Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) 2 3 ; y y x ′ + = 2) 2 3 ; x y y e ′ − = 3) 4 ; xy y x ′ + = − 4) 4 3 . y xy x ′ − = 190 1.2. Решите задачу Коши: 1) 3 2 , x y y e ′ + = (0) 0; y = 2) cos sin 1, y x y x ′ − = (0) 1; y = 3) 2 , x xy y xe − ′ + = (0) 0; y = 4) 4 2 2 , y xy x ′ − = (0) 1. y = II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 2 2tg ctg ; y x y x ′ + ⋅ = 2) sin cos 2 ; x y y x e − ′ + = 3) 3 tg ; cos y y x x ′ + = − 4) 2 ln 2 y x xy y ′ + = 2.2. Решите задачу Коши: 1) , ln y y x y ′ = + ( ) 0 1; y = 2) ( ) 2 3 0, y x y y ′ − − = 6 1; 5 y = 3) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 0, y y y y ′ ′ + − − = ( ) 0 1; y = 4) sin 2 2 2cos , y x y x ′ − = 2. 4 y π = III уровень 3.1. Составьте уравнение кривой ( ), y y x = проходящей че- рез точку A(a, a) и обладающей свойством: если в любой точке N(x, y) кривой с ординатой, равной |BN| (рис. 22.2) провести ка- сательную до пересечения с осью ординат в точке С, то площадь трапеции OCNB будет постоянной и равна 2 a Рис. 22.2 3.2. Составьте уравнение кривой ( ) , y y x = проходящей че- a a B C A N О y x 191 рез точку ( ) 0, 0 O и обладающей свойством: середина отрезка ее нормали, заключенного между любой точкой кривой и осью абсцисс, лежит на параболе 2 2 x y = 22.4. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение вида ( , ) ( , ) 0 P x y dx Q x y dy + = (22.33) называется уравнением в полных дифференциалах, если его ле- вая часть есть полный дифференциал некоторой функции ( , ), u u x y = т. е. ( , ) ( , ) du P x y dx Q x y dy = + (22.34) Тогда уравнение (22.33) равносильно уравнению 0, du = общий интеграл которого определяется формулой ( , ) , u x y C = (22.35) где С – произвольная постоянная. Для того чтобы дифференциальное уравнение (22.33) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и доста- точно, чтобы выполнялось тождество P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂ (22.36) при условии, что y P ′ и x Q ′ – непрерывны. При решении уравнения (22.33) следует сделать следующее: 1) проверить выполнение равенства (22.36); 2) если равенство (22.36) выполняется, следует определить функцию ( , ) u u x y = из системы уравнений ( , ), ( , ); u P x y x u Q x y y ∂ = ∂ ∂ = ∂ (22.37) 3) общий интеграл уравнения (22.33) получают в виде (22.35). Пример 1. Решить дифференциальное уравнение: 1) (3 5 ) (5 3 ) 0; x y dx x y dy + + − = 2) ( ) ( 1) 0. x e y dx y x dy − + − + = 192 Решение. 1) Это уравнение вида (22.33), где ( , ) 3 5 , P x y x y = + ( , ) 5 3 . Q x y x y = − Проверим выполнение условия (22.36): 5, P y ∂ = ∂ 5, Q P Q x y x ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ Значит, заданное уравнение – в полных дифференциалах. Опреде- лим функцию u(x, y) из системы уравнений (22.37) 3 5 , 5 3 . u x y x u x y y ∂ = + ∂ ∂ = − ∂ (22.38) Интегрируем первое уравнение по x, считая y постоянной величиной: ( ) ( ) 2 3 ( , ) 3 5 5 , 2 x u x y x y dx xy C y = + = + + ∫ (22.39) где в качестве произвольной постоянной относительно переменной x выступает функция ( ), C C y = которую нужно найти. Для этого функ- цию (22.39) дифференцируем по y: ( ) 5 u x C y y ∂ ′ = + ∂ Правую часть полученного равенства приравниваем к правой час- ти второго уравнения системы (22.38): ( ) 5 5 3 , x C y x y ′ + = − откуда получаем ( ) 3 . C y y ′ = − Интегрируем последнее равенство: ( ) ( ) 2 1 3 3 , 2 y C y y dy C = − = − + ∫ где 1 C const = Подставляем найденную функцию C(y) в (22.39): 2 2 1 3 3 ( , ) 5 2 2 x y u x y xy C = + − + Согласно формуле (22.35), получаем: ( ) 2 2 1 2 3 5 , 2 x y xy C C − + + = где 2 , C const = т. е. ( ) 2 2 3 5 , 2 x y xy C − + = ( ) C const = – общий интеграл заданного дифференциального уравнения. 193 2) В заданном примере имеем 1, P y ∂ = − ∂ 1. Q x ∂ = − ∂ Значит, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) из сис- темы уравнений , 1. x u e y x u y x y ∂ = − ∂ ∂ = − + ∂ (22.40) Интегрируем первое уравнение системы: ( , ) ( ) ( ), x u x y e y dx C y = − + ∫ т. е. ( ) ( ) , , x u x y e xy C y = − + где C(y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y: ( ( )) , x u e xy C y y ∂ ′ = − + ∂ ( ) u x C y y ∂ ′ = − + ∂ Используя полученное равенство и второе равенство системы (22.40), приравниваем их правые части: ( ) 1 x C y y x ′ − + = − + или ( 1) dC y dy = + Интегрированием получаем далее ( ) 2 1 ( ) 1 , 2 y C y y dy y C = + = + + ∫ где 1 C const = Тогда 2 1 ( , ) 2 x y u x y e xy y C = − + + + Общий интеграл заданного дифференциального уравнения: 2 2 x y e xy y C − + + = Пример 2. Решить задачу Коши: 1) 2 (sin 2 ) ( cos ) 0, x xy dx x y dy − − + = ( ) 0 ; 2 y π = 2) 2 (2 ) (2 ) 0, x y y e dx x e dy − − + + = ( ) 0 0. y = Решение. 1) В заданном примере 2 , P x y ∂ = − ∂ 2 . Q x x ∂ = − ∂ Значит, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) из 194 системы уравнений 2 sin 2 , cos . u x xy x u x y y ∂ = − ∂ ∂ = − − ∂ (22.41) Интегрируем первое уравнение системы: ( ) ( ) ( , ) sin 2 u x y x xy dx C y = − + ∫ Получаем: 2 ( , ) cos ( ), u x y x x y C y = − − + где C(y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем последнее равенство по y: 2 ( ). u x C y y ∂ ′ = − + ∂ Используем полученное равенство и второе равенство системы (22.41), приравниваем их правые части: 2 2 ( ) cos x C y x y ′ − + = − − или cos dC ydy = − Интегрированием получаем: 1 ( ) sin , C y y C = − + где 1 C const = Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид: 2 cos sin , x y x y C + + = где C const = Используем начальное условие 0, x = 2 y π = и находим константу C: cos 0 sin 0 2 2 C π π + + ⋅ = или 2. C = Поэтому решением задачи Коши является 2 cos sin 2. x y x y + + = 2) Проверяем условие (22.36): 2, P y ∂ = ∂ 2, Q x ∂ = ∂ значит, заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных диффе- ренциалах. Находим функцию u(x, y) из системы уравнений 2 2 , 2 x y u y e x u x e y − ∂ = − ∂ ∂ = + ∂ (22.42) 195 Интегрируем первое уравнение системы: 2 ( , ) (2 ) ( ). x u x y y e dx C y − = − + ∫ Получаем: 2 ( , ) 2 ( ), 2 x e u x y xy C y − = + + где C(y) – неизвестная функция от y, которую надо найти. Диффе- ренцируем последнее равенство по y: 2 ( ). u x C y y ∂ ′ = + ∂ Используя полученное равенство и второе равенство системы (22.42), приравниваем правые части: 2 2 ( ) y x e x C y ′ + = + или y dC e dy = Интегрированием получаем: 1 ( ) , y C y e C = + где 1 C const = Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид: 2 1 2 , 2 y x xy e C e + + = где C const = Используя начальное условие 0, x = 0, y = находим константу С: 0 0 1 2 e C e + = или 3 2 C = Тогда решением задачи Коши является: 2 1 3 2 2 2 y x xy e e + + = или 2 4 2 3. x y xy e e − + + = Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) 2 3 2 ( ) 3 0; x y dx xy dy − − = 2) 2 2 2 ( 3 ) (3 2) 0; x xy dx x y y dy − − + − = 3) (4 ) 0; x x x e y dx e dy − − + − = 4) 4 (3 cos2 ) (sin ) 0. y x x dx y e dy − + − = 1.2. Решите задачу Коши: 1) 3 2 2 3 3 (2 3 7 ) ( 14 4 ) 0, x x y y dx x xy y dy + + + + + = (2) 0; y = 2) 2 2 2 ( 6 3 ) (3 2 ) 0, y xy x dx x xy dy + − + + = (1) 1; y = 196 3) 2 (2 ln ) 5 0, x xy y dx x dy y − − − + = (0) 1. y = − II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 2 2 3 1 0; x x dx dy y y + − = 2) 2 3 ( ) 0; 2 x xy dx xy y dy − − + = 3) 2 2 2 2 0. y x x dx y dy x y x y + + − = − − 2.2. Решите задачу Коши: 1) 2 2 3 ( ) (3 2 ) 0, x y x dx x y x dy + + + = (1) 2; y = 2) 2 2 2 (1 ) 0, x y dx y x y dy − − + − = (1) 1; y = 3) ( cos sin ) ( cos sin ) 0, y x y dx x y x dy + + + = 1. 2 y π = III уровень 3.1. Определите тип дифференциального уравнения и реши- те его: 1) (2 ) 0; y xy x y ′ − + = 2) (1 ) ; x x e yy e ′ + = 3) (ln ln ) 0; xy x x y x ′ + + − = 4) sin ln ; xdy y ydx = 5) 2 2 0; xdy ydx xdx ydy x y − + + = + 6) tg 0. y xy x x x ′ + + = 22.5. Понятие дифференциальных уравнений высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Дифференциальным уравнением n-го порядка, , n ∈ N на- зывается уравнение вида ( ) ( , , , , ..., ) 0. n F x y y y y ′ ′′ = (22.43) Если уравнение (22.43) можно разрешить относительно 197 старшей производной, то дифференциальное уравнение n-го по- рядка имеет вид: ( ) ( 1) ( , , , , ..., ). n n y f x y y y y − ′ ′′ = (22.44) Решением дифференциального уравнения n-го порядка яв- ляется всякая n раз дифференцируемая функция ( ), y y x = кото- рая обращает данное уравнение в тождество. Задача нахождения решения ( ), y y x = удовлетворяющего начальным условиям 0 0 ( ) , y x y = ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 ( ) , ..., ( ) , n n y x y y x y − − ′ ′ = = где ( 1) 0 0 0 0 , , , ..., n x y y y − ′ – заданные числа, называется зада- чей Коши. Общим решением уравнения (22.43) называется функция 1 2 ( , , , ..., ), n y y x C C C = (22.45) где 1 2 , , ..., n C C C – произвольные постоянные. Типы уравнений, допускающие понижение порядка Уравнение вида ( ) ( , ) 0 n F x y = (22.46) или разрешенное относительно n-йпроизводной ( ) ( ) n y f x = (22.47) решается последовательным интегрированием n раз. Уравнение вида ( ) ( ) ( , , ..., ) 0, k n F x y y = (22.48) не содержащее явно искомой функции y и первых ( 1 k − )-х ее производных, , k ∈ N решают с помощью замены ( ) , k z y = где ( ). z z x = Таким образом, порядок исходного уравнения (22.48) понижается на k единиц. Приходят к уравнению ( ) ( , , ..., ) 0. n k F x z z − = Полученное уравнение решают далее в зависимости от его типа. Уравнение вида ( ) ( , , ..., ) 0, n F y y y ′ = (22.49) не содержащее явно независимой переменной x, решают с по- мощью замены , y z ′ = где ( ), z z y = ( ). y y x = 198 Этой заменой порядок исходного уравнения понижается на единицу, поскольку y x y y z y z z ′′ ′ ′ ′ = = (функцию z(y) дифференци- ровали по x как сложную). Аналогично выражают y ′′′ и т. д. Уравнение вида ( ) ( , , , ..., ) 0 n F x y y y ′ = (22.50) называется |