Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 16 из 31

Пример 7. Используя определенный интеграл, получить формулу площади поверхности сферы.
Решение. Вычислим площадь поверхности сферы по формуле
(20.21). Так как
2 2
2
y
R
x
=
−
(рис. 20.26), то
2 2 ,
y y
x
′
⋅ = −
,
x
y
y
′ = −
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
x
y
x
R
R
y
y
y
y
y
+
′
+
=
+
=
=
=
Тогда
2 1
R
y
y
y
R
y
′
⋅ +
= ⋅ =
Получаем формулу площади поверхности сферы:
V
x
x
R
R
O
–
R
r
124
( )
(
)
2 2
2 1
2 2
2 4
R
R
R
R
R
R
S
y
y dx
Rdx
Rx
R R
R
R
π
π
π
π
π
−
−
−
′
=
+
=
=
=
− −
=
∫
∫
Пример 8. Найти объем тела:
1) образованного вращением вокруг оси Ox параболы
2
y
x
=
и ог- раниченного плоскостью
4;
x
=
2) образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
2
y
x
=
и
2 ,
y
x
=
вокруг оси Oy.
Решение. 1) Для вычисления объема тела (рис. 20.27) применим формулу (20.20):
4 4
2 4 2
0 0
0 8 .
2
x
V
y dx
xdx
π
π
π
π
=
=
=
=
∫
∫
Площадь боковой поверхности вычислим по формуле (20.21). Вы- разив y через x, получим
y
x
=
Находим:
1
,
2
y
x
′ =
и
2 1
4 1
1 1
4 4
x
y
x
x
+
′
+
=
+
=
Тогда
(
) (
)
4 4
4 1
2 0
0 0
4 1
2 1 4 1 4 1 4 4
4
x
S
x
dx
xdx
x
d
x
x
π
π
π
+
=
=
+
=
+
+
=
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
3 4
4 2
3 3
0 0
3 2
1 4 1 4 17 1
17 17 1 .
4 6
6 6
x
x
π
π
π
π
+
=
=
+
=
− =
−
Рис. 20.27 2
4
–
2
y
x

125 2) Построим графики функций
2
y
x
=
и
2 ,
y
x
=
заштрихуем обра- зованную ими плоскую фигуру (рис. 20.28). Найдем пределы интегри- рования, т. е. ординаты точек пересечения графиков функций. Для это- го решим систему уравнений
2
,
2 .
y
x
y
x
 =
 =

Рис. 20.28
Имеем:
1 0,
x
=
2 2,
x
=
тогда
1 0,
y
=
2 4.
y
=
Представив заданные функции как функции переменной у, получим:
,
x
y
=
,
2
y
x
=
где
[0; 4].
y
∈
Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси
Oy, вычислим по формуле (20.26):
( )
4 4
2 2
2 3
4 2
0 0
0 2
4 2
12
y
y
y
y
V
y
dy
y
dy
π
π
π






 
=
−
=
−
=
−
=






 






 


∫
∫
16 8
8 3
3
π
π


=
−
=




Пример 9. Найти объем и площадь поверхности тела, образован- ного вращением:
1) одной арки циклоиды
(
sin ),
0 2 ,
(1 cos ),
x
a t
t
t
y
a
t
π
=
−

≤ ≤
 = −

вокруг оси Ox;
2 4
–
2
y
x
0 126 2) кардиоиды
(1 cos )
a
ρ
ϕ
=
+
вокруг полярной оси.
Решение. 1) Объем тела и площадь поверхности вычислим по формулам (20.27) и (20.28).
Находим:
(1 cos ),
sin .
t
t
x
a
t
y
a
t
′
′
=
−
=
Тогда
(
)
(
)
2 2
3 3
3 3
0 0
1 cos
1 cos
V
a
t
dt
a
t
dt
π
π
π
π
=
−
=
−
=
∫
∫
(
)
2 3
2 3
0 1 3cos
3cos cos
a
t
t
t dt
π
π
=
−
+
−
=
∫
(
)
2 3
2 0
3 1 3cos
1 cos 2
(1 sin
) cos
2
a
t
t
t
t dt
π
π


=
−
+
+
− −
=




∫
2 3
2 0
5 3
4 cos cos 2
sin cos
2 2
a
t
t
t
t dt
π
π


=
−
+
+
=




∫
2 3
3 2 3 0
5 3
1 4 sin sin 2
sin
5
;
2 4
3
a
t
t
t
t
a
π
π
π


=
−
+
+
=




(
)
2 2
2 2
2 0
2 1 cos
(1 cos )
sin
S
a
t
a
t
a
tdt
π
π
=
−
−
+
=
∫
(
)
2 2
2 2
0 2
1 cos
1 2 cos cos sin
a
t
t
t
tdt
π
π
=
−
−
+
+
=
∫
(
) (
)
2 2
2 2
2 2
0 0
2 1 cos
2 1 cos
2 2sin
4 sin
2 2
t
t
a
t
t dt
a
dt
π
π
π
π
=
−
−
=
=
∫
∫
2 2
2 3
2 2
0 0
8
sin
8 1 cos sin
2 2
2
t
t
t
a
dt
a
dt
π
π
π
π


=
=
−
=




∫
∫
3 2
2 2
2 2
0 0
2
cos
16
cos
1
cos
16
cos
2 2
3 2
t
t
t
t
a
d
a
π
π
π
π





 

=
−
=
−
=



 




 

∫

127 2
2 1
1 64 16 1
1 3
3 3
a
a
π
π


=
− + − + =




2) Объем тела, образованного вращением кардиоиды вокруг по- лярной оси, вычислим по формулам (20.29) и (20.30) и учтем, что кар- диоида – фигура, симметричная относительно полярной оси (поэтому
1 0,
ϕ
=
2
ϕ
π
=
– пределы интегрирования).
Вычисляем sin .
a
ρ
ϕ
′ = −
Тогда
(
)
(
) (
)
3 3
3 3
0 0
2 2
1 cos sin
1 cos
1 cos
3 3
V
a
d
a
d
π
π
π
ϕ
ϕ ϕ
π
ϕ
ϕ
=
+
= −
+
+
=
∫
∫
(
)
4 3
3 0
1 cos
8
;
6 3
a
a
π
π
ϕ
π
+
= −
=
(
)
2 2
0 2
1 cos sin
( (1 cos ))
(
sin )
S
a
a
a
d
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
+
+ −
=
∫
(
)
2 2
2 0
2 1 cos sin
1 2 cos cos sin
a
d
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
+
+
+
+
=
∫
2 2
2 2
4 0
0 2
2sin
2sin cos
4sin
16
sin cos
2 2
2 2
2 2
a
d
a
d
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
π
ϕ
=
=
=
∫
∫
2 2
2 4
5 0
0 32 32 32
sin sin sin
2 2
5 2
5
a
a
a
d
π
π
ϕ
ϕ
π
ϕ
π
π
=
=
=
∫
Пример 10. Найти силу давления жидкости на пластину, верти- кально погруженную в жидкость, если пластина имеет форму полукру- га радиусом R, диаметр которого находится на поверхности воды
(рис. 20.29).
C
A
R
O
y
dx
B
x
128
Рис. 20.29
Решение. Давление жидкости на полукруг ABC численно равно удвоенному давлению испытываемому четвертью круга OBC. Уравне- ние дуги BC имеет вид:
2 2
( )
f x
R
x
=
−
Тогда по формуле (20.33) на- ходим искомое давление
2 2
2 2
2 2
0 0
2
(
)
R
R
P
g
x R
x dx
g
R
x d R
x
ρ
ρ
=
−
= −
−
−
=
∫
∫
2 2 3 3
0 2
2
(
)
3 3
R
g
g
R
x
R
ρ
ρ
= −
−
=
Пример 11. Найти координаты центра масс однородной дуги
(
1)
ρ
=
астроиды
3
cos ,
x
a
t
=
3
sin
,
y
a
t
=
расположенной в первой четверти.
Решение. Координаты
c
x и
c
y находим по формулам (20.41).
Имеем
2
( )
3 cos sin ,
x t
a
t
t
′ = −
2
( )
3 sin cos .
y t
a
t
t
′ =
Так как
0
x
=
при
,
2
t
π
=
x
a
=
при
0,
t
=
то по формулам (20.37) получаем:
2 3
2 4
2 2
4 2
0
sin
9
cos sin
9
sin cos
x
M
a
t
a
t
t
a
t
tdt
π
=
+
=
∫
2 2
2 4
2 2
2 4
0 0
3
sin cos cos sin
3
sin cos
a
t
t
t
tdt
a
t
tdt
π
π
=
+
=
=
∫
∫
2 2
5 2
2 4
2 0
0 3
sin
3 3
sin sin
;
5 5
a
t
a
a
td
t
π
π
=
=
=
∫
2 3
2 4
2 2
4 2
0
cos
9
cos sin
9
sin cos
y
M
a
t
a
t
t
a
t
tdt
π
=
+
=
∫

129 2
2 2
5 2
2 4
2 4
2 0
0 0
3
cos
3 3
cos sin
3
cos cos
;
5 5
a
t
a
a
t
tdt
a
td
t
π
π
π
−
=
= −
=
=
∫
∫
2 2
4 2
2 4
2 0
9
cos sin
9
sin cos
M
a
t
t
a
t
tdt
π
=
+
=
∫
2 2
2 2
0 0
3 sin cos cos sin
3
sin cos
a
t
t
t
tdt
a
t
tdt
π
π
=
+
=
=
∫
∫
2 2
2 0
0 3 sin
3 3
sin sin
2 2
a
t
a
a
td
t
π
π
=
=
=
∫
Тогда
2 3
5 3
2 2
;
5
y
c
a
a
M
a
x
M
=
=
=
2 3
5 3
2 2
5
x
c
a
a
M
a
y
M
=
=
=
Следовательно, центр масс имеет координаты
2 2
,
5 5
C
a
a






Пример 12. Скорость автомобиля при торможении меняется по закону ( ) 30 5
V t
t
=
−
(м/с). Определить, какой путь (м) пройдет авто- мобиль от начала торможения до полной остановки.
Решение. Путь, пройденный автомобилем, вычислим по формуле
(20.31). Найдем время от начала торможения
1 0
t
=
до остановки
2
t
Из равенства 30 5 0,
t
− =
находим
2 6.
t
=
Поэтому
(
)
6 2
6 0
0 5
30 5 30 180 90 90 2
t
S
t
dt
t


=
−
=
−
=
−
=






∫
(м).
Задания
I уровень
1.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
130 1)
1
,
y
x
=
1
,
2
x
=
4,
x
=
0;
y
=
2)
2 1,
y
x
=
+
0,
x
=
2,
x
=
0;
y
=
3)
2 6
4,
y
x
x
= − +
−
1,
x
=
4,
x
=
0;
y
=
4) tg ,
y
x
=
0,
x
=
,
4
x
π
=
0;
y
=
5)
2 12 32,
x
y
y
= − +
−
2,
y
=
6,
y
=
0.
x
=
1.2. Вычислите объем тела, полученного вращением фигу- ры, ограниченной данными линиями, вокруг указанных осей ко- ординат:
1)
2
,
y
x
=
0,
x
=
2,
x
=
0
y
=
вокруг осей Ox и Oy;
2) sin ,
y
x
=
[
]
0;
,
x
π
∈
0
y
=
вокруг оси Ox;
3)
1,
y
x
= −
2,
x
=
5,
x
=
0
y
=
вокруг оси Ox;
4)
,
x
y
e
=
2,
x
= −
2
x
=
вокруг оси Ox;
5)
10,
xy
=
1,
x
=
10,
x
=
0
y
=
вокруг осей Ox и Oy.
1.3. Вычислите длину дуги кривой:
1) ln sin
y
x
=
от точки
6
x
π
=
до точки
2
;
3
x
π
=
2)
2
y
x
=
от точки
1
x
=
до точки
3.
x
=
1.4. Скорость движения автобуса задается формулой
3 10
V
t
= +
(м/с). Определите, какой путь пройдет автобус за 10 с от начала движения.
1.5. Найдите, какую работу нужно совершить, чтобы растя- нуть пружину на 20 см, если сила в 10 Н растягивает пружину на
5 см (упругая сила по закону Гука равна
( )
F x
kx
=
).
1.6. Найдите площадь поверхности вращения, если вращает- ся кривая:
1) дуга синусоиды sin ,
y
x
=
0
x
π
≤ ≤
вокруг оси Ox;
2) окружность
2sin
r
ϕ
=
вокруг полярной оси.

131
II уровень
2.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)
3
,
y
x
=
1,
x
= −
3,
x
=
0;
y
=
2)
2 4
8 ,
y
x
x
=
−
4,
x
=
0;
y
=
3)
4,
xy
=
5 0;
x
y
+ − =
4)
3
,
y
x
=
,
y
x
=
2 ;
y
x
=
5)
2 4,
y
x
=
−
2 6
4;
y
x
x
= − +
−
6)
2 2
,
y
x
=
2 2
8;
y
x
= − +
7) кардиоидой
(
)
1 cos
;
r
a
ϕ
=
−
8)
,
x
y
e
=
,
x
y
e
−
=
2;
x
=
9)
2 5
,
y
x
= −
1;
x
=
10) arcsin ,
y
x
=
2 ;
x
y
π
=
11)
(
)
2 3 ,
y
x
= +
3 9;
2
y
x
= −
+
12) астроидой
3 3
cos ,
sin ;
x
a
t
y
a
t
 =

=

13) эллипсом
4cos ,
5sin ;
x
t
y
t
=

 =

14) эллипсом
2 2
1;
9 4
x
y
+
=
15)
1 0,
x
y
− − =
2 1;
x
y
=
−
16)
2 6 ,
y
x
=
2 6 ;
x
y
=
17) лемнискатой Бернулли
2 2
2
cos 2 ;
r
a
ϕ
=
18) sin ,
y
x
=
3sin ,
y
x
=
0,
x
=
3
;
4
x
π
=
19) одним лепестком трехлепестковой розы sin 3 ;
r
a
ϕ
=
20) одним лепестком четырехлепестковой розы sin 2 ;
r
a
ϕ
=
21) спиралью Архимеда r
a
ϕ
=
и радиус-векторами
4
π
ϕ
=
и
2 3
π
ϕ
=