Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
характеристическое уравнение 1 1 1 0 0 n n n a a a λ λ λ − − + + + + = (22.57) путем замены в уравнении (22.56) производных определенного порядка на соответствующие степени параметра : λ ( ) k y на , k λ где 0, 1, ..., . k n = Каждому корню уравнения (22.57) соответствует опреде- ленное частное решение дифференциального уравнения. Вид ча- стного решения зависит от типа корня уравнения (22.57). Воз- можны следующие четыре случая, которые определяет правило частных решений: 1. Если 0 λ – действительный корень кратности 1 (простой корень), то ему соответствует решение вида 0 x y e λ = 2. Если 1 λ – действительный корень кратности k, то ему со- ответствует k частных решений: 1 1 1 1 1 2 , , ..., x x x k k y e y xe y x e λ λ λ − = = = 206 3. Если 2,3 i λ α β = ± – пара комплексно-сопряженных кор- ней, то им соответствует два частных решения: 1 cos , x y e x α β = 2 sin x y e x α β = 4. Если 4,5 i λ α β = ± – пара k-кратных комплексно-сопря- женных корней, то им соответствуют 2k частных решения: 1 1 2 cos , cos , ..., cos , x x k x k y e x y xe x y x e x α α α β β β − = = = 1 1 2 2 sin , sin , ..., sin x x k x k k k y e x y xe x y x e x α α α β β β − + + = = = Поскольку характеристическое уравнение (22.57) имеет n корней, считая их кратность, то для дифференциального уравне- ния (22.56) по правилу частных решений можно указать n реше- ний 1 2 , ,..., n y y y Эти решения образуют фундаментальную сис- тему решений. Тогда общее решение уравнения (22.56) определяется фор- мулой 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ), n n y C y x C y x C y x = + + + где 1 2 , ,..., n C C C – произвольные постоянные. Пример 1. Найти общее решение уравнения: 1) 25 0; y y ′′ − = 2) 25 0; y y ′′ ′ − = 3) 4 4 0; y y y ′′ ′ − + = 4) 2 2 0. y y y ′′ ′ − + = Решение. 1) Составим характеристическое уравнение 2 25 0. λ − = Решая его, получаем: 1 5, λ = 2 5 λ = − – два действительных про- стых корня. Им соответствуют частные решения 5 1 , x y e = 5 2 x y e − = Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 5 5 1 2 , x x y C e C e − = + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. 2) Составим характеристическое уравнение 2 25 0. λ λ − = Решая его, получаем: 1 0, λ = 2 25 λ = – два действительных про- стых корня. Им соответствуют частные решения 1 1, y = 25 2 x y e = Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 25 1 2 , x y C C e = + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. 207 3) Характеристическое уравнение имеет вид: 2 4 4 0 λ λ − + = или 2 ( 2) 0. λ − = Отсюда 2 λ = – корень кратности 2. Тогда решения 2 1 x y e = и 2 2 x y xe = образуют фундаментальную систему решений исходного дифференциального уравнения, а общее решение имеет вид: 2 2 1 2 , x x y C e C xe = + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. 4) Характеристическое уравнение заданного дифференциального уравнения 2 2 2 0. λ λ − + = Его корни: 1 1 , i λ = + 2 1 i λ = − – простые комплексно-сопряжен- ные. Тогда этой паре корней характеристического уравнения соответ- ствуют два линейно-независимых частных решения заданного диффе- ренциального уравнения: 1 cos , x y e x = 2 sin . x y e x = Получаем общее решение исходного дифференциального уравнения: 1 2 cos sin , x x y C e x C e x = + где 1 2 , C С – произвольные постоянные. Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: 1) 3 2 0; y y y ′′′ ′′ ′ − + = 2) 3 4 2 0; y y y y ′′′ ′′ ′ + + + = 3) 4 5 0; IV y y y ′′′ ′′ − + = 4) 3 3 0. VI IV y y y y ′′ + + + = Решение. 1) Запишем характеристическое уравнение заданного дифференциального уравнения 3 2 3 2 0. λ λ λ − + = Его корнями будут 1 0, λ = 2 1, λ = 3 2, λ = т. е. корни характери- стического уравнения действительные и различные. Им соответствуют три линейно-независимых частных решения: 1 1, y = 2 , x y e = 2 3 x y e = Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 2 1 2 3 , x x y C C e C e = + + где 1 2 3 , , C С C – произвольные постоянные. 2) Составим характеристи ческое уравнение заданного дифферен- циального уравнения 3 2 3 4 2 0. λ λ λ + + + = Его корни: 1 1, λ = − 2 1 , i λ = − + 3 1 i λ = − − Им соответствуют три 208 линейно-независимых частных решения: 1 , x y e − = 2 cos , x y e x − = 3 sin . x y e x − = Общее решение имеет вид: 1 2 3 cos sin , x x x y C e C e x C e x − − − = + + где 1 2 3 , , C C C – произвольные постоянные. 3) Характеристическое уравнение имеет вид: 4 3 2 4 5 0. λ λ λ − + = Его корни: 1,2 0 λ = (корень кратности 2), 3 2 , i λ = + 4 2 i λ = − Им соответствуют четыре линейно-независимых частных решения вида 1 1, y = 2 , y x = 2 3 cos , x y e x = 2 4 sin . x y e x = Общее решение имеет вид: 2 2 1 2 3 4 cos sin , x x y C C x C e x C e x = + + + где 1 2 3 4 , , , C C C C – произвольные постоянные. 4) Запишем характеристическое уравнение заданного дифферен- циального уравнения 6 4 2 3 3 1 0. λ λ λ + + + = Преобразуем это уравнение к виду 2 3 ( 1) 0. λ + = Отсюда, очевидно, что корни характеристического уравнения 1 , i λ = 2 i λ = − – комплексно-сопряженные кратности 3. Тогда им со- ответствуют шесть линейно-независимых частных решений вида 1 cos , y x = 2 sin , y x = 3 cos , y x x = 4 sin , y x x = 2 5 cos , y x x = 2 6 sin . y x x = Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 2 2 1 2 3 4 5 6 cos sin cos sin cos sin , y C x C x C x x C x x C x x C x x = + + + + + где 1 2 3 4 5 6 , , , , , C C C C C C – произвольные постоянные. Пример 3. Решить задачу Коши: 1) ( ) 6 9 0, (0) 2, 0 9; y y y y y ′′ ′ ′ − + = = = 2) ( ) ( ) 4 0, (0) 2, (0) 3, (0) 4, 0 8, 0 16. V IV y y y y y y y ′′′ ′ ′′ ′′′ + = = = = = = Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет вид: 2 6 9 0 λ λ − + = или 2 ( 3) 0. λ − = Его корень 3 λ = – корень кратности 2. Тогда решения 3 1 , x y e = 3 2 x y xe = образуют фундаментальную систему решений. Общее реше- ние имеет вид: 209 3 3 1 2 x x y C e C xe = + Чтобы найти константы 1 C и 2 , C дифференцируем найденное общее решение: 3 3 3 1 2 2 3 3 x x x y C e C e C xe ′ = + + Затем подставляем начальные условия в выражения для y и y ′ и решаем систему уравнений относительно 1 C и 2 : C 0 1 0 0 1 2 2 , 9 3 C e C e C e = = + Получаем 1 2, C = 2 3. C = Тогда решение задачи Коши: 3 3 2 3 x x y e xe = + 2) Характеристическое уравнение 5 3 4 0 λ λ + = или 3 2 ( 4) 0. λ λ + = Его корни: 1,2,3 0 λ = – корень кратности 3, 4 2 , i λ = 5 2 . i λ = − Им соответствуют пять линейно-независимых решений: 2 1 2 3 4 5 1, , , cos 2 , sin 2 . y y x y x y x y x = = = = = Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 2 1 2 3 4 5 cos 2 sin 2 . y C C x C x C x C x = + + + + Для определения констант 1 2 3 4 5 , , , , C C C C C продифференцируем полученное общее решение последовательно четыре раза: 2 3 4 5 2 2 sin 2 2 cos 2 ; y C C x C x C x ′ = + − + 3 4 5 2 4 cos 2 4 sin 2 ; y C C x C x ′′ = − − 4 5 8 sin 2 8 cos 2 ; y C x C x ′′′ = − 4 5 16 cos 2 16 sin 2 . IV y C x C x = + Подставляя в выражения для , , , , IV y y y y y ′′′ ′′ ′ начальные усло- вия, находим константы: 5 1, C = − 4 1, C = 3 4, C = 2 5, C = 1 1. C = Тогда решение задачи Коши: 2 1 5 4 cos 2 sin 2 . y x x x x = + + + − Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) 2 5 2 0; y y y ′′ ′ − + = 2) 16 0; y y ′′ + = 210 3) 4 0; y y ′′ − = 4) 2 2 0. IV y y y ′′′ ′′ + + = 1.2. Решите задачу Коши: 1) 2 0, (0) 1, (0) 2; y y y y y ′′ ′ ′ + + = = = 2) 5 6 0, (0) 2, (0) 3, (0) 4; y y y y y y ′′′ ′′ ′ ′ ′′ − + = = = = 3) 9 0, 1, 1, 1; 2 2 2 y y y y y π π π ′′′ ′ ′ ′′ + = = = = 4) 16 0, (1) 1, (1) 2, (1) 3, (1) 4. IV y y y y y y ′ ′′ ′′′ − = = = = = II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 2 9 0; y y y ′′′ ′′ ′ + + = 2) 8 0; y y ′′′ + = 3) 8 0; IV y y ′ − = 4) 4 4 0. IV y y y y ′′′ ′′ ′ − + − = 2.2. Решите задачу Коши: 1) 2 0, (0) 1, (0) 1, (0) 1; y y y y y ′′′ ′ ′′ + = = = = 2) 4 8 8 4 0, IV y y y y y ′′′ ′′ ′ − + − + = 1, 2 y π = 2, 2 y π ′ = 3, 2 y π ′′ = 4. 2 y π ′′′ = 3) 8 16 0, V IV y y y ′′′ − + = (0) 4, y = (0) 3, y ′ = (0) 2, y ′′ = ( ) 0 1, y ′′′ = (0) 1. IV y = III уровень 3.1. Составьте линейное дифференциальное уравнение по его фундаментальной системе решений: 1) , ; x x e xe − − 2) 2 1, , , cos , sin ; x x x x 3) 2 1, , ; x x 4) cos , sin . x x e x e x − − 3.2. Докажите, что функции 2 1 (cos 2 sin 2 ), x y e x i x = + 2 2 (cos 2 sin 2 ) x y e x i x − = − образуют фундаментальную сис- тему решений уравнения 4 0. y iy ′′ − = Проверьте: 211 1) являются ли решениями данного уравнения функции 1 1 Re , u y = 2 2 Re , u y = 1 1 Im , v y = 2 2 Im ; v y = 2) имеет ли данное уравнение действительные решения. 22.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение вида ( ) ( 1) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ), n n n y a x y a x y a x y f x − − ′ + + + + = (22.58) где 0 1 2 ( ), ( ), ( ), ..., ( ) a x a x a x f x – непрерывные функции на некотором промежутке (a, b). Если ( ) 0 f x ≡ в уравнении (22.58), то получаем соответ- ствующее однородное дифференциальное уравнение ( ) 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 0. n n n y a x y a x y a x y − − ′ + + + + = (22.59) Общее решение уравнения (22.58) определяется формулой 0 , ч y y y = + (22.60) где 0 y – общее решение соответствующего однородного уравнения, ч y – частное решение неоднородного уравнения. Для решения дифференциального уравнения (22.58) исполь- зуют |