Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов

• Название: М. А. Красносельский, А. И. Перов
• Анкор: Векторные поля
• Дата: 29.06.2021
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ.pdf
• Тип: Книга; #222479
• страница: 15 из 28

x
0
, y
0
) не является изолированной особой точкой линеаризованной систе- мы, то исследование точки (x
0
, y
0
) как особой точки нелинейной системы нужно производить, применяя результаты §§ 7 и 8.
Упражнение 13.2.
Вычислить индекс нулевой особой точки следующих систем:
1)
dx
dt
= e
x
− e
y
,
dy
dt
= 2x + y
2
;
2)
dx
dt
= e
x
− e
y
,
dy
dt
= 2y + x
2
;
3)
dx
dt
= sin(x + y),
dy
dt
= cos(x − y) − 1.
В том случае, когда
∆(x
0
, y
0
) =
¯
¯
¯
¯
P
0
x
(x
0
, y
0
) P
0
y
(x
0
, y
0
)
Q
0
x
(x
0
, y
0
) Q
0
y
(x
0
, y
0
)
¯
¯
¯
¯ 6= 0,
(13.27)
особая точка (x
0
, y
0
) нелинейной системы называется простой. Выше было пока- зано, что индекс простых особых точек равен 1 или −1. Если же ∆(x
0
, y
0
) = 0,
то особая точка называется сложной. Из результатов § 7 вытекает, что индекс сложной особой точки может принимать три значения: 1, −1, 0, если функции P
и Q непрерывно дифференцируемы и определитель ∆(x
0
, y
0
) имеет хотя бы один ненулевой элемент. Если же
P
0
x
(x
0
, y
0
) = P
0
y
(x
0
, y
0
) = Q
0
x
(x
0
, y
0
) = Q
0
y
(x
0
, y
0
) = 0,
то индекс определяется только членами высших порядков малости и может быть любым целым числом.
Упражнение 13.3.
1) Внутри замкнутого цикла системы есть три особые точки, все они простые. Дока-
зать, что одна и только одна из них — седло.
2) Внутри замкнутого цикла есть шесть особых точек. Доказать, что среди них есть
сложные особые точки.
Упражнение 13.4.
Доказать, что система, указанная в упражнении
13.2. 2
не
имеет периодических решений.
13.4. Признак неустойчивости состояния равновесия. Исходя из механи- ческих соображений, особую точку системы (13.1) называют также состоянием
равновесия или стационарной точкой.
Состояние равновесия (x
0
, y
0
) называется устойчивым по Ляпунову, если каж- дому ε > 0 соответствует такое δ > 0, что каждая точка из круга
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< δ
(13.28)
при своем движении по траекториям системы (при возрастании t) не выйдет из круга
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< ε.
(13.29)
24
См. по этому поводу Ф. Трикоми, Дифференциальные уравнения, ИЛ, 1962, гл. 2.
121

Устойчивое по Ляпунову состояние равновесия называется абсолютно (или асимп-
тотически) устойчивым, если круг (13.28) может быть выбран так, что его точки при движении по траекториям системы стремятся к (x
0
, y
0
).
В дальнейшем нам будет удобно обозначать через f (M, t) траекторию точки
M (f (M, t) — это точка, в которую перейдет M за время t, так что f (M, 0) ≡
M). Вектор-функция f (M, t) непрерывна по совокупности переменных. Одно из ее основных свойств выражается равенством
f (f (M, t
1
), t
2
) = f (M, t
1
+ t
2
).
(13.30)
Лемма 13.1. Пусть состояние равновесия M
0
= (x
0
, y
0
) является изолиро-
ванной особой точкой, устойчивой по Ляпунову и не обладает свойством абсо-
лютной устойчивости. Тогда в каждой окрестности U точки M
0
есть цикл
системы.
Доказательство. Пусть U
0
— такая окрестность точки M
0
, которая вместе с замыканием лежит в U. Из устойчивости по Ляпунову вытекает, что окрестность
U
0
может быть выбрана одновременно так, что траектории точек M ∈ U
0
опреде- лены при всех t ≥ 0.
Из условий леммы вытекает существование такой точки M
1
∈ U
0
, что f (M
1
, t)
при возрастании t не выходит из U
0
и не стремится к M
0
. При этом, очевидно,
inf
t≥0
ρ(f (M
1
, t), M
0
) = r
0
> 0,
(13.31)
где через ρ(P
1
, P
2
) обозначается расстояние между точками P
1
и P
2
Обозначим через t
n
такую неограниченную последовательность моментов вре- мени, что точки f (M
1
, t
n
) сходятся к некоторой точке N. Из свойства (13.30) и из непрерывности вектор-функции f (M, t) вытекает, что точки f (M
1
, t
n
+ T ) при любом фиксированном T (положительном или отрицательном) будут сходиться к
f (N, T ). Это значит, что траектория точки N полностью лежит в окрестности U
и находится на положительном расстоянии от состояния равновесия M
0
. Отсюда,
в свою очередь, вытекает, что N не является особой точкой.
Оказывается, что траектория точки N — замкнутый цикл. Допустим, что это не так. Обозначим тогда через t
0
n
такую неограниченно возрастающую последова- тельность моментов времени, что точки f (N, t
0
n
) сходятся к некоторой точке N
∗
Точка N
∗
будет неособой. Аналогично тому, как это делалось при доказательстве теоремы 13.4, проведем через точку N
∗
отрезок без контакта и проследим, как могут быть расположены на этом отрезке точки, принадлежащие траекториям
f (M
1
, t) и f (N, t).
Каждая из этих траекторий пересекает отрезок без контакта бесконечное число раз. Пусть τ
1
и τ
2
— два таких последовательных момента, что f (N, τ
1
) и f (N, τ
2
)
лежат на отрезке без контакта. Дуга траектории f (N, t) и часть отрезка без кон- такта, соединяющие точки f (N, τ
1
) и f (N, τ
2
), ограничивают некоторую область
Ω ⊆ U
0
. В силу теоремы 13.4 в Ω есть особая точка, она совпадает с M
0
Геометрически очевидно (см. рис. 13.8), что через отрезок без контакта либо все траектории входят, либо все выходят из области Ω. Отсюда вытекает, что точка
122

N
∗
не может быть расположена на отрезке без контакта между f (N, τ
1
) и f (N, τ
2
)
— в противном случае N
∗
не была бы пределом точек f (N, t
0
n
).
Рис. 13.12
Пусть через точки отрезка без контакта траектории входят в область Ω. То- гда N
∗
расположена относительно f (N, τ
1
) и f (N, τ
2
) так, как это показано на рис. 13.12, и, следовательно, точки f (M, t) при больших t будут лежать внут- ри Ω. Отсюда вытекает, что точка f (N, τ
1
) не является предельной для точек
f (M, t
n
+ τ
1
), и мы пришли к противоречию.
В случае, когда через отрезок без контакта траектории выходят из области Ω,
рассуждение аналогично.
Лемма доказана.
Теорема 13.5. Если индекс особой точки (x
0
, y
0
) отличен от 1, то состояние
равновесия (x
0
, y
0
) не обладает устойчивостью по Ляпунову.
Доказательство. Покажем, что устойчивая по Ляпунову особая точка имеет индекс, равный 1.
В случае, когда в каждой окрестности особой точки есть цикл, доказательство очевидно. Достаточно рассмотреть круговую окрестность, в которой нет других особых точек. Тогда точка (x
0
, y
0
) будет лежать внутри цикла (в противном случае в круге была бы, в силу теоремы 13.1, вторая особая точка). Индекс особой точки равен вращению поля скоростей на цикле, а это вращение равно 1.
Остается рассмотреть случай, когда циклов в малых окрестностях нет. Особая точка, в силу леммы 13.1, обладает свойством абсолютной устойчивости. Обозна- чим через Φ(M, t) векторное поле сдвигов по траекториям
Φ(M, t) = f (M, t) − M.
(13.32)
Это поле будем рассматривать на окружностях малого радиуса.
При малых t векторы поля (13.32) направлены по хордам траекторий. Они не направлены противоположно векторам скорости. В силу теоремы 4.3 вращение полей (13.32) при малых t совпадает с вращением поля скоростей и равняется индексу особой точки (x
0
, y
0
).
Векторные поля Φ(M, t) при t > 0 на малых окружностях с центром в (x
0
, y
0
) не обращаются в нуль, так как обращение в нуль такого поля означает существование цикла. Поэтому все векторные поля Φ(M, t) гомотопны друг другу и их вращение одинаково.
123

Из стремления ρ(f (M, t), M
0
) к нулю (для каждой фиксированной точки M
окружности) и из устойчивости по Ляпунову вытекает, что ρ(f (M, t), M
0
) стремит- ся при t → ∞ к нулю равномерно относительно точек окружности (докажите!).
Поэтому при больших t векторы полей (13.32) не направлены по внешней норма- ли к окружности. В силу той же теоремы 4.3 их вращение совпадает с вращением поля внутренних нормалей и равно 1.
Теорема доказана.
Упражнение 13.5.
Доказать, что состояние равновесия системы, указанной в упраж-
нении
13.2. 2,
неустойчиво в смысле Ляпунова.
13.5. Уравнение второго порядка. Рассмотрим уравнение
d
2
x
dt
2
= f
µ
x,
dx
dt
¶
.
(13.33)
Оно эквивалентно системе уравнений
dx
dt
= y,
dy
dt
= f (x, y),
(13.34)
для исследования которой применимы, в частности, соображения, изложенные в предыдущих пунктах
25
Отметим некоторые особенности, вызванные специальным видом первого урав- нения системы (13.34).
Все особые точки системы (13.34) лежат на оси абсцисс (y = 0). Эти особые точки определяются из уравнения
f (x, 0) = 0.
(13.35)
Интегральные кривые системы (13.34) в неособых точках оси абсцисс ортогональ- ны этой оси.
Если система (13.34) имеет цикл, то движение по этому циклу, определенное системой (13.34), будет движением по ходу часовой стрелки.
Последнее замечание, которое мы сделаем, относится к определителю (13.27).
Из вида первого уравнения системы (13.34) вытекает, что этот определитель имеет ненулевые элементы. Отсюда следует, что индекс изолированной особой точки системы (13.34) равен, вообще говоря, 1, −1 или нулю.
Упражнение 13.6.
Доказать, что нулевое решение уравнения
d
2
x
dt
2
=
µ
dx
dt
¶
3
− sin x
неустойчиво.
25
Геометрические методы исследования уравнений с одной степенью свободы, к которым отно- сится уравнение (13.33), весьма полно (и с большим числом приложений) изложены в известной книге А. А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина Теория колебаний, Физматгиз, 1959.
124

§ 14. Линейные краевые задачи
14.1. Угловая функция решения. В этом и следующих параграфах угловая функция применяется
26
для исследования решений системы дифференциальных уравнений
dx
dt
= f (t, x, y),
dy
dt
= g(t, x, y).
(14.1)
Пусть
z(t) = (x(t), y(t))
(14.2)
— решение системы (14.1), определенное на отрезке a ≤ t ≤ b. Если это решение не обращается в нуль (то есть x
2
(t) + y
2
(t) > 0 при a ≤ t ≤ b), то при каждом t
определен полярный угол φ(t) (рис. 14.1), который можно определить как непре- рывную функцию. Функцию φ(t) будем называть угловой функцией решения z(t).
Отметим, что угловая функция решения φ(t) отличается от угловой функции θ(t)
векторного поля (14.2) (в том смысле, как она была введена в § 1) аддитивным слагаемым: φ(t) = φ(a) + θ(t).
Рис. 14.1
В дальнейшем будут использованы следующие очевидные формулы:
x(t) = kz(t)k cos φ(t),
y(t) = kz(t)k sin φ(t)
³
kz(t)k =
p
x
2
(t) + y
2
(t)
´
,
φ(t) = arctg
y(t)
x(t)
,
dφ(t)
dt
=
dy(t)
dt
x(t) − y(t)
dx(t)
dt
x
2
(t) + y
2
(t)
.
Поворот κ(t
1
, t
2
) решения (14.2) на отрезке [t
1
, t
2
] определим формулой
κ(t
1
, t
2
) = φ(t
2
) − φ(t
1
).
(14.3)
26
Отметим здесь три книги, в которых применяется угловая функция для исследования реше- ний дифференциальных уравнений: Э.А. Коддингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958; Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференци-
альным уравнениям, Физматгиз, 1961; Ф. Трикоми, Дифференциальные уравнения, ИЛ, 1962.
125

Поворот отличается от вращения множителем. Поворот обладает свойствами, ана- логичными свойствам вращения
κ(t
1
, t
2
) = −κ(t
2
, t
1
),
κ(t
1
, t
2
) = κ(t
1
, t
3
) + κ(t
3
, t
2
).
(14.4)
Упражнение 14.1.
1) Покажите, что поворот каждого ненулевого решения системы
dx
dt
= −ωy,
dy
dt
= ωx
на любом отрезке длины 1 одинаков. Вычислите этот поворот.
2) Покажите, что угловая функция решений системы
dx
dt
= α(t)x − ω(t)y,
dy
dt
= ω(t)x + α(t)y
(14.5)
определяется равенством
φ(t) = φ(a) +
t
Z
a
ω(τ ) dτ.
К системе (14.1) частного вида приводит изучение уравнения второго порядка
d
2
x
dt
2
+ g
µ
t, x,
dx
dt
¶
= 0.
(14.6)
Перейдем от него к системе
dx
dt
= −y,
dy
dt
= g(t, x, −y).
(14.7)
Решение (14.2) этой системы имеет вид
z(t) =
µ
x(t), −
dx(t)
dt
¶
.
(14.8)
Рис. 14.2 126

Если решение (14.8) не обращается в нуль, то каждый нуль τ функции x(t)
будет изолирован, и поэтому на всем промежутке [a, b] функция x(t) обращается в нуль лишь конечное число раз. Пусть τ
1
и τ
2
— два соседних нуля функции x(t).
Нетрудно видеть (см. рис. 14.2), что на промежутке [τ
1
, τ
2
] поворот решения равен
π. Обозначим через t
1
< . . . < t
n
все нули функции x(t) на [a, b]. Из (14.4) вытекает,
что
κ(t
1
, t
n
) = (n − 1)π.
(14.9)
На каждом из промежутков [a, t
1
] и [t
n
, b] поворот неотрицателен и меньше π.
Явное выражение угловой функции и поворота решения удается получить в редких случаях. Однако оценка поворота может быть получена для широких клас- сов систем.
Рассмотрим, например, линейную систему
dx
dt
= a
11
(t)x + a
12
(t)y,
dy
dt
= a
21
(t)x + a
22
(t)y.
.
(14.10)
Угловая функция φ(t) решения этой системы удовлетворяет равенству
dφ(t)
dt
=
a
21
(t)x
2
+ (a
22
(t) − a
11
(t))xy − a
12
(t)y
2
x
2
+ y
2
.
(14.11)
Предположим, что
m(t)(x
2
+ y
2
) ≤ a
21
(