Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
II уровень 2.1. Найдите неопределенный интеграл: 1) 2 5 1 ; 2 x dx x x + + − ∫ 2) 2 3 2 4 6 ; 2 x x dx x x x − − + − ∫ 3) 2 3 2 ; ( 1)( 5 6) x dx x x x + − − + ∫ 4) 4 2 2 2 1 ( 1) x x x dx x x + + + + ∫ 48 5) 3 2 5 5 23 ; ( 1)( 1)( 5) x x x dx x x x − + + − + − ∫ 6) 2 2 3 2 ; ( 1) ( 2) x x dx x x − + + − ∫ 7) 2 3 5 5 ; ( 1) ( 2) x x dx x x − + − − ∫ 8) 3 2 ; ( 1) dx x x − ∫ 9) 2 4 ; ( 2)( 1) x dx x x + + + ∫ 10) 5 3 2 2 11 19 5 4 ; 3 4 x x x x dx x x − − − + − + ∫ 2.2. Найдите неопределенный интеграл: 1) 3 2 3 ; ( 3)( 9) x x dx x x + + + + ∫ 2) 3 ; 1 xdx x + ∫ 3) 2 2 ; ( 3 5)( 2 3) dx x x x x − + + + ∫ 4) 3 2 2 2 2 2 2 ; ( 1) ( 1) x x x dx x x x + − − + + + ∫ 5) 2 2 2 3 2 4 ; ( 2)( 2 2) x x dx x x x − + + + + ∫ 6) 4 ; 1 dx x − ∫ 7) 4 2 2 3 3 11 ; ( 1)( 4) x x x dx x x + − − − + ∫ 8) 3 4 2 3 7 1 ; 5 6 x x dx x x + + + + ∫ 9) 4 2 3 ; 6 9 x dx x x + + + ∫ 10) 4 3 2 4 2 3 2 7 5 4 x x x x dx x x − + + − + + ∫ III уровень 3.1. Найдите неопределенный интеграл: 1) 2 2 ; (1 )(1 ) xdx x x + + ∫ 2) 5 4 3 2 2 2 2 2 3 11 18 16 32 ; ( 4) x x x x x dx x x − + − + − + ∫ 3) 5 2 4 ; (1 ) x dx x + ∫ 4) 7 2 4 32 (3 2 ) x dx x + ∫ 19.6. Интегрирование тригонометрических выражений Для вычисления интегралов вида sin( ) cos( ) , ax b cx d dx + + ∫ cos( )cos( ) , ax b cx d dx + + ∫ sin( )sin( ) , ax b cx d dx + + ∫ где a, b, c, d – 49 действительные числа, применяют следующие тригонометриче- ские формулы: 1 cos cos (cos( ) cos( )), 2 1 sin sin (cos( ) cos( )), 2 1 sin cos (sin( ) sin( )), 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = − + + = − − + = − + + (19.22) с помощью которых произведение тригонометрических функций переводится в сумму. Вычисление интеграла вида sin cos m n x xdx ∫ (19.23) зависит от показателей степеней m и n. Рассмотрим следующие случаи: 1. Если в формуле (19.23) m – нечетное положительное чис- ло, т. е. 2 1, m k = + , k ∈ N то подынтегральное выражение пре- образуется следующим образом: 2 1 2 2 2 sin sin sin sin (sin ) sin (1 cos ) sin . m k k k k x x x x x x x x + = = = = − Делают это с целью поднесения под знак дифференциала. Тогда 2 1 2 sin cos (1 cos ) cos sin k n k n x xdx x x xdx + = − = ∫ ∫ 2 2 (1 cos ) cos ( sin ) (1 cos ) cos (cos ). k n k n x x x dx x xd x = − − − = − − ∫ ∫ Получаем интеграл от степенной функции относительно cos . x В случае 1 m = сразу имеем: sin cos cos (cos ), R. n n x xdx xd x n = − ∀ ∈ ∫ ∫ Аналогично поступают, если в формуле (19.23) n – нечетное положительное число, т. е. отдельно множитель cos x можно поднести под знак дифференциала. 2. Если в формуле (19.23) 2 , m n k + = − , k ∈ N то: 1) подынтегральная функция представляет собой дробь, в числителе которой находится степень синуса, а в знаменателе – степень косинуса или наоборот (степень числителя меньше сте- пени знаменателя), причем показатели степени или оба четные 50 или оба нечетные; 2) подынтегральная функция представляет собой дробь, числитель которой постоянная величина, а знаменатель – произ- ведение степеней синуса и косинуса одинаковой четности. В этих случаях применяют подстановки tg t x = или ctg , t x = которые преобразуют подынтегральную функцию в степенную функцию относительно tg x или ctg . x При этом, если применяют подстановку tg , t x = то исполь- зуются формулы: 2 2 2 2 2 tg 1 1 sin ; cos ; 1 tg 1 1 tg 1 arctg ; 1 x t x x x t x t dt x t dx t = = = = + + + + = = + (19.24) Если применяют подстановку ctg , t x = то используются формулы: 2 2 2 2 2 1 1 ctg sin ; cos ; 1 ctg 1 1 ctg 1 arcctg ; 1 x t x x x t x t dt x t dx t = = = = + + + + = = − + (19.25) Для дроби первого вида, если в числителе находится сте- пень sin , x то рациональнее применить подстановку tg , t x = ес- ли в числителе находится степень cos , x то – подстановку ctg . x В случае, если 2 , m n k + = − , k ∈ N числа m и n могут быть не целыми. 3. Если 0 m n + = (m, n – целые числа), то подынтегральное выражение имеет один из видов sin cos m m x x или cos sin n n x x и тогда ин- теграл приводится к виду tg m xdx ∫ или ctg n xdx ∫ Для вычисле- ния следует применить соответственно подстановки tg x t = и 2 1 dt dx t = + или ctg , x t = 2 , 1 dt dx t = − + которые приводят к инте- гралам 2 1 m t dt t + ∫ или 2 1 n t dt t + ∫ соответственно. Выполняя деле- 51 ние (в первом случае m t делим на 2 1 , t + а во втором n t – на 2 1 t + ), придем к выражению, которое непосредственно интегри- руется. Для вычисления интегралов вида tg m xdx ∫ и ctg , m xdx ∫ , m ∈ N можно использовать также формулы: 2 2 1 tg 1, cos x x = − 2 2 1 ctg 1, sin x x = − (19.26) последовательно понижая степень тангенса или котангенса. С помощью формул (19.26) можно вычислять интегралы вида 2 1 tg , cos m n x dx x ∫ 2 1 ctg , sin m n x dx x ∫ где n – целое положительное число, и интегралы вида 2 , sin n dx x ∫ 2 , cos m dx x ∫ где m, n – целые положительные числа. 4. Интегралы вида 2 sin n xdx ∫ и 2 cos , n xdx ∫ n ∈ N вычис- ляются с помощью тригонометрических формул понижения сте- пени: ( ) 2 2 1 sin (1 cos 2 ), 2 1 cos 1 cos 2 2 x x x x = − = + (19.27) Интеграл вида 2 2 sin cos , m n x xdx ∫ (19.28) где , , m n ∈ N вычисляется с помощью формул (19.27) и формулы sin 2 2sin cos x x x = (19.29) 5. Интеграл вида (sin , cos ) , R x x dx ∫ где R – рациональная функция, аргументами которой являются sin x и cos , x т. е. над синусом и косинусом проводятся только рациональные опера- ции (сложение и вычитание, умножение на постоянные величи- ны, возведение в целые степени как положительные, так и отри- 52 цательные, деление), вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg . 2 x t = При этом 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2tg 1 tg 2 1 sin ; cos ; 1 1 1 tg 1 tg 2 2arctg ; 1 x x x x t t x x t t dt x t dx t − − = = = = + + + + = = + (19.30) Таким способом удобно вычислять интегралы вида 2 1 , sin n dx x + ∫ 2 1 , cos n dx x + ∫ а также , sin cos dx a x b x c + + ∫ где числа a, b одновременно не равны нулю. Вместе с тем, универсальная подстановка tg 2 x t = часто при- водит к громоздким вычислениям, поэтому ее следует применять в тех случаях, когда невозможно найти более удобный способ. Частные подстановки 1. Если (sin , cos ) R x x – нечетная функция относительно sin , x т. е. ( sin , cos ) (sin , cos ), R x x R x x − = − то подынтегральное выражение приводится к рациональной функции подстановкой cos . t x = 2. Если (sin , cos ) R x x – нечетная функция относительно cos , x т. е. (sin , cos ) (sin , cos ), R x x R x x − = − то подынтегральное выражение приводится к рациональной функции подстановкой sin . t x = 3. Если (sin , cos ) R x x – четная функция относительно sin x и cos , x т. е. ( sin , cos ) (sin , cos ), R x x R x x − − = то подынтеграль- ное выражение приводится к рациональной функции подстанов- кой tg . t x = 4. Интеграл ( ) tg R x dx ∫ приводится к рациональной функ- ции с помощью подстановки tg . t x = 5. Интеграл (ctg ) R x dx ∫ приводится к рациональной функ- ции с помощью подстановки ctg . t x = 53 Пример 1. Найти неопределенный интеграл: 1) sin 2 cos 4 ; x xdx ∫ 2) sin 4 cos 2 x xdx ∫ Решение. 1) Заменяя произведение sin 2 cos 4 x x по формуле (19.22), получаем: 1 1 (sin( 2 ) sin 6 ) (sin 6 sin 2 ) 2 2 x x dx x x dx − + = − = ∫ ∫ 1 1 1 1 1 cos 6 cos 2 cos 2 cos 6 2 6 2 4 12 x x C x x C = − + + = − + 2) Интеграл sin 4 cos 2 x xdx ∫ также можно вычислить, преобразуя произведение тригонометрических функций в сумму. Используем иной способ: ( ) 2 2 2 3 sin 4 cos 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 1 cos 2 2 sin 2 cos 2 (cos 2 ) cos 2 3 x xdx x x xdx x xdx x x dx xd x x C = = = = − − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Пример 2. Найти неопределенный интеграл: 1) 5 sin 2 ; xdx ∫ 2) 4 3 sin cos ; x xdx ∫ 3) 3 6 3 3 cos sin x x dx ∫ Решение. 1) Показатель степени синуса – нечетное натуральное число. Поэтому в подынтегральной функции выделим первую степень синуса: 5 4 2 2 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 (sin 2 ) sin 2 (1 cos 2 ) x x x x x x x = ⋅ = = − = 2 4 sin 2 (1 2 cos 2 cos 2 ). x x x = − + Получаем: 5 2 4 sin 2 (1 2 cos 2 cos 2 ) sin 2 xdx x x xdx = − + = ∫ ∫ 2 4 1 (1 2 cos 2 cos 2 )( 2 sin 2 ) 2 x x x dx = − − + − = ∫ ( ) ( ) 2 4 1 1 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 x x d x = − − + ∫ Интегрируя как степенную функцию относительно cos 2 , x получаем: 3 5 5 1 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 3 5 x x xdx x C = − − + + = ∫ 54 3 5 cos 2 cos 2 cos 2 2 3 10 x x x C = − + − + 2) В подынтегральной функции выделим степень косинуса: 4 3 4 2 4 2 sin cos sin cos cos sin (1 sin ) cos x x x x x x x x = = − = 4 6 (sin sin ) cos . x x x = − Получим: ( ) 4 3 4 6 4 6 sin cos (sin sin ) cos (sin sin ) sin x xdx x x xdx x x d x = − = − ∫ ∫ ∫ Интегрируя как степенную функцию относительно sin , x получаем: 5 7 4 3 sin sin sin cos 5 7 x x x xdx C = − + ∫ 3) Поскольку 3 2 2 cos cos cos 1 sin cos , 3 3 3 3 3 x x x x x = ⋅ = − то имеем: 2 2 3 6 6 6 2 6 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 sin cos 1 sin cos cos 3 sin sin sin 1 sin 3 sin 3 sin x x x x x x x x x x dx dx dx x d − − = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ Применим подстановку sin 3 x t = ( ) 2 5 3 6 4 6 5 3 1 3 1 3 3 3 5 3 5 t t t dt t t dt C C t t t − − − − − = − = − + = − + + − − ∫ ∫ Возвращаемся к старой переменной. Заменяем t на sin 3 x и полу- чаем: 3 6 5 3 3 3 3 3 cos 3 1 sin 5sin sin x x x x dx C = − + + ∫ Пример 3. Найти неопределенный интеграл: 1) 4 6 sin ; cos x dx x ∫ 2) 3 7 cos 3 ; sin 3 x dx x ∫ 55 3) 6 ; cos 2 dx x ∫ 4) 3 5 sin cos dx x x ∫ Решение. 1) Показатель степени синуса 4, m = показатель степени косинуса 6, n = − 2 m n + = − – четное отрицательное число. Так как в числителе находится степень синуса, то применим подстановку tg t x = и используем формулы (19.24). Получаем: 4 4 4 5 2 2 2 4 6 6 2 2 2 3 2 (1 ) 1 1 1 (1 ) 1 sin 5 cos 1 1 t t t t t t x dt dt t dx t dt C x t t + + + + = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Заменив t на tg , x окончательно получаем: 4 5 6 sin tg 5 cos x x dx C x = + ∫ 2) Показатель степени синуса 7, m = − показатель степени косину- са 3, n = 4 m n + = − – четное отрицательное число. Так как в числи- теле находится степень косинуса, то удобнее применить подстановку ctg 3 , t x = 2 1 arcctg , 3 3(1 ) dt x t dx t = = − + Используя формулы (19.25), получаем: 3 2 7 2 3 3 3 2 2 7 7 2 2 2 2 (1 ) 1 1 1 1 (1 ) cos 3 1 3 sin 3 3(1 ) 1 t t t t t t x dt dt dx x t t + + + + = = − = + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 4 6 4 6 3 2 3 5 1 1 1 1 3 3 3 4 6 12 18 t t t t t t dt t t dt C C = − + = − + = − + + = − − + ∫ ∫ Заменив t на ctg , x получаем: 3 4 6 7 cos 3 ctg ctg 12 18 sin 3 x x x dx C x = − − + ∫ 3) 1-й способ. Показатель степени синуса 0, m = показатель сте- пени косинуса 6, n = − 6 m n + = − – четное отрицательное число. При- меним подстановку tg 2 , t x = тогда arctg , 2 t x = 2 2(1 ) dt dx t = + Исполь- зуя формулы (19.24), получаем: 56 6 6 2 2 2 3 2 1 1 (1 ) 1 1 1 1 2 cos 2 2(1 ) (1 ) t t dx dt dt x t t + + = = = + + ∫ ∫ ∫ ( ) 3 5 2 2 2 4 3 5 1 1 1 2 (1 ) 1 2 2 2 2 3 5 2 3 10 t t t dt t t dt t C t t t C = + = + + = + + + = = + + + ∫ ∫ Заменяем t на tg x и получаем: 3 5 6 tg tg tg 2 3 10 cos 2 dx x x x C x = + + + ∫ 2-й способ. Преобразуем подынтегральное выражение и применим формулы (19.26): 2 2 6 2 2 2 2 1 1 1 (2 ) (1 tg 2 )(1 tg 2 ) 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 dx dx d x x x x x x x x = = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 1 1 1 tg 2 tg 2 1 2tg 2 tg 2 tg2 2 2 x d x x x d x = + = + + Интегрируя как степенную функцию относительно tg2 , x получаем: ( ) 2 4 6 3 5 3 5 1 (1 2tg 2 tg 2 ) tg2 2 cos 2 1 2tg 2 tg 2 tg2 tg 2 tg 2 tg2 2 3 5 2 3 10 dx x x d x x x x x x x x C C = + + = = + + + = + + + ∫ ∫ 4) Имеем 5, m = − 3, n = − 8 m n + = − – четное отрицательное чис- ло. Применим подстановку tg t x = и формулы (19.24), получаем: 3 5 3 2 3 2 5 2 4 2 2 (1 ) 1 1 1 sin cos 1 1 1 1 t t t t dx dt dt x x t t t + + = = = + + + ∫ ∫ ∫ 2 3 2 4 6 3 3 3 3 (1 ) 1 3 3 2 3 t t t t dt dt t t t dt t t t − + + + + = = = + + + = ∫ ∫ ∫ 2 4 2 4 2 2 1 3 1 3tg tg 2 ln 2 ln tg 2 4 2 4 2 2tg t t x x t C x C t x = − + + + + = − + + + + |