Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Пример 8. Исследовать интеграл на абсолютную сходимость: 1) 2 0 sin 3 ; 1 x dx x +∞ + ∫ 2) 1 sin x dx x +∞ ∫ 148 Решение. 1) Так как sin 3 1 x ≤ для любого [ ) 0; , x ∈ +∞ то 2 2 0 0 0 sin 3 lim arctg lim arctg 2 1 1 a a a x dx dx x a x x π +∞ +∞ →+∞ →+∞ ≤ = = = + + ∫ ∫ Следовательно, интеграл 2 0 sin 3 1 x dx x +∞ + ∫ сходится абсолютно. 2) Интеграл 1 sin x dx x +∞ ∫ сходится в силу признака Абеля-Дирихле (см. пример 7, с. 147). Рассмотрим интеграл 1 sin x dx x +∞ ∫ Так как 2 1 cos 2 sin sin , 2 x x x − ≥ = то для любого 1 b > имеем: 1 1 1 1 sin 1 cos 2 1 1 cos 2 2 2 2 b b b b x x dx x dx dx dx x x x x − ≥ = − ∫ ∫ ∫ ∫ (21.9) Осуществив предельный переход в неравенстве (21.9) при , b → +∞ получаем: 1 1 1 sin 1 1 cos 2 2 2 x dx x dx dx x x x +∞ +∞ +∞ ≥ − ∫ ∫ ∫ Интеграл 1 cos 2x dx x +∞ ∫ сходится в силу признака Абеля-Дирихле, а интеграл 1 dx x +∞ ∫ расходится (пример 2, с. 141 данного пособия). Прихо- дим к выводу, что в результате предельного перехода в неравенстве (21.9) получим 1 sin x dx x +∞ = +∞ ∫ Таким образом, интеграл 1 sin x dx x +∞ ∫ сходится, однако он не сходится абсолютно. 149 Задания I уровень 1.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: 1) 2 1 ; dx x +∞ ∫ 2) 2 ; dx x +∞ ∫ 3) 0 2 ; 1 dx x −∞ + ∫ 4) 0 5 ; x e dx −∞ ∫ 5) 5 0 3 ; x dx +∞ − ∫ 6) 2 9 dx x +∞ −∞ + ∫ II уровень 2.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: 1) 3 4 0 ; 16 1 x dx x +∞ + ∫ 2) 1 cos ; xdx +∞ ∫ 3) 4 1 ; 4 1 xdx x +∞ − ∫ 4) 2 1 ; 4 5 dx x x +∞ − + + ∫ 5) 4 1 ; 25 1 xdx x +∞ − ∫ 6) 2 0 arctg 2 2 ; 1 4 x dx x π +∞ + ∫ 7) 2 3 4 3 0 ; ( 5) x dx x +∞ + ∫ 8) 2 ; 2 2 dx x x +∞ −∞ − + ∫ 9) 2 2 1 3 ; (1 9 )arctg 3 dx x x ∞ + ∫ 10) 2 1 ; 4 5 xdx x x +∞ − + + ∫ 11) 2 0 arctg 2 ; 1 4 x dx x ∞ + ∫ 12) 2 1 2 16 ; (4 4 5) dx x x π +∞ + + ∫ 13) 0 2 3 ; ( 9) xdx x −∞ + ∫ 14) 2 1 ; ( 1) dx x x +∞ + ∫ 15) 0 2 3 2 ; 1 1 x x dx x x −∞ − − + ∫ 16) 2 1 ; (1 ln ) dx x x +∞ + ∫ 17) 1 2 ; 4 dx x x −∞ − ∫ 18) 2 3 ; 3 2 dx x x +∞ − + ∫ 19) 2 2 ; (ln 1) e dx x x +∞ − ∫ 20) 2 0 3 ; 4 x dx x +∞ − + ∫ 21) 2 4 3 0 ( 2) ; ( 4 1) x dx x x +∞ + + + ∫ 150 22) 2 2 1 1 sin ; dx x x π +∞ ∫ 23) 3 0 ; 1 dx x +∞ + ∫ 24) 2 1 2 1 dx x x +∞ + ∫ 2.2. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл первого рода: 1) 1 arctg ; x dx x +∞ ∫ 2) 3 2 3 sin ; x dx x π +∞ + ∫ 3) 4 3 2 1 3 2 ; 2 x x dx x x +∞ + + + + ∫ 4) 0 cos ; x e xdx +∞ − ∫ 5) 2 0 sin 4 ; x e xdx +∞ − ∫ 6) 3 2 4 3 ; 1 dx x x +∞ − + + ∫ 7) 7 0 ; 1 xdx x +∞ + ∫ 8) 3 1 1 tg ; 1 x dx x x +∞ + ∫ 9) 1 1 1 arcsin ; 1 x dx x x ∞ + + ∫ 10) 2 1 ; sin dx x x +∞ + ∫ 11) 2 3 cos ; 1 x dx x π +∞ + ∫ 12) 2 3 1 1 2 x x dx x x +∞ + + + + ∫ 2.3. Исследуйте на абсолютную сходимость несобственный интеграл первого рода: 1) 1 sin ; x dx x +∞ ∫ 2) 2 0 cos ; 4 x dx x +∞ + ∫ 3) 2 1 cos3 ; x dx x +∞ ∫ 4) 0 arcsin x dx x +∞ ∫ III уровень 3.1. Используя формулу интегрирования по частям, вычис- лите несобственный интеграл или установите его расходимость: 1) 0 ; x xe dx +∞ − ∫ 2) 0 2 ; x x dx −∞ ∫ 3) 0 cos ; x e xdx +∞ − ∫ 151 4) 0 sin 2 ; x e xdx +∞ − ∫ 5) 0 sin ; x xdx +∞ ∫ 6) 3 0 (1 ) xdx x +∞ + ∫ 3.2. Найдите главное значение несобственного интеграла и определите, сходится ли интеграл в обычном смысле: 1) arctg ; xdx +∞ −∞ ∫ 2) 2 ; 9 dx x +∞ −∞ + ∫ 3) 2 2 arctg ; 1 x dx x +∞ −∞ + ∫ 4) sin ; xdx +∞ −∞ ∫ 5) 2 ; 1 x x e dx e +∞ −∞ + ∫ 6) 2 2 1 1 x dx x +∞ −∞ + + ∫ 3.3. Докажите сходимость несобственных интегралов Фре- неля 2 0 sin x dx +∞ ∫ и 2 0 cos x dx +∞ ∫ У к а з а н и е. Выполните замену x t = 3.4. Исследуйте интеграл на сходимость: 1) 2 4 0 1 1 x dx x +∞ + + ∫ (у к а з а н и е: 1 ); t x x = − 2) 0 1 sin dx x +∞ ∫ (у к а з а н и е: 1 ); t x = 3) 2 ln ln ln e dx x x x +∞ ∫ (у к а з а н и е: ln ); t x = 4) 2 1 x x x e dx +∞ − ∫ (у к а з а н и е: сравните ( ) ( ) 2 2 ln 1 ); x x x x g x e c f x e − − − = = 5) 2 0 x e dx +∞ − ∫ (у к а з а н и е: сравните 2 x e − и 2 1 ). x e − + 152 21.2. Несобственный интеграл второго рода Пусть функция f (x) является непрерывной на промежутке [a; b) и неограниченной в окрестности точки , x b = т. е. 0 lim ( ) x b f x → − = ∞ Тогда точка b называется особой точкойи гово- рят, что функция f (x) имеет особенность в точке b. Для любо- го 0 ε > ( ) b a ε < − функция f (x) интегрируема на отрезке [ ] ; , a b ε − т. е. существует интеграл ( ) ( ) b a I f x dx ε ε − = ∫ (21.10) Результат вычисления предела функции ( ) I ε при 0 ε → + называется несобственным интегралом второго рода: 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) b b a a I f x dx f x dx ε ε ε ε − →+ →+ = = ∫ ∫ (21.11) Несобственный интеграл второго рода (21.11) называется сходящимся, если предел (21.11) существует. Если функция ( ) I ε является бесконечно большой, то несобственный интеграл считают равным бесконечности. Если предел (21.11) не сущест- вует, то интеграл не принимает никакого значения. В последних двух случаях несобственный интеграл второго рода называется расходящимся. Если для функции f (x), определенной на полуинтервале [a, b), известна ее первообразная F(x), то для вычисления инте- грала (21.11) используется формула Ньютона-Лейбница 0 ( ) lim ( ) ( ). b a f x dx F b F a ε ε →+ = − − ∫ (21.12) Формула интегрирования по частям для несобственного интеграла второго рода Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на промежутке [a, b), а также существует 0 lim ( ) ( ), u b v b ε ε ε →+ − − то из сходимости одного из интегралов ( ) ( ) , b a u x v x dx ′ ∫ ( ) ( ) b a u x v x dx ′ ∫ 153 вытекает сходимость другого, и справедлива формула 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a u x v x dx u b v b u a v a v x u x dx ε ε ε →+ ′ ′ = − − − − ∫ ∫ Формула замены переменной в несобственном интеграле второго рода Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b), функция ( ) x g t = определена на полуинтервале [ ) ; , α β , α β −∞ < < < +∞ и имеет на нем непрерывную производную, причем ( ) , g a α = lim ( ) , t g t b β → = то справедлива формула ( ) ( ( )) ( ) , b a f x dx f g t g t dt β α ′ = ∫ ∫ при этом интегралы в ней оба сходятся или оба расходятся. Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода, если x a = – особая точка функции f (x): 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx ε ε →+ + = ∫ ∫ (21.13) Если особая точка c x = функции f (x) является внутренней точкой отрезка [a; b] (функция f (x) имеет в этой точке разрыв второго рода), то несобственный интеграл второго рода функции f (x) по отрезку [a; b] определяется равенством: 1 1 2 2 0 0 ( ) lim ( ) lim ( ) c b b a a c f x dx f x dx f x dx ε ε ε ε − →+ →+ + = + ∫ ∫ ∫ (21.14) З а м е ч а н и е 1. Следует различать сходимость, определенную равенством (21.14), и сходимость в смысле главного значения (21.15), которая определяется следующим образом: пусть функция f (x) опреде- лена на отрезке [a; b] с особой точкой ( ; ) c a b ∈ и интегрируема на любом отрезке, принадлежащем полуинтервалам [a; c) и (c; b]. Если для 0 ε > такого, что { } min , c a b c ε < − − существует 0 lim ( ) ( ) V.p. ( ) , c b b a c a f x dx f x dx f x dx ε ε ε − →+ + + = ∫ ∫ ∫ (21.15) то он называется главным значением несобственного интеграла второго рода, а функция f (x) – интегрируемой по Коши. 154 Всюду далее будем рассматривать сходимость, определен- ную равенством (21.14). Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций 1. Признак сравнения Пусть функции f (x) и g(x) определены на промежутке [a; b) и для них выполняется неравенство 0 ( ) ( ), f x g x ≤ ≤ [ ) ; x a b ∈ Тогда из сходимости интеграла ( ) b a g x dx ∫ следует сходимость интеграла ( ) , b a f x dx ∫ а из расходимости интеграла ( ) b a f x dx ∫ вы- текает расходимость интеграла ( ) b a g x dx ∫ 2. Предельный признак сравнения Пусть на промежутке [a; b) определены положительные функции f (x) и g(x), для которых ( ) lim , ( ) x b f x M g x → = 0. M > Тогда оба интеграла ( ) b a f x dx ∫ и ( ) b a g x dx ∫ вместе сходятся или оба вместе расходятся. 3. Пусть неотрицательная функция f (x) определена на про- межутке [a; b) и для x, близких к b, удовлетворяет условию ( ) , ( ) p A f x b x ≤ − 0. A > Тогда при 1 p < несобственный интеграл ( ) b a f x dx ∫ сходится. Если для x, близких к b, выполняется нера- венство ( ) ( ) p A f x b x ≥ − , 0, A > тогда при 1 p ≥ интеграл от этой функции на промежутке [a; b) расходится. 155 Сходимость интегралов второго рода от знакопеременных функций Если интеграл ( ) b a f x dx ∫ сходится, то несобственный инте- грал ( ) b a f x dx ∫ называется абсолютно сходящимся. 1. Если несобственный интеграл второго рода сходится аб- солютно, то он сходится. 2. Если интеграл ( ) b a f x dx ∫ абсолютно сходящийся, а функ- ция g(x) ограничена на промежутке [a; b), то интеграл ( ) ( ) b a f x g x dx ∫ также сходится абсолютно. З а м е ч а н и е 2. Если несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции не сходится абсолютно, то это еще не озна- чает, что он расходится. Для исследования на сходимость данного ин- теграла необходимо использовать другие признаки. Пример 1. Исследовать интеграл 1 0 , p dx x ∫ , p const = 0, p > на схо- димость и в случае сходимости вычислить его. Решение. Подынтегральная функция неограничена в окрестности точки 0. x = Обозначим ( ) 1 , p dx I x ε ε = ∫ где 0 1. ε < < Вычислим этот интеграл 1 1 1 (1 ), åñëè 1, 1 ln , åñëè 1. p p dx p p x p ε ε ε − − ≠ = − − = ∫ Заключаем, что конечный предел 0 lim ( ) I ε ε →+ существует при 1 p < и не существует при 1. p ≥ Мы получили следующий результат: |