Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 2 из 31

Решение. 1) По формуле (19.8) таблицы неопределенных интегра- лов получаем:
(
)
(
)
sin
2
cos
2
x
dx
x
C
−
= −
− +
∫
2) По формуле (19.7) таблицы неопределенных интегралов имеем:
2 2
2 1
2 1
2
x
x
x
e dx
e
C
e
C
=
+ =
+
∫
3) Используем формулу (19.5) таблицы неопределенных интегра- лов. Тогда
1
ln 2 5 2 5 5
dx
x
C
x
= −
−
+
−
∫
4) По формуле (19.3) таблицы неопределенных интегралов полу- чаем:
(
)
(
)
(
)
10 10 9
8 1
8 1
1 8
1 8
10 80
x
x
x
dx
C
C
+
+
+
= ⋅
+ =
+
∫
5) По формуле (19.13) таблицы неопределенных интегралов имеем:
2 1 1 3
1 1
3 1
arctg arctg
3 5 5
15 5
(3 1)
25
dx
x
x
C
C
x
−
−
= ⋅
+ =
+
−
+
∫
6) Используем формулу (19.12) таблицы неопределенных интегра- лов. Тогда
(
)
(
)
1
sh 5 3
ch 5 3
5
x
dx
x
C
+
=
+ +
∫
Задания
I уровень
1.1. Докажите, что функция F(x) является первообразной функции f(x) и найдите неопределенный интеграл:
1)
1
( )
,
( )
;
2
F x
x
f x
x
=
=

11 2)
2 2
2 5
( )
ln
5 8 ,
( )
;
5 8
x
F x
x
x
f x
x
x
−
=
−
+
=
−
+
3)
2 1
2 1
( )
arctg
,
( )
;
3 3
4 13
x
F x
f x
x
x
+
=
=
+
+
4)
(
)
4 5
5 15 1 3sin
9cos
( )
,
( )
;
4 1 3sin
x
x
F x
f x
x
+
=
=
+
5)
2 4
1
( )
arcsin
,
( )
2 2
4
x
x
F x
f x
x
=
=
−
1.2. Найдите совокупность всех первообразных функции f(x) и нарисуйте интегральные кривые для заданных значений C:
1)
2
( )
3
,
0,
2,
3;
f x
x
C
C
C
=
=
=
= −
2) ( )
sin ,
0,
3,
1;
f x
x C
C
C
=
=
=
= −
3)
1
( )
,
0,
1,
2.
1
f x
C
C
C
x
=
=
=
= −
+
1.3. Используя интегрирование дифференциала, найдите:
1)
1
arctg
;
d
x






∫
2)
(
)
tg5
;
d
x
∫
3)
(
)
2 2
1 ;
d
x
x
+ +
∫
4)
(
)
3 5
6 .
d
x
−
∫
1.4. Найдите функцию F(x), график которой проходит через точку М, если:
1)
( )
( )
2 1
2
,
; 0 ;
cos
F x
M
x
π
′
= +
2)
( )
2 1
1
,
; 0 ;
2
sin
F x
M
x
π


′
= +
−




3)
( )
(
)
2 2
4 3
,
2; 16 ;
F x
x
M
x
′
=
−
4)
( )
(
)
1 2
,
1;
2 .
F x
x
M
x
′
=
+
−
II уровень
2.1. Найдите интеграл непосредственным интегрированием:
1)
(
)
2 1
;
x
dx
−
∫
2)
2
;
4
dx
x
−
∫
3)
2 1 cos
;
1 cos 2
x
dx
x
+
+
∫
12 4)
2
;
9 25
dx
x
−
∫
5) 2
;
x
x
e dx
∫
6)
(
)
3 1
;
x
dx
x x
−
∫
7)
(
)
(
)
2 2
1
;
1
x
dx
x
x
+
+
∫
8)
2
tg
;
xdx
∫
9)
3 2
5 cos
;
cos
x
dx
x
−
∫
10) sin 2
;
cos
x
dx
x
∫
11)
2
;
16
dx
x
−
∫
12)
4 3
2 2
2
sin
x
x
x
x
x e
dx
x
−
+
∫
2.2. Найдите неопределенный интеграл, используя свойства интеграла:
1)
(
)
101 3
;
x
dx
−
∫
2) ch
;
3
x
dx
∫
3)
(
)
sin 4 3
;
x
dx
+
∫
4)
;
9 5
dx
x
+
∫
5)
2
;
2 5
dx
x
x
−
+
∫
6)
2
;
6 8
dx
x
x
−
−
∫
7)
(
)
2
;
sin
3 2
dx
x
−
∫
8)
2
;
4 3
dx
x
x
+
+
∫
9)
(
)
cos 5 8
x dx
−
∫
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
1 1
3 2
;
5
x
x
x
dx
+
−
−
∫
2)
2 1
;
1
x
x
e
dx
e
−
+
∫
3)
2 2
;
4
x
dx
x
−
∫
4)
2 2
2
;
x
x
dx
x
−
+
+
∫
5)
(
)
2
ctg
3 5
;
x
dx
+
∫
6)
2
;
4 12 25
dx
x
x
−
+
∫
7)
(
)
2 4sin
2 7
;
x
dx
−
∫
8)
2
;
6 9
dx
x
x
−
∫
9)
2 3
3 2
x
dx
x


+




∫
3.2. Представьте подынтегральное выражение в виде диф- ференциала некоторой функции и, используя свойства неопре- деленного интеграла, найдите интеграл:
1) cos
;
2
x
dx
x
∫
2)
3 2
1 3
;
x
x e
dx
+
∫
3)
2 2
2
;
sin
x
dx
x
−
∫

13 4)
4 5
2 3
5
;
3 (
6)
x
dx
x
−
∫
5)
2 2
1
;
1
x
dx
x
x
+
+ −
∫
6)
2 9
1 9
x
dx
x
−
−
∫
19.2. Методы вычисления неопределенного
интеграла
Приведем основные методы вычисления неопределенного интеграла.
1. Метод замены переменной
Его использование базируется на следующей «цепочке» ра- венств:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
( )
t
g x
f g x
g x dx
f t dt
F t
C
dt
g x dx
=
′
=
=
=
+
′
=
∫
∫
где F(t) первообразная функции f(t). Далее необходимо под- ставить вместо t выражение g(x).
2. Метод подстановки
Описывается равенством
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
x
g t
f x dx
f g t
g t dt
dx
g t dt
=
′
=
=
′
=
∫
∫
Этот метод используют в том случае, если последний инте- грал вычисляется проще чем заданный.
3. Метод поднесения под знак дифференциала
Для вычисления интеграла используют определение диффе- ренциала:
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
f g x
g x dx
f g x
d g x
F g x
C
′
=
=
+
∫
∫
Согласно этому методу не делают явно замену переменной, подразумевая, что g(x) играет роль новой независимой переменной.
При использовании метода поднесения под знак дифферен- циала, метода замены переменной, метода подстановки удобно использовать простейшие преобразования дифференциала:
1)
(
)
dx
d x
b
=
+
(b – произвольная постоянная величина);
2)
1
(
)
dx
d ax
a
=
(постоянная
0
a
≠
);
3)
(
)
1
dx
d ax
b
a
=
+
(постоянная
0).
a
≠
14
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
1)
1 3
;
xdx
−
∫
2) sin
;
x
dx
x
∫
3)
2 6
;
4
x dx
x
−
∫
4)
5 2
arctg 3 1 9
x
x
dx
x
+
+
∫
Решение. 1) 1-й способ. Используем метод замены переменной.
Положим 1 3
x
t
−
=
Тогда
( )
1 1
,
3
x
t
=
−
1 3
dx
dt
= −
Имеем:
3 1
2 3
2 3
2 1
1 1
2 1 3 3
3 3
9
t
xdx
t
dt
t dt
C
t
C


−
=
⋅ −
= −
= − ⋅
+ = −
+ =




∫
∫
∫
(
)
3 2
1 3 9
x
C
= −
−
+
Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы неопределенных интегралов.
2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциа- ла. Представим данный интеграл в следующем виде:
( )
1 1 3 1 3 3
3
xdx
x
dx
−
= −
−
⋅ −
∫
∫
Учитывая, что
(
)
3 1 3
,
dx
d
x
−
=
−
по формуле (19.3) таблицы неоп- ределенных интегралов получаем:
(
)
(
) (
)
(
)
3 2
1 2
3 2
1 3 1
1 1 3 1 3 1 3 1 3 3
3
x
xd
x
x
d
x
C
−
−
−
= −
−
−
= −
+ =
∫
∫
(
)
3 2
1 3 9
x
C
= −
−
+
2) Поскольку
( )
1
,
2
d
x
dx
x
=
то sin
2 sin
2
x
dx
dx
x
x
x
=
⋅
∫
∫
Поднесение под дифференциал приводит далее к интегралу
( )
2 sin
2 cos
xd
x
x
C
= −
+
∫
Для вычисления интеграла использовали формулу (19.8) таблицы неопределенных интегралов.
3) Очевидно, что
( )
3 2
3
d x
x dx
=
Значит,
2 2
3 6
6 3 2 1
3 1
(
)
3 3
4 4
4 (
)
x dx
x dx
d x
x
x
x
=
=
−
−
−
∫
∫
∫
Применяя формулу (19.14) таблицы интегралов, получаем ответ:

15 3
1
arcsin
3 2
x
C
+
4) Используя второе свойство неопределенного интеграла, пред- ставим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:
5 5
1 2
2 2
2
arctg 3
arctg 3
( )
( ).
1 9 1 9 1 9
x
x
xdx
x
dx
dx
I x
I
x
x
x
x
+
=
+
=
+
+
+
+
∫
∫
∫
Вычислим полученные интегралы отдельно.
Так как
2
(1 9
)
18
,
d
x
xdx
+
=
то, используя далее формулу (19.5) таблицы инте- гралов, получаем:
(
)
2 2
1 2
2 2
1 18 1
(1 9
)
1
( )
ln 1 9 18 18 18 1 9 1 9 1 9
xdx
xdx
d
x
I x
x
C
x
x
x
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
Так как
2 3
(arctg3 )
,
1 9
dx
d
x
x
=
+
то по формуле (19.3) таблицы инте- гралов имеем:
(
)
5 5
5 2
2 2
arctg 3 1
3 1
arctg 3
arctg 3
arctg 3 3
3 1 9 1 9
x
dx
I
dx
x
x d
x
x
x
=
=
⋅
=
=
+
+
∫
∫
∫
6 6
1 arctg 3
arctg 3 3
6 18
x
x
C
C
= ⋅
+ =
+
Подставив найденные значения интегралов I
1
(x) и I
2
(x) в первона- чальный интеграл, приходим к ответу:
2 6
1 1
ln(1 9
)
arctg 3 18 18
x
x C
+
+
+
Пример 2. Методом подстановки найти интеграл:
1)
2 4
;
x dx
−
∫
2)
2 6
;
(
2)
x dx
x
+
∫
3)
2 2
1
dx
x
x
+
∫
Решение. 1) Используем метод подстановки. Положим
2 sin ,
x
t
=
тогда
2 cos
dx
tdt
=
(
)
2 2
2 4
4 2sin
2 cos
2 4 4sin cos
x dx
t
tdt
t
tdt
−
=
−
⋅
=
−
=
∫
∫
∫
(
)
2 2
2 1 cos 2 2
4 1 sin cos
4
cos cos
4 cos
4 2
t
t
tdt
t
tdt
tdt
dt
+
=
−
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
(
)
2 1 cos 2 2
2 cos 2 2
cos 2 (2 )
t dt
dt
tdt
t
td
t
=
+
=
+
= +
=
∫
∫ ∫
∫
2
sin 2 2
2 sin cos
t
t
C
t
t
t
C
= +
+ = +
+
Для вычисления последних интегралов использовали формулы
(19.4) и (19.9) таблицы интегралов. Выразим переменную t через пере- менную x.
16 sin
,
2
x
t
=
arcsin .
2
x
t
=
Тогда sin arcsin
,
2 2
x
x

 =




2 2
2 2
4 4
cos arcsin
1 sin arcsin
1 2
2 4
4 2
x
x
x
x
x
−
−




= −
= −
=
=








Получаем ответ:
2 2 arcsin
4 2
2
x
x
x
C
+
−
+
2) Применим подстановку
2,
x
t
= −
тогда
,
dx
dt
=
2.
t
x
= +
Та- ким образом,
(
)
(
)
2 2
2 6
6 6
4 5
6 2
4 4
1 4
4 2
t
x dx
t
t
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
x
−
− +


=
=
=
− +
=




+
∫
∫
∫
∫
(
)
3 4
5 4
5 6
4 4
4 4
3 4
5
t
t
t
t
t
t
dt
C
−
−
−
−
−
−
=
−
+
=
−
+
+ =
−
−
−
∫
(
) (
)
(
)
3 4
5 3
4 5
1 1
4 1
1 4
3 5
3 2
2 5
2
C
C
t
t
t
x
x
x
= −
+
−
+ = −
+
−
+
+
+
+
Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы интегралов.
3) Применим подстановку tg ,
x
t
=
тогда
2
cos
dt
dx
t
=
Получаем:
2 2
2 2
2 1
cos
1
tg
1 tg
dx
dt
t
x
x
t
x
=
+
+
∫
∫
Используя тригонометрическое тождество
2 2
1 1 tg
,
cos
x
x
+
=
имеем:
(
)
2 2
2 2
2 2
2 1
sin
1
cos cos cos sin cos sin sin sin cos
t
t
t
t
d
t
dt
dt
tdt
t
t
t
t
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅
∫
∫
∫
∫
(
)
(
)
1 2
sin
1
sin sin
1
sin
t
t
d
t
C
C
t
−
−
=
=
+ = −
+
−
∫
Вернемся к переменной x, для чего выразим t через x из подста- новки tg :
x
t
=
arctg .
t
x
=
Тогда
2 2
tg arctg sin sin arctg
1 tg arctg
1
x
x
t
x
x
x
=
=
=
+
+
Таким образом,
2 2
2 1
1
dx
x
C
x
x
x
+
= −
+
+
∫

17
Задания
I уровень
1.1. Найдите неопределенный интеграл, используя метод за- мены переменной:
1)
3 1
5 2
;
x
dx
−
∫
2)
5
;
(3 7 )
dx
x
−
∫
3)
(
)
cos 8 3
;
x
dx
+
∫
4)
;
5 8
dx
x
+
∫
5)
(
)
3 11 3 2
;
x dx
−
∫
6)
(
)
4 1
5
;
4 1
x
dx
x


+
+


−


∫
1.2. Найдите неопределенный интеграл, используя метод поднесения под знак дифференциала:
1)
2
;
4 49
dx
x
−
∫
2)
2
;
7 5
dx
x
−
∫
3)
2
;
9 25
dx
x
+
∫
4)
2
;
3 5
dx
x
+
∫
5)
2
;
9 4
dx
x
−
∫
6)
3 3
;
x
x
x
e
e
e
dx
−


+
+






∫
7)
2
;
16 9
dx
x
−
∫
8)
2
;
14 5
dx
x
+
∫
9)
2 2
2 1
1
sin 2
cos
x
dx
x


+






∫