Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 14 из 31

2. Длина дуги кривой
Если функция f
(x) имеет непрерывную производную на от- резке [a; b], то длина дуги кривой, заданной уравнением
ρ = ρ(φ)
φ
2
φ
1
ρ = ρ
1
(φ)
ρ = ρ
2
(φ)
φ
2
φ
1 106
( ),
y
f x
=
где
[ ]
;
,
x
a b
∈
вычисляется по формуле
2 1 (
( ))
b
a
l
f x
dx
′
=
+
∫
(20.14)
Если кривая задана уравнением
( )
x
g y
=
на отрезке [c; d] и функция
( )
x
g y
=
имеет непрерывную производную для
[ ]
;
,
y
c d
∈
то длина дуги определяется по формуле
2 1 ( ( ))
d
c
l
g y
dy
′
=
+
∫
(20.15)
Если кривая задана параметрически на плоскости xOy урав- нениями
[
]
( ),
;
,
( ),
x
t
t
y
t
ϕ
α β
ψ
=

∈
 =

где ( )
t
ϕ
и
( )
t
ψ
– дифференцируемые функции на
[
]
;
,
α β причем ( ) 0,
t
ϕ
′ ≠
и
( ),
a
ϕ α
=
( ),
b
ϕ β
=
то длина дуги этой кри- вой, заключенной между двумя точками с абсциссами x a
=
и
,
x
b
=
вычисляется по формуле
(
) (
)
2 2
( )
( )
l
t
t
dt
β
α
ϕ
ψ
′
′
=
+
∫
(20.16)
Если кривая задана в пространстве параметрическими урав- нениями
[
]
( ),
( ),
;
,
( ),
x
t
y
t
t
z
t
ϕ
ψ
α β
χ
=

 =
∈

 =

где ( ),
t
ϕ
( ),
t
ψ
( )
t
χ
– непрерывно дифференцируемые функции на отрезке
[
]
;
,
α β то длина дуги кривой вычисляется по формуле
(
) (
) (
)
2 2
2
( )
( )
( )
l
t
t
t
dt
β
α
ϕ
ψ
χ
′
′
′
=
+
+
∫
(20.17)
Если кривая задана уравнением
( ),
ρ ρ ϕ
=
[
]
1 2
;
,
ϕ ϕ ϕ
∈
в по- лярной системе координат, где
( )
ρ ρ ϕ
=
– функция, которая имеет непрерывную производную при
[
]
1 2
;
,
ϕ ϕ ϕ
∈
то длина ду- ги вычисляется по формуле

107
(
)
2 1
2 2
( )
( )
l
d
ϕ
ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ
′
=
+
∫
(20.18)
3. Объем тела
Если известна площадь S(x) сечения тела плоскостью, пер- пендикулярной к оси Ox, причем S(x) является непрерывной функцией на отрезке [a; b], то объем тела, заключенного между плоскостями x a
=
и
,
x
b
=
перпендикулярными к оси Ox
(рис. 20.10), вычисляется по формуле
( )
b
a
V
S x dx
=
∫
(20.19)
Рис. 20.10
4. Объем и площадь поверхности тела вращения
Если тело ограничивает поверхность, полученную вращени- ем кривой
( ),
y
f x
=
[ ]
;
,
x
a b
∈
вокруг оси Ox (рис. 20.11), то его объем вычисляется по формуле
2
( )
,
b
a
V
f
x dx
π
=
∫
(20.20) а площадь поверхности – по формуле
(
)
2 2
( ) 1
( )
b
a
S
f x
f x
dx
π
′
=
+
∫
(20.21)
Если тело ограничено поверхностью, которая образована вращением кривой
( ),
y
f x
=
[ ]
;
,
x
a b
∈
вокруг оси Oy, то его объем вычисляется по формуле
S(x)
a
b
x
108 2
( ) .
b
a
V
xf x dx
π
=
∫
(20.22)
Если тело ограничено поверхностью, полученной вращени- ем кривой
( ),
x
g y
=
[
]
;
,
y
c d
∈
вокруг оси Oy (рис. 20.12), то его объем вычисляется по формуле
2
( )
,
d
c
V
g
y dy
π
=
∫
(20.23) а площадь поверхности – по формуле
(
)
2 2
( ) 1
( )
d
c
S
g y
g y
dy
π
′
=
+
∫
(20.24)
Рис. 20.11
Рис. 20.12
Если плоская фигура, ограниченная кривыми
1
( ),
y
f x
=
2
( )
y
f x
=
и прямыми
;
x
a
=
;
x
b
=
1 2
0
( )
( )
f x
f x
≤
≤
для
[ ]
;
,
x
a b
∈
вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле
(
)
2 2
2 1
( )
( )
b
a
V
f
x
f
x dx
π
=
−
∫
(20.25)
Если плоская фигура, ограниченная кривыми
1
( ),
x
g y
=
2
( )
x
g
y
=
и прямыми
,
y
c
=
,
y
d
=
1 2
0
( )
( )
g y
g
y
≤
≤
для
[
]
;
,
y
c d
∈
вращается вокруг оси Oy, то объем тела вращения вычисляется по формуле
a
b
x
y
0
d
x
y
0
c

109
(
)
2 2
2 1
( )
( )
d
c
V
g
y
g
y dy
π
=
−
∫
(20.26)
Если кривая, заданная параметрическими уравнениями
[
]
( ),
;
,
( ),
x
t
t
y
t
ϕ
α β
ψ
=

∈
 =

вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле
2
( ) ( ) ,
V
t
t dt
β
α
π ψ
ϕ
′
=
∫
(20.27) а площадь поверхности вращения – по формуле
2 2
2
( ) ( ( ))
(
( ))
S
t
t
t
dt
β
α
π ψ
ϕ
ψ
′
′
=
+
∫
(20.28)
Если тело получено вращением сектора, ограниченного кри- вой
( )
ρ ρ ϕ
=
и лучами
1
,
ϕ ϕ
=
2
,
ϕ ϕ
=
вокруг полярной оси, то его объем вычисляется по формуле
2 1
3 2
( )sin
,
3
V
d
ϕ
ϕ
π ρ ϕ
ϕ ϕ
=
∫
(20.29) а площадь поверхности – по формуле
2 1
2 2
2
( )sin
( )
(
( ))
S
d
ϕ
ϕ
π ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ
′
=
+
∫
(20.30)
5. Физические приложения определенного интеграла
Путь, пройденный телом со скоростью
( )
V
V t
=
за проме- жуток времени
[
]
1 2
;
t
t
(
)
( )
0
V t
≥
вычисляется по формуле
2 1
( ) .
t
t
S
V t dt
=
∫
(20.31)
Если материальная точка движется по оси Ox из точки x a
=
до точки x b
=
под действием направленной вдоль оси Ox пере- менной силы F(x), которая задается непрерывной функцией, то
работа, произведенная силой F по перемещению точки, вычис-
110 ляется по формуле
( )
b
a
A
F x dx
=
∫
(20.32)
Давление жидкости на погруженную в нее в горизонтальном положении пластинку на глубину h от поверхности жидкости вычисляется по закону Паскаля:
,
P
ghS
ρ
=
где g – ускорение свободного падения:
2 9,8 ì /c ,
g
=
S – площадь пластинки,
ρ – плотность жидкости. Если пластинка погружена в жидкость в вертикальном положении, то сила давления жидкости на единицу площади изменяется с глубиной погружения. Давление жидкости
на вертикальную пластинку, ограниченную линиями
( ),
y
f x
=
,
x
a
=
,
x
b
=
0
y
=
(рис. 20.13), вычисляется по формуле
( )
b
a
P
g xf x dx
ρ
=
∫
(20.33)
Давление жидкости на вертикальную пластину, ограничен- ную линиями
1
( ),
y
f x
=
2
( ),
y
f x
=
,
x
a
=
x
b
=
(рис. 20.14), вы- числяется по формуле
(
)
2 1
( )
( )
b
a
P
g x f x
f x dx
ρ
=
−
∫
(20.34)
Рис. 20.13
Рис. 20.14
Масса неоднородного стержня, расположенного на отрезке
[a; b] оси Ox, имеющего линейную плотность
( ),
x
ρ
где
( )
x
ρ
– непрерывная на [a; b] функция, вычисляется по формуле
( )
b
a
m
x dx
ρ
=
∫
(20.35)
a
b
y
=
f(x)
y
0
y
=
f
2
(x)
y
a
b
0
y
=
f
1
(x)

111
Если дуга плоской кривой задана уравнением
( ),
y
f x
=
где
[ ]
;
,
x
a b
∈
и имеет плотность
( ),
x
ρ ρ
=
[ ]
;
,
x
a b
∈
то стати-
стические моменты
x
M и
y
M этой дуги относительно коорди- натных осей Ox и Oy вычисляются, соответственно, по формулам:
2 2
( ) ( ) 1 (
( ))
,
( )
1 (
( ))
b
x
a
b
y
a
M
x f x
f x
dx
M
x x
f x
dx
ρ
ρ
′
=
+
′
=
+
∫
∫
(20.36)
Если кривая задана параметрическими уравнениями
( ),
x
t
ϕ
=
( ),
y
t
ψ
=
,
t
α
β
≤ ≤
имеет однородную плотность
1,
ρ
=
то формулы имеют вид:
(
) (
)
(
) (
)
2 2
2 2
( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
x
y
M
t
t
t
dt
M
t
t
t
dt
β
α
β
α
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
′
′
=
+
′
′
=
+
∫
∫
(20.37)
Моменты инерции дуги плоской кривой
( ),
y
f x
=
где
[ ]
;
,
x
a b
∈
имеющей плотность
( ),
x
ρ ρ
=
вычисляются по формулам:
2 2
2 2
( )
( ) 1 ( ( ))
,
( )
1 (
( ))
b
x
a
b
y
a
I
x f
x
f x
dx
I
x x
f x
dx
ρ
ρ
′
=
+
′
=
+
∫
∫
(20.38)
Если кривая задана параметрическими уравнениями
( ),
x
t
ϕ
=
( ),
y
t
ψ
=
,
t
α
β
≤ ≤
1,
ρ
=
то формулы имеют вид:
(
) (
)
(
) (
)
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
x
y
I
t
t
t
dt
I
t
t
t
dt
β
α
β
α
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
′
′
=
+
′
′
=
+
∫
∫
(20.39)
112
Координаты центра масс дуги плоской кривой
( ),
y
f x
=
где
[ ]
;
,
x
a b
∈
имеющей плотность
( ),
x
ρ ρ
=
вычисляются по формулам:
2 2
( )
1 (
( ))
,
( ) ( ) 1 (
( ))
,
b
y
a
c
b
x
a
c
x x
f x
dx
M
x
M
M
x f x
f x
dx
M
y
M
M
ρ
ρ
′
+
=
=
′
+
=
=
∫
∫
(20.40) где M – масса дуги:
2
( ) 1 (
( ))
b
a
M
x
f x
dx
ρ
′
=
+
∫
Если кривая задана параметрическими уравнениями
( ),
x
t
ϕ
=
( ),
y
t
ψ
=
,
t
α
β
≤ ≤
1,
ρ
=
то формулы имеют вид:
,
,
y
x
c
c
M
M
x
y
M
M
=
=
(20.41) где М – масса дуги:
(
) (
)
2 2
( )
( )
M
t
t
dt
β
α
ϕ
ψ
′
′
=
+
∫
Пример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограни- ченной линиями:
1)
2 2
2,
y
x
x
=
−
+
0,
x
=
3,
x
=
0;
y
=
2) cos ,
y
x
=
,
6
x
π
= −
13
,
6
x
π
=
0;
y
=
3)
2 3
,
y
x
= −
2 ;
y
x
=
4)
2
,
x
y
=
2 2
x
y
= −
Решение. 1) Построим график функции
2 2
2,
y
x
x
=
−
+
т. е.
2
(
1)
1.
y
x
= −
+
Проведем прямые
0,
x
=
3
x
=
и
0.
y
=
Заштрихуем искомую фигуру (рис. 20.15).
Площадь данной фигуры находим по формуле (20.6)
3 3
3 2
2 0
0
(
2 2)
2 9 9 6 6.
3
x
S
x
x
dx
x
x


=
−
+
=
−
+
= − + =




∫

113
Рис. 20.15 2) Фигура имеет вид, изображенный на рис. 20.16.
Рис. 20.16
Так как на отрезке
13
;
6 6
π
π


−




функция принимает значения раз- ных знаков, то разобьем отрезок интегрирования на такие части, где функция принимает значения одного знака. Для нахождения площади фигуры воспользуемся формулами (20.6) и (20.7):
13 3
6 2
2 3
6 2
2
cos cos cos
S
xdx
xdx
xdx
π
π
π
π
π
π
−
=
−
+
=
∫
∫
∫
13 3
2 6
2 3
6 2
2 1
1
sin sin sin
1 1 1 1
5.
2 2
x
x
x
π
π
π
π
π
π
−
=
−
+
= + + + + + =
3) Построим графики функций
2 3
y
x
= −
и
2 ,
y
x
=
заштрихуем искомую фигуру (рис. 20.17). Найдем пределы интегрирования, т. е.
1 1
y
x
2 3
2
y
=
x
2
–
2x
+
2 0
3 4
5 0
х
1 6
π
−
13 6
π
2
π
у
2
π
3 2
π
2
π
−
π
у = cos
x
114 абсциссы точек пересечения графиков функций. Для этого решим сис- тему уравнений
2 3
,
2 .
y
x
y
x
 = −
 =

Рис. 20.17
Имеем
2 2
3
,
x
x
= −
2 2
3 0,
x
x
+
− =
1 3,
x
a
= = −
2 1.
x
b
= =
Площадь данной фигуры находим по формуле (20.8)
(
)
1 3
1 2
2 3
3 1
(3 2 )
3 3
1 9 9 9 3
3
x
S
x
x dx
x
x
−
−




=
−
−
=
−
−
=
− − − − + − =








∫
1 2
2 9
10 .
3 3
= − + =
4) Построим графики функции
2
x y
=
и
2 2
x
y
= −
с независимой переменной y. Они образуют плоскую фигуру (рис. 20.18). Найдем ор- динаты точек пересечения графиков данных функций. Для этого ре- шим систему уравнений
2 2
2
,
x
y
x
y
 = −


=

Имеем
2 2
2
,
y
y
= −
2 2
2,
y
=
2 1,
y
=
1 1,
y
c
= = −
2 1.
y
d
= =
Площадь данной фигуры находим по формуле (20.10)
1 1
3 1
2 2
2 1
1 1
2
(2
)
(2 2
)
2 3
y
S
y
y dy
y dy
y
−
−
−


=
−
−
=
−
=
−
=




∫
∫
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 .
3 3
3 3
3


= − − − +
= − + − =




0 1
y
x
–6 3
y
=
2x
y
=
3
–
x
2 3
–3

115
Рис. 20.18