 0 , также может быть представлена как вещественная часть функции f (z), аналитической в окрестности точки z 0 , но не обязательно однозначной. Эта теорема ниже не используется в общей форме. Мы ограничимся рассмотрением лишь таких особых точек z 0 , в окрестности которых гармоническая функция U(x, y) является вещественной частью функции f (z) вида f (z) = k ln(z − z 0 ) + A(z) (z − z 0 ) m + B(z), (12.12) где k — некоторое вещественное число, A(z) и B(z) — аналитические в точке z 0 функции, причем A(z 0 ) 6= 0. Нетрудно видеть, что логарифмическое слагаемое в (12.12) не приводит к многозначности вещественной части. Особая точка гармонической функции — это особая точка поля градиентов. Ин- декс особой точки гармонической функции — это, по определению, индекс особой точки поля градиентов. Особую точку (x 0 , y 0 ) гармонической функции U(x, y) назовем полюсом порядка m, если в окрестности точки z 0 = x 0 + iy 0 U(x, y) = Re A(z) (z − z 0 ) m , (12.13) где A(z) аналитична в точке z 0 и A(z 0 ) 6= 0. Теорема 12.3. Полюс порядка m гармонической функции U(x, y) имеет индекс, равный m + 1. Доказательство. Из (12.13) и из равенства (12.10) вытекает, что индекс по- люса порядка m гармонической функции отличается знаком от индекса полюса z = z 0 функции d dz A(z) (z − z 0 ) m . Остается вспомнить (см. § 9), что индекс полюса аналитической функции равен взятому со знаком минус порядку полюса. Теорема доказана. Точку z 0 назовем логарифмическим полюсом нулевого порядка функции U(x, y), если U(x, y) = Re (k ln(z − z 0 ) + A(z)) (12.14) и k 6= 0. В общем случае (12.12) особую точку z 0 назовем логарифмическим полю- сом порядка m. 105 |