Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
2.2. Вычислите длину дуги кривой: 1) окружности 2 2 25; x y + = 2) кардиоиды (1 cos ); r a ϕ = + 3) 2 sin ; r ϕ = 4) 3cos , 0 ; 12 r π ϕ ϕ = ≤ ≤ 132 5) астроиды 3 3 4 4 2 cos , 2sin ; t t x y = = 6) эллипса 4cos , 0 2 ; 3sin , x t t y t π = ≤ ≤ = 7) 3 3 cos , sin , x t y t = = от 0 t = до ; 2 t π = 8) cos , sin , t t x e t y e t = = от 0 t = до 1; t = 9) полукубической параболы 2 3 2y x = от точки 0 x = до точки 2; x = 10) 2 y x = от вершины до точки с абсциссой 2; x = 11) циклоиды { ( sin ), 0 2 ; (1 cos ), x a t t t y a t π = − ≤ ≤ = − 12) ln y x = от точки 1 x = до точки 15. x = 2.3. Вычислите объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанных осей координат: 1) 2 , y x = 2 y x = вокруг осей Ox и Oy; 2) 2 4 , y x x = − + 0 y = вокруг оси Oy; 3) , x y xe = 1, x = 0 y = вокруг оси Ox; 4) лемнискаты Бернулли 2 2 cos 2 r a ϕ = вокруг полярной оси; 5) астроиды 3 3 sin , cos , x a t y a t = = вокруг оси Ox; 6) одной арки циклоиды { 2( sin ), 0 2 , 2(1 cos ), x t t t y t π = − ≤ ≤ = − вокруг оси Ox. 2.4. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями: 133 1) 2 2 4, x y + = 1, z = 4; z = 2) 2 2 , 4 9 x y z + = 6; z = 3) 2 2 2 1, 9 25 x y z + − = 0, z = 2; z = 2.5. Найдите площадь поверхности вращения, если вращает- ся кривая: 1) дуга параболы 2 2 , y x = [ ] 0; 4 , x ∈ вокруг оси Ox; 2) одна арка циклоиды { 3( sin ), 3(1 cos ) x t t y t = − = − вокруг оси Oy; 3) эллипс 2 2 2 2 1 x y a b + = вокруг оси Ox; 4) дуга линии sin , 0; , cos , 2 t t x e t t y e t π = ∈ = вокруг оси Ox; 5) астроида 3 3 cos , sin x a t y a t = = вокруг оси Ox; 6) кардиоида { 2 cos cos2 , 0 2 , 2 sin sin2 , x R t R t t y R t R t π = − ≤ ≤ = − вокруг ее оси; 7) кардиоида 4(1 cos ) r ϕ = + вокруг полярной оси. III уровень 3.1. Вычислите площадь фигур, на которые парабола 2 5 y x = разбивает круг 2 2 36. x y + ≤ 3.2. Найдите площадь общей части круга r a ≤ и плоской фигуры, ограниченной кардиоидой (1 cos ). r a ϕ = − 3.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды { sin , 1 cos x t t y t = − = − и прямой 1 2 y = 3.4. Найдите длину дуги спирали Архимеда 2 , r ϕ = находя- щейся внутри окружности 2 . r π = 134 3.5. Найдите объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями: а) 2 , y x = 4 y = вокруг прямой 2; x = б) 3 , y x = 0, x = 1, x = 4 y = вокруг прямой 3. x = 134 21. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 21.1. Несобственный интеграл первого рода Несобственный интеграл первого рода – это обобщение ин- теграла на случай бесконечных промежутков числовой оси: на полупрямые [ ) ; , a +∞ ( ] ; , b −∞ , , a b ∈ R и на прямую ( ; ). −∞ +∞ Полагаем, что для любого числа , b ∈ R , a b ≤ существует определенный интеграл ( ) ( ) b a Ô b f x dx = ∫ Результат нахождения предела функции Ф(b) при b → +∞ назовем несобственным интегралом первого рода: lim ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ (21.1) Несобственный интеграл первого рода называется сходя- щимся, если предел (21.1) существует. Если предел (21.1) не существует, то несобственный интеграл называется расходя- щимся. При этом за ним закрепляется значение , ∞ если функ- ция Ф(b) бесконечно большая на бесконечности, и не задается никакого значения, если предел функции Ф(b) при b → +∞ не определен. Если для функции f (x), [ ) ; x a ∈ +∞ можно найти первооб- разную F(x) на каждом конечном отрезке [ ] [ ] ; ; , a b a ⊂ +∞ то справедлива формула Ньютона-Лейбница ( ) lim ( ) ( ) ( ) b a a f x dx F b F a F x +∞ +∞ →+∞ = − = ∫ (21.2) Аналогично определяется понятие несобственного интегра- ла первого рода на промежутках ( ] ; , b −∞ ( ) ; −∞ +∞ Равенство lim ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx →−∞ −∞ = ∫ ∫ (21.3) 135 (при условии, что предел существует) определяет сходящийся несобственный интеграл на промежутке ( ] ; b −∞ Соответст- венно, расходящийся интеграл – если предел в левой части ра- венства (21.3) не существует. Если F(x) – первообразная f(x) на каждом конечном отрезке [a; b], то для данного случая справед- лива формула Ньютона-Лейбница ( ) ( ) lim ( ) ( ) b b a f x dx F b F a F x →−∞ −∞ −∞ = − = ∫ Несобственный интеграл на промежутке ( ; ) −∞ +∞ рас- сматривают как сумму несобственных интегралов на лучах ( ] , c −∞ и [ ) ; , c +∞ где c – произвольная фиксированная точка на числовой оси: ( ) ( ) ( ) c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ (21.4) Первый интеграл в правой части равенства (21.4) определяют в смысле формулы (21.3), а второй – в смысле формулы (21.1). Несобственный интеграл ( ) f x dx +∞ −∞ ∫ называется сходящим- ся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (21.4), и расходящимся, если хотя бы один интеграл в правой части ра- венства (21.4) расходящийся. Несобственный интеграл от функции f (x) на промежутке ( ; ) −∞ +∞ можно задать также равенством ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) , c b b a b a b a c a f x dx f x dx f x dx f x dx +∞ →−∞ →+∞ →−∞ →+∞ −∞ = + = ∫ ∫ ∫ ∫ где величины a и b стремятся к бесконечности независимо друг от друга. Для вычисления несобственного интеграла на проме- жутке ( ; ) −∞ +∞ используют формулу Ньютона-Лейбница ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) , b a f x dx F b F x F x +∞ +∞ →+∞ →−∞ −∞ −∞ = − = ∫ где F(x) – первообразная функция f (x). 136 Несобственный интеграл ( ) f x dx +∞ −∞ ∫ сходится в смысле главного значения, если существует конечный предел lim ( ) a a a f x dx →+∞ − ∫ Этот предел называется главным значением не- собственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и обозначается: V.p. ( ) lim ( ) a a a f x dx f x dx +∞ →+∞ −∞ − = ∫ ∫ (21.5) З а м е ч а н и е 1. Для интеграла ( ) f x dx +∞ −∞ ∫ следует различать сходимость, определяемую равенством (21.4), от сходимости в смысле главного значения (см. далее решение примера 4, с. 144–145). Свойства несобственных интегралов 1. Если сходится интеграл ( ) , a f x dx +∞ ∫ то сходится и интеграл ( ) , c f x dx +∞ ∫ где , c a > и наоборот. При этом выполняется ( ) ( ) ( ) c a a c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ = + ∫ ∫ ∫ 2. Если интеграл ( ) a f x dx +∞ ∫ сходится, то lim ( ) 0. A A f x dx +∞ →+∞ = ∫ 3. Свойство линейности: если сходятся интегралы ( ) a f x dx +∞ ∫ и ( ) , a g x dx +∞ ∫ то при произвольных постоянных , α β ∈ R сходится 137 также интеграл ( ) ( ) ( ) a f x g x dx α β +∞ + ∫ и справедлива формула ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a f x g x dx f x dx g x dx α β α β +∞ +∞ +∞ + = + ∫ ∫ ∫ 4. Если для любого [ ) ; x a ∈ +∞ справедливо неравенство ( ) ( ) f x g x ≤ и интегралы ( ) , a f x dx +∞ ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ сходятся, то ( ) ( ) a a f x dx g x dx +∞ +∞ ≤ ∫ ∫ 5. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производ- ные на промежутке [ ) ; a +∞ и существует lim ( ( ) ( )), x u x v x →+∞ то из сходимости одного из интегралов ( ) ( ) , a u x v x dx +∞ ′ ∫ ( ) ( ) a v x u x dx +∞ ′ ∫ вытекает сходимость другого интеграла и справедлива формула интегрирования по частям: ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a u x v x dx u x v x u a v a v x u x dx +∞ +∞ →+∞ ′ ′ = − − ∫ ∫ (21.6) 6. Пусть выполняются следующие условия: 1) функция f (x) непрерывна на промежутке [ ) ; ; a +∞ 2) на промежутке [ ) ; α +∞ определена строго монотонная функция ( ), x g t = множеством значений которой является полу- прямая [ ) ; , a +∞ и ( ) ; g a α = 3) функция g(t) имеет непрерывную производную на проме- жутке [ ) ; α +∞ Тогда из сходимости одного из интегралов ( ) , a f x dx +∞ ∫ 138 ( ( )) ( ) f g t g t dt α +∞ ′ ∫ вытекает сходимость другого интеграла, и справедлива формула замены переменной ( ) ( ( )) ( ) . a f x dx f g t g t dt α +∞ +∞ ′ = ∫ ∫ (21.7) Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций 1. Признак сравнения Пусть функции f (x) и g(x) определены на промежутке [ ) ; , a +∞ интегрируемые на любом конечном промежутке [a; b], и для них выполняется неравенство 0 ( ) ( ), f x g x ≤ ≤ [ ) ; x a ∈ +∞ Тогда: 1) из сходимости интеграла ( ) a g x dx +∞ ∫ вытекает сходимость интеграла ( ) ; a f x dx +∞ ∫ 2) из расходимости интеграла ( ) a f x dx +∞ ∫ вытекает расходи- мость интеграла ( ) a g x dx +∞ ∫ 2. Предельный признак сравнения Пусть на промежутке [ ) ; a +∞ определены две положитель- ные функции f (x) и g(x), интегрируемые на любом конечном промежутке [a; b]. Если существует конечный предел ( ) lim 0, ( ) x f x M g x →+∞ = > то несобственные интегралы ( ) a f x dx +∞ ∫ и ( ) a g x dx +∞ ∫ вместе сходятся или вместе расходятся. 139 3. Пусть неотрицательная функция f (x) определена на про- межутке [ ) ; , a +∞ 0. a > Если на этом промежутке для нее спра- ведливо неравенство ( ) , p c f x x ≤ где c, p – определенные посто- янные величины, причем 1, p > то интеграл ( ) a f x dx +∞ ∫ сходится. Если справедливо неравенство ( ) , p c f x x ≥ где 1, p ≤ то инте- грал ( ) a f x dx +∞ ∫ расходится. 4. Пусть неотрицательная функция f (x) определена на про- межутке [ ) ; , a +∞ 0. a > Если при 1 p > существует lim ( ) , p x f x x c →+∞ = 0 , c ≤ < +∞ то интеграл ( ) a f x dx +∞ ∫ сходится. Ес- ли при 1 p ≤ выполняется lim ( ) , p x f x x c →+∞ = 0 , c < ≤ +∞ то инте- грал ( ) a f x dx +∞ ∫ расходится. Сходимость несобственных интегралов первого рода от знакопеременных функций Если ( ) a f x dx +∞ ∫ сходится, то несобственный интеграл ( ) a f x dx +∞ ∫ называется абсолютно сходящимся. 1. Если несобственный интеграл первого рода сходится аб- солютно, то он сходится. 2. Если интеграл ( ) a f x dx +∞ ∫ абсолютно сходящийся, а функ- 140 ция g(x) ограничена на промежутке [ ) ; , a +∞ то интеграл ( ) ( ) a f x g x dx +∞ ∫ также сходится абсолютно. З а м е ч а н и е 1. Если несобственный интеграл первого рода от знакопеременной функции не сходится абсолютно, то это еще не озна- чает, что он расходится. Для исследования на сходимость данного ин- теграла необходимо использовать другие признаки, в частности, при- знак Абеля-Дирихле: пусть функции f (x) и g(x) определены и непре- рывны на промежутке [ ) ; , a +∞ причем функция g(x) монотонно стре- мится к нулю при , x → +∞ имеет непрерывную производную ( ), g x ′ а функция f(x) имеет ограниченную первообразную F(x) при [ ) ; x a ∈ +∞ Тогда интеграл ( ) ( ) a f x g x dx +∞ ∫ сходится. З а м е ч а н и е 2. Всюду далее будем исследовать интегралы на сходимость в смысле определений (21.1), (21.3) и (21.4). В смысле главного значения необходимо исследовать только те примеры, в кото- рых это требуется по условию. Пример 1. Исследовать на сходимость интегралы: 1) 0 3 ; x e dx −∞ ∫ 2) 2 1 ; dx x +∞ ∫ 3) 0 sin ; xdx +∞ ∫ 4) 4 1 16 1 xdx x +∞ − ∫ В случае сходимости вычислить их. |