Векторные поля. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ. М. А. Красносельский, А. И. Перов
 Скачать 2 Mb.
|
|
dx dt = x, dy dt = y (13.7) Ее решениям соответствуют лучи, выходящие из начала координат (рис. 13.3). Кривые (13.2) называют интегральными кривыми системы (13.1). В некоторых случаях систему (13.1) удобно рассматривать как закон движения точек по плос- кости; тогда правые части системы — это компоненты вектора скорости в точке (x, y), а интегральные кривые — это траектории, по которым движутся точки. 112 Рис. 13.2 Рис. 13.3 Следует помнить, что система (13.1) определяет не только интегральные кри- вые, но и положительное направление на них, которое соответствует перемещению точки (13.2) при возрастании “времени” t. Системы вида (13.1) называют автономными в отличие от систем вида dx dt = P (x, y, t), dy dt = Q(x, y, t), (13.8) правые части которых явно зависят от t. Решения автономной системы обладают той особенностью, что перемещение точки (x 0 , y 0 ) за время от t 0 до t 1 по траекто- рии системы полностью определяется разностью t 1 − t 0 и не зависит от t 0 Систему ориентированных интегральных кривых на плоскости называют фазо- вым портретом системы (13.1). Нас будут интересовать, в основном, решения двух специальных типов: особые точки и периодические решения. Точку (x 0 , y 0 ) называют особой точкой системы (13.1), если скорость в этой точке равна нулю. Отсюда вытекает, что особые точки определяются как решения системы P (x, y) = 0, Q(x, y) = 0. (13.9) Если (x 0 , y 0 ) — особая точка системы (13.1), то x ≡ x 0 , y ≡ y 0 (13.10) — это одно из решений системы. Такое решение изображается на фазовом порт- рете точкой (для систем, чьи фазовые портреты изображены на рис. 13.1-13.3, единственная особая точка — начало координат). Индексом особой точки (x 0 , y 0 ) системы дифференциальных уравнений (13.1) называется индекс (в смысле гл. 1) особой точки (x 0 , y 0 ) векторного поля Φ(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). (13.11) 113 Периодические решения на фазовом портрете изображаются, очевидно, замкну- тыми кривыми. Их называют циклами. 13.2. Признаки существования особых точек. Так как особая точка си- стемы дифференциальных уравнений — это решение системы (13.9), то для дока- зательства существования особых точек может быть применена методика, изло- жения в § 10. Иначе говоря, если удастся найти область Ω, на границе которой вращение поля (13.11) отлично от нуля, то в области Ω есть по крайней мере одна особая точка системы (13.1). Укажем несколько примеров. Теорема 13.1 (Пуанкаре-Бендиксон). Если система (13.1) имеет периоди- ческое решение, то она имеет особую точку. Доказательство. Цикл Γ, соответствующий периодическому решению, явля- ется замкнутой кривой (см. рис. 13.4). Из определения интегральной кривой вы- текает, что векторное поле (13.11) на Γ — это поле касательных. В силу теоремы 2.3 вращение этого поля Φ на Γ равно 1. Следовательно, поле Φ внутри Γ имеет по крайней мере одну особую точку. Теорема доказана. Рис. 13.4 Рис. 13.5 В теореме 13.1, естественно, предполагается, что система (13.1) задана всюду внутри цикла. Эта теорема может быть обобщена, например, следующим образом. Допустим, что граница ν-связной области Ω состоит из циклов системы (13.1) (см. рис. 13.5), причем ν 6= 2. Тогда вращение поля (13.11) на границе Γ области Ω будет отлично от нуля, и поэтому в области Ω система (13.1) будет иметь по крайней мере одну особую точку. Для случая ν = 2 последнее утверждение, очевидно, не имеет места. Например, между двумя циклами системы (13.3) нет особых точек. Упражнение 13.1. Допустим, что система (13.1) имеет два расположенных один внутри второго цикла. Пусть движение на этих циклах направлено в разные стороны (см. рис. 13.6 ). Возникает естественное предположение, что в кольце между такими циклами обязательно есть особые точки системы. Покажите, что это предположение неверно 21 21 А. Пуанкаре обнаружил, а Дж. Биркгоф доказал (см. Дж. Биркгоф, Динамические си- стемы, М.-Л. 1941) следующий замечательный факт. Допустим, что при преобразовании кольца, изображенного на рис. 13.6, осуществляемом сдвигом по траекториям системы за любой фик- сированный промежуток времени площадь (мера) каждой части кольца не меняется. Тогда в кольце есть особые точки системы. 114 Рис. 13.6 Теорема 13.1 может применяться и в следующей форме: Теорема 13.2. Если в односвязной области Ω нет особых точек системы (13.1), то в ней нет и циклов системы. Рассмотрим, например, систему dx dt = x − y, dy dt = −3xy 2 + 4x 2 y + 2x + 1. (13.12) у этой системы нет положительных (x(t) > 0, y(t) > 0) периодических решений, так как в первом квадранте нет особых точек. Действительно, из первого уравне- ния вытекает, что все особые точки расположены на прямой y = x, а из второго, что абсциссы особых точек являются корнями уравнения x 3 + 2x + 1 = 0 (13.13) Рис. 13.7 Гладкая дуга L, не содержащая особых точек системы, называется дугой без контакта для системы (13.1), если в каждой точке этой дуги вектор скорости (вектор поля (13.11)) образует отличный от нуля угол с кривой L. Иначе говоря, траектории системы пересекают дугу без контакта под ненулевым углом (см. рис. 13.7). 115 Теорема 13.3. (Бендиксон). Пусть граница области Ω состоит из части Γ траектории одного из решений системы (13.1) и из одной дуги L без контакта. Тогда в Ω есть по крайней мере одна особая точка системы (13.1). Доказательство. Пусть M 1 и M 2 — концы дуги L без контакта; для опреде- ленности будем считать, что при движении по траектории Γ точка перемещается от точки M 1 к точке M 2 (см. рис. 13.8). Рис. 13.8 Геометрически очевидно, что кривую L можно заменить близкой кривой L 1 так, что замкнутая кривая, составленная из L 1 и Γ, будет гладкой, и так, что на этой замкнутой кривой Π векторы скорости не будут направлены по одному из направлений нормали к Π. На рис. 13.8 кривая L 1 изображена пунктиром; в случае б) векторы поля не направлены по внешней нормали к кривой Π, в случае б) не направлены по внутренней нормали. Вращение поля (13.11) на Γ∪L равно, очевидно, вращению на Π. В силу теоремы 4.3 поле (13.11) на Π гомотопно полю нормалей к Π, и из теоремы 2.4 вытекает, что его вращение равно 1. Теорема доказана. В теореме 13.3 предполагается, что система (13.1) задана на всей области Ω. Из непрерывности и любой гладкости правых частей системы (13.1) не выте- кает, что решения системы определены при всех значениях t. Например, решения уравнения dx dt = 1 + x 2 имеют вид x = tg (t + c) и каждое из них определено лишь на конечном интервале ³ − π 2 − c, π 2 − c ´ . Это обстоятельство иногда усложняет рассуждения, так как оно вынуждает следить за тем, при каких t определено то или иное решение. В связи с этим при изучении произвольной системы (13.1) удоб- но заменять эту систему другой с тем же фазовым портретом, но с решениями, определенными при всех t ∈ (−∞, ∞). Дальнейшие построения настоящего пункта относятся к случаю, когда система задана на всей плоскости. Рассмотрим наряду с системой dx dt = P (x, y), dy dt = Q(x, y). (13.1) 116 систему dx dt = P (x, y)R(x, y), dy dt = Q(x, y)R(x, y). (13.14) где R(x, y) — положительная непрерывная функция. Переход к новой системе равносилен переходу от поля скоростей (13.11) к новому полю скоростей Φ(x, y) = (P (x, y)R(x, y), Q(x, y)R(x, y)). (13.15) Нетрудно видеть, что векторы двух полей одинаково направлены. Поэтому инте- гральные кривые у систем (13.1) и (13.14) также одинаковы и одинаково ориенти- рованы; у этих систем одинаковые особые точки, одинаковые циклы 22 Выберем функцию R(x, y) специальным образом. Пусть R(x, y) = 1 1 + P 2 (x, y) + Q 2 (x, y) . (13.16) Тогда правые части системы (13.14) будут равномерно ограничены. Отсюда выте- кает, что решения системы определены при всех t ∈ (−∞, ∞). Проведенные рассуждения позволяют во многих случаях не следить за тем, при каких t определены решения предполагая без ограничения общности, что все они определены при всех t. До конца настоящего пункта будем считать, что это предположение сделано. Решение (x(t), y(t)), по определению, уходит двусторонне в бесконечность, если lim t→−∞ (x 2 (t) + y 2 (t)) = lim t→∞ (x 2 (t) + y 2 (t)) = ∞. (13.17) Теорема 13.4. Если система имеет решение, которое не уходит двусторонне в бесконечность, то она имеет по крайней мере одну особую точку. Доказательство. Пусть решение (x 0 (t), y 0 (t)) не уходит двусторонне в беско- нечность. Для определенности будем считать, что lim t→∞ (x 2 (t) + y 2 (t)) < ∞. (13.18) Это значит, что для некоторой последовательности моментов времени t n → ∞ точки M n с координатами (x 0 (t n ), y 0 (t n )) находятся в ограниченной части плоско- сти. Можно без ограничения считать, что точки M n сходятся в некоторой точке N 0 с координатами (x ∗ , y ∗ ): lim n→∞ x 0 (t n ) = x ∗ , lim n→∞ y 0 (t n ) = y ∗ . Если точка N 0 особая, то теорема доказана. 22 Нетрудно видеть, что для системы (13.14) верна теорема единственности решения, удовле- творяющего каждому заданному начальному условию, если эта теорема верна для системы (13.1) 117 Остается рассмотреть случай, когда N 0 — неособая точка. Из соображений непрерывности вытекает, что в некоторой окрестности U точки N 0 векторы по- ля Φ(M) скоростей образуют угол меньше π 2 с вектором Φ(N 0 ). Рис. 13.9 Проведем через точку N 0 отрезок [N 1 , N 2 ] перпендикулярно вектору Φ(N 0 ). Ес- ли отрезок [N 1 , N 2 ] достаточно мал и окрестность U достаточно мала, то все траек- тории, проходящие через точки окрестности U, будут пересекать отрезок [N 1 , N 2 ] под некоторым ненулевым углом. Иначе говоря, отрезок [N 1 , N 2 ] будет дугой без контакта для изучаемой системы (см. рис. 13.9). Рис. 13.10 Так как последовательность (x 0 (t n ), y 0 (t n )) сходится к точке N 0 , то интеграль- ная кривая (x 0 (t), y 0 (t)) пересекает отрезок [N 1 , N 2 ] бесконечное число раз. Пусть t ∗ и t ∗∗ — два последовательных момента времени, в которые эта кривая пересекает отрезок без контакта. Тогда кривая (x 0 (t), y 0 (t)) (t ∗ ≤ t ≤ t ∗∗ ) и часть отрезка без контакта, заключенная между точками (x 0 (t ∗ ), y 0 (t ∗ )) и (x 0 (t ∗∗ ), y 0 (t ∗∗ )) (не исклю- чено, что эти точки совпадают), образуют замкнутую кривую, ограничивающую некоторую область Ω. В силу теоремы 13.3 в Ω есть по крайней мере одна особая точка системы. Теорема доказана. 13.3. Индекс особой точки. Рассмотрим линейную систему dx dt = ax + by, dy dt = cx + dy. (13.19) 118 Нулевая точка будет изолированной особой точкой, если ∆ = ¯ ¯ ¯ ¯ a b c d ¯ ¯ ¯ ¯ = ad − bc 6= 0. (13.20) Из теоремы 6.1 вытекает, что индекс γ 0 нулевой особой точки определяется равен- ством γ 0 = sign ∆. (13.21) Рассмотрим подробнее случай, когда γ 0 = −1. В этом случае характеристиче- ское уравнение ¯ ¯ ¯ ¯ a − λ b c d − λ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 (13.22) имеет два различных вещественных корня λ 1 и λ 2 разного знака. Общее решение системы (13.19) запишется тогда в виде (если b 6= 0) x(t) = C 1 e λ 1 t + C 2 e λ 2 t , y(t) = C 1 (λ 1 − a) b e λ 1 t + C 2 (λ 2 − a) b e λ 2 t , (13.23) откуда вытекает, что фазовый портрет системы имеет вид, указанный на рис 13.10. Нулевую особую точку называют в этом случае седловой или седлом. Итак, индекс γ 0 = −1 лишь в том случае, когда особая точка линейной системы есть седло. Когда γ 0 = 1, то характер расположения интегральных кривых в окрестности особой точки определяется значениями корней λ 1 и λ 2 характеристического урав- нения (13.22). Детальный анализ расположения интегральных кривых проводится в общих курсах обыкновенных дифференциальных уравнений 23 . Мы напоминаем рисунком 13.11 лишь окончательные результаты. Перейдем к рассмотрению нелинейной системы (13.1) с дифференцируемыми в нуле правыми частями. Пусть (x 0 , y 0 ) — ее особая точка. Систему (13.1) можно переписать в виде dx dt = P 0 x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + P 0 y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + P 1 (x, y), dy dt = Q 0 x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + Q 0 y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + Q 1 (x, y). (13.24) где P 1 (x, y) и Q 1 (x, y) — такие функции, что lim r→0 P 1 (x, y) r = lim r→0 Q 1 (x, y) r = 0 (13.25) и r = p (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 Равенства (13.25) означают, что система (13.24) может рассматриваться как возмущенная в окрестности особой точки (x 0 , y 0 ) линейная система dx dt = P 0 x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + P 0 y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ), dy dt = Q 0 x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + Q 0 y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ). . (13.26) 23 См. В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959 г., Э. А. Код- дингтон и Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958. 119 Рис. 13.11. а) λ 1 , λ 2 различны, вещественны и положительны; неустойчивый узел; б) λ 1 , λ 2 различны, вещественны и отрицательны; устойчивый узел; в), г) λ 1 = λ 2 > 0; неустойчивый узел; д), е) λ 1 = λ 2 < 0; устойчивый узел; ж) λ 1 , λ 2 чисто мнимые; центр; з) λ 1 , λ 2 комплексные, Re λ > 0, неустойчивый фокус; и) λ 1 , λ 2 комплексные, Re λ < 0; устойчивый фокус Из общих теорем о векторных полях вытекает, что индекс особой точки (x 0 , y 0 ) системы (13.24) совпадает с индексом особой точки линеаризованной системы (13.26), если у линеаризованной системы особая точка изолирована. Оказывается, что общий характер расположения интегральных кривых в окрест- ности особой точки (см. рис. 13.11) не меняется при переходе от линейной системы (13.26) к нелинейной системе (13.24) для случаев, когда особая точка — седло, фо- 120 |