Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 4 из 31

II уровень
2.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2 7
3
;
8 3
x
dx
x
x
−
−
+
∫
2)
2 6
5
;
3 2
1
x
dx
x
x
−
−
−
∫
3)
2 3
5
;
9 6
2
x
dx
x
x
−
−
−
∫
4)
2 2
3 1 3 4
x
dx
x
x
+
−
−
∫
2.2. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2
;
1
dx
x x
+
∫
2)
2
;
20 4
1
dx
x
x
x
−
+
∫
3)
(
)
2
;
1 8 2
dx
x
t
t
−
− −
∫
4)
2 2
1
dx
x
x
−
∫
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2
sin
;
cos
4cos
8
xdx
x
x
−
+
∫
2)
2
ln
1
;
7 6ln ln
x
dx
x
x
x
+
−
−
∫
3)
(
)
2
;
2 1
5 4
1
dx
x
x
x
+
+
+
∫
4)
4 2
2 5
x dx
x
x
+
+
∫
19.4. Метод интегрирования по частям
Пусть функции
( )
u
u x
=
и
( )
x
ν ν
=
имеют непрерывные производные
( )
u
u x
′
′
=
и
( ).
x
ν ν
′
′
=
Тогда имеет место равенство
udv
uv
vdu
=
−
∫
∫
(19.20)
Формула (19.20) задает метод интегрирования по частям, согласно которому интегрирование выражения udv сводится к интегрированию выражения vdu Применение формулы (19.20) предполагает, что в правой части интеграл vdu
∫
может быть
26 вычислен легче, чем исходный. Формула (19.20) может быть за- писана также в виде
uv dx
uv
vu dx
′
′
=
−
∫
∫
Рациональность вычисления некоторых интегралов зависит от того, как выбраны функции ( )
u x и ( )
v x
′
в заданном интеграле.
Формула интегрирования по частям может применяться не- однократно.
Рассмотрим следующие случаи:
1. Для вычисления интегралов вида
( )
,
ax
n
P x e dx
∫
( )sin
,
n
P x
axdx
∫
( ) cos
,
n
P x
axdx
∫
где
( )
n
P x – многочлен степени
n, в качестве функции ( )
u x следует взять многочлен
( ),
n
P x а в качестве dv – одно из выражений
,
ax
e dx sin
,
axdx cos axdx соот- ветственно. При этом формулу интегрирования по частям следу- ет применять n раз.
2. Для интегралов вида cos
ax
e
bxdx
∫
и sin
ax
e
bxdx
∫
в каче- стве функции ( )
u x можно взять
ax
e или cosbx
(
)
sin
bx Форму- лу интегрирования по частям следует применить дважды, а за- тем из полученного равенства, как из уравнения, найти заданный интеграл.
3. Для интегралов вида
( ) ln
,
n
P x
xdx
∫
( ) arcsin
,
n
P x
xdx
∫
( )arccos
,
n
P x
xdx
∫
( )arctg
,
n
P x
x dx
∫
( )arcctg
,
n
P x
x dx
∫
sin ln
,
xdx
∫
cos ln xdx
∫
в качестве u(x) берут функции lnx, arcsin ,
x arccos ,
x arctg ,
x arcctg ,
x sin ln ,
x cos ln ,
x а в качестве dv – выражение
( )
n
P x dx Такой подход используют и тогда, когда
( ) 1.
n
P x
≡
Во многих случаях подынтегральная функция зависит не только от аргумента, но и от натурального индекса n. Методом интегрирования по частям удается привести интеграл к интегра- лу такой же формы, но с меньшим значением индекса. После не- скольких таких шагов приходят к интегралу, который можно

27 вычислить с помощью таблицы. Такой метод интегрирования называют рекуррентным методом, а полученную формулу –
рекуррентной формулой.
Пример 1. Методом интегрирования по частям найти неопреде- ленный интеграл:
1)
1
(5 1)
;
x
x
e
dx
−
+
∫
2) ln
;
xdx
∫
3)
(
)
2 2
3 sin
2
x
x
x
dx
−
+
∫
Решение. 1) Положим
5 1,
u
x
=
+
1
x
dv
e
dx
−
=
Тогда
5
,
du
dx
=
1
x
v
e
−
=
Используя формулу (19.20) интегрирования по частям, полу- чаем:
1 1
1 1
1
(5 1)
(5 1)
5
(5 1)
5
(
1)
x
x
x
x
x
x
e
dx
x
e
e
dx
x
e
e
d x
−
−
−
−
−
+
=
+
−
⋅
=
+
−
− =
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
5 1
5 5
1 5 5
4
x
x
x
x
x
e
e
C
x
e
C
x
e
C
−
−
−
−
=
+
−
+ =
+ −
+ =
−
+
2) Применим формулу (19.20) интегрирования по частям: ln ,
,
ln ln
,
u
x dv
dx
dx
xdx
x
x
x
dx
du
v
x
x
x
=
=
=
=
−
=
=
=
∫
∫
ln ln
x
x
dx
x
x
x C
=
−
=
− +
∫
3) Положим
2 2
3,
u
x
x
=
−
+
sin
2
x
dv
dx
=
Тогда
2 cos ,
2
x
v
= −
(
)
(
)
2 2
2 1
du
x
dx
x
dx
=
−
=
−
Применяя формулу (19.20), получаем:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 3 sin
2 2
3 cos
2 cos
2 1
2 2
2
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx


−
+
= −
−
+
−
−
⋅
−
=




∫
∫
(
)
(
)
2 2
2 3 cos
4 1 cos
2 2
x
x
x
x
x
dx
= −
−
+
+
−
∫
Применив формулу интегрирования по частям, понизили степень многочлена на единицу. Чтобы найти
(
)
1 cos
,
2
x
x
dx
−
∫
применим еще раз метод интегрирования по частям. Положим
1,
u
x
= −
cos
2
x
dv
dx
=
Тогда
,
du
dx
=
2 sin .
2
x
v
=
Получаем:
(
)
(
)
2 2
2 3 cos
4 2 1 sin
2sin
2 2
2
x
x
x
x
x
x
dx


−
−
+
+
−
−
=




∫
28
(
)
(
)
2 2
2 3 cos
8 1 sin
8 sin
2 2
2
x
x
x
x
x
x
dx
= −
−
+
+
−
−
=
∫
(
)
(
)
2 2
2 3 cos
8 1 sin
16 cos
2 2
2
x
x
x
x
x
x
C
= −
−
+
+
−
+
+ =
(
)
(
)
2 2
2 5 cos
8 1 sin
2 2
x
x
x
x
x
C
= −
−
−
+
−
+
Пример 2. Методом интегрирования по частям найти неопреде- ленный интеграл:
1)
2 4
;
x dx
−
∫
2)
2
cos3
x
e
xdx
∫
Решение. 1)Интеграл
2 4
x dx
−
∫
уже был вычислен в параграфе
19.2. (см. пример 2, с. 15–16 данного пособия) методом подстановки.
Рассмотрим второй способ его вычисления, используя метод интегри- рования по частям:
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
,
,
4 4
,
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
xdx
x
u
x
dv
dx
xdx
x dx
x
x
x
du
v
x
x
x dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
dx
dx
dx x
x
x dx
x
x
x
−
−
=
−
=
−
−
=
=
−
−
⋅
=
=
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
+
=
−
−
−
+
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Вычислим последний интеграл, используя формулу (19.14) табли- цы интегралов. Получим равенство
2 2
2 4
4 4
4 arcsin .
2
x
x dx
x
x
x dx
−
=
−
−
−
+
∫
∫
В правой части этого равенства получили исходный интеграл.
Найдем его из уравнения:
2 2
2 4
4 4 arcsin
,
2
x
x dx
x
x
−
=
−
+
∫
откуда получаем ответ:
2 2
4 4
2 arcsin
2 2
x
x
x dx
x
C
−
=
−
+
+
∫
2) Используя формулу интегрирования по частям дважды, получаем:
2 2
2 1
3
,
cos3
,
cos3 2
,
sin 3
x
x
x
u
e
dv
xdx
e
xdx
du
e dx v
x
=
=
=
=
=
=
∫

29 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
3 1
1 1
2
sin 3
sin 3 2
sin 3
sin 3 3
3 3
3
,
sin 3
,
2
,
cos 3 1
2 1
1
sin 3
cos 3
cos 3 2
3 3
3 3
1 2
4
sin 3
cos 3
cos 3 3
9 9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
e dx
e
x
e
xdx
u
e
dv
xdx
du
e dx v
x
e
x
e
x
x
e dx
e
x
e
x
e
xdx
=
−
⋅
=
−
=
=
=
=
=
=
= −




=
−
−
−
−
⋅
=








=
+
−
∫
∫
∫
∫
В результате получили равенство
2 2
2 2
1 2
4
cos 3
sin 3
cos 3
cos3
,
3 9
9
x
x
x
x
e
xdx
e
x
e
x
e
xdx
=
+
−
∫
∫
из которого находим:
2 2
2 13 1
2
cos 3
sin 3
cos 3 ;
9 3
9
x
x
x
e
xdx
e
x
e
x
=
+
∫
2 2
2 9
1 2
cos 3
sin 3
cos 3 13 3 9
x
x
x
e
xdx
e
x
e
x


=
+




∫
Приходим к ответу:
(
)
2 2
cos 3 3sin 3 2 cos 3 13
x
x
e
e
xdx
x
x
C
=
+
+
∫
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
2
sin cos
x
x
xdx
∫
Решение. Используя формулу (19.20) интегрирования по частям, получаем:
(
)
(
)
3 2
2 2
2 3
3 3
2 3
3 2
3 3
sin
3
,
sin cos
,
sin cos
,
sin cos sin
(sin )
1 1
1 1
sin sin sin sin sin
3 3
3 3
1 1
1 1
cos sin
1 cos cos sin cos
3 3
3 3
3 1
1 1
sin cos cos
3 3
9
x
u
x dv
x
xdx
x
x
xdx
du
dx v
x
xdx
xd
x
x
x
xdx
x
x
x
x dx
x
x
x
x d
x
x
x
x
C
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
=
+
−
=


=
+
−
=
+
−
+ =




=
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
3
x C
+
Пример 4. Найти неопределенный интеграл
(
)
3 2
16
dx
x
+
∫
30
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
3 3
3 2
2 2
2 2
3 2
2 1
16 1
16 16 16 16 16 16 1
1 16 16 16 16
dx
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x dx
x
x
+
−
=
=
=
+
+
+
=
−
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
Последний интеграл вычислим, применяя формулу интегрирова- ния по частям.
Полагаем
,
u
x
=
du
dx
=
Если
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2 3
2 2
3 3
2 2
1 16 1
16 16 ,
2 2
16 16
xdx
d x
dv
x
d x
x
x
−
+
=
=
=
+
+
+
+
то
(
) (
)
(
)
(
)
2 2
3 2
2 2
2 1
1 16 1
16 16 2
2 2
4 16
x
v
x
d x
x
−
−
+
=
+
+
=
= −
−
+
∫
Тогда
2 2
3 2
2 2
2 1
4
(
16)
4(
16)
(
16)
x dx
x
dx
x
x
x
= −
+
+
+
+
∫
∫
Таким образом, получаем выражение интеграла
(
)
3 2
16
dx
x
+
∫
через интеграл
(
)
2 2
16
dx
x
+
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 16 16 4
16 16 4
16 16
dx
dx
x
dx
x
x
x
x




=
−
−
+
=


+
+
+
+


∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
16 64 16 64 16 16 3
64 16 64 16
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
=
+
−
=
+
+
+
=
+
+
+
∫
∫
∫
Вычисляем
(
)
2 2
16
dx
x
+
∫
аналогично первоначальному.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
1 16 1
16 16 16 16 16 16
dx
dx
x
x
dx
x
x
x
+
−
=
=
=
+
+
+
∫
∫
∫
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1
arctg
16 16 64 4
16 16 16 16
dx
x dx
x
x dx
x
x
x
=
−
=
−
+
+
+
∫
∫
∫

31
Для вычисления последнего интеграла применяем формулу интег- рирования по частям:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2
,
,
1 16
,
2 16 16 1
16 1
16 16 16 2
2 16 1
16 1
2 1
2 16
u
x du
dx
xdx
d x
dv
x
x
x dx
d x
v
x
d x
x
x
x
x
−
−
=
=
+
=
=
+
+
+
=
=
=
=
+
+
=
+
+
+
=
= −
−
+
∫
∫
∫
(
)
(
)
2 2
2 1
1
arctg .
2 8
4 16 2
16 2
16
x
dx
x
x
x
x
x
= −
+
= −
+
+
+
+
∫
Имеем:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1
1 1
arctg arctg
64 4
16 8
4 2
16 16 1
1 1
arctg arctg arctg .
64 4
128 4
128 4
32 16 32 16
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


=
−
−
+
=


+


+
=
+
−
=
+
+
+
∫
Получаем:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
2 2
2 2
2 2
3 1
arctg
64 128 4
32 16 16 64 16 3
3
arctg
8192 4
2048 16 64 16
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
x


=
+
+
=


+


+
+
=
+
+
+
+
+
∫
Пример 5. Получить рекуррентную формулу для вычисления ин- теграла cos
,
N,
2.
n
xdx n
n
∈
≥
∫
Используя ее, вычислить
5
cos
xdx
∫