Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 31 из 31

Пример 2. Найти частное решение системы
2
,
2 ,
(0)
1,
(0)
1.
dx
x
y
dt
dy
x
y x
y
dt

=
−



= +
=
= −

Решение. Характеристическое уравнение системы
2 1
0,
1 2
λ
λ
−
−
=
−
т. е.
2
(2
)
1 0.
λ
−
+ =
Оно имеет корни
1 2
,
i
λ
= +
2 2
i
λ
= −
Для корня
1 2 i
λ
= +
составляем систему (22.82):
{
1 2
1 2
0,
0.
i
i
γ
γ
γ
γ
− −
=
−
=
Полагаем
1 1,
γ
=
тогда
2
i
γ
= −
Частное комплексное решение системы:
( )
( )
2
,
i t
x t
e
+
=
( )
( )
2
i t
y t
ie
+
= −
Выделяем в полученных функциях действительные (Re) и мнимые
(Im) части.
242
Поскольку
( )
2 2
( )
(cos sin ),
i t
t
x t
e
e
t
i
t
+
=
=
+
то
2 2
Re cos , Im sin ;
t
t
x
e
t
x
e
t
=
=
(2
)
2
( )
(cos sin ),
i t
t
y t
ie
ie
t
i
t
+
= −
= −
+
тогда
2
Re sin ,
t
y
e
t
=
2
Im cos .
t
y
e
t
= −
Сопряженный корень
2 2 i
λ
= −
новых линейно-независимых ре- шений не дает, поэтому не рассматривается. Таким образом, общее решение исходной системы:
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
( )
cos sin ,
( )
sin cos ,
,
t
t
t
t
x t
C e
t
C e
t
y t
C e
t
C e
t
C C
const

=
+

=
−

=


Найдем частное решение для заданных начальных условий. Полу- чаем:
{
1 2
1 0,
1 0
,
C
C
=
+
− = −
откуда находим
1 2
1,
1.
Ñ
Ñ
=
=
Искомое частное решение системы:
2 2
( )
(cos sin ),
( )
(sin cos ).
t
t
x t
e
t
t
y t
e
t
t

=
+

=
−

Задания
I уровень
1.1. Решите систему дифференциальных уравнений:
1)
1 2
2 1
2
,
2 ;
dy
y
dx
dy
y
dx

= −



= −

2)
1 1
2 2
1 2
2
,
2 3
;
dy
y
y
dx
dy
y
y
dx

=
+



=
+

3)
1 1
2 2
2 1
,
;
dy
y
y
dx
dy
y
y
dx

= −



=
−

4)
1 1
2 2
1 2
,
4 3
dy
y
y
dx
dy
y
y
dx

= +



= −
−

1.2. Решите задачу Коши:
1)
( )
( )
1 1
2 2
2 1
1 2
2
,
3 2 ,
0 2,
0 3;
dy
y
y
dx
dy
y
y
y
y
dx

=
−



=
−
=
=


243 2)
( )
( )
1 1
2 2
1 2
1 2
3
,
,
0 1,
0 2;
dy
dx
dy
dx
y
y
y
y
y
y

=
−



= +
=
=

3)
( )
( )
4
,
2 ,
0 1,
0 1;
dx
dt
dy
dt
x
y
y
x x
y
 = +



= −
=
=

4)
( )
( )
3 4 ,
2 ,
0 2,
0 1.
dx
dt
dy
dt
x
y
x
y x
y
 = − −



= +
= −
= −

II уровень
2.1. Решите систему:
1)
2
,
4 2 ;
dx
dt
dy
dt
x
y
x
y
 = −



=
+

2)
1 2
1 2
2 1
3 ,
4 ;
dy
dx
dy
dx
y
y
y
y

=
−



=
−

3) cos ,
2
;
dx
dt
dy
dt
x
y
t
x
y
 = − +



=
−

4)
3
,
3 2 .
dx
dt
dy
dt
x
y
y
x
t
 = −



= −
+

2.2. Решите задачу Коши:
1)
( )
( )
1 1
2 2
1 2
1 2
4 3
,
2 3
,
0 4,
0 3;
dy
dx
dy
dx
y
y
y
y
y
y

=
−



=
−
=
=

2)
( )
( )
,
5 5 ,
0 1,
0 5;
dx
dt
dy
dt
x
y
x
y x
y
 = −


= − +
=
= −


3)
( )
( )
3 ,
4 ,
0 2,
0 2;
dx
dt
dy
dt
y
x
y
x x
y
 = −


 = −
=
= −

244 4)
( )
( )
1 1
2 2
1 2
1 2
7
,
5
,
0 1,
0 2.
dy
dx
dy
dx
y
y
y
y
y
y

=
−



= +
=
=

III уровень
3.1. Найдите частное решение системы дифференциальных уравнений:
1)
( )
( )
( )
1 2
3 2
1 3
3 1
2 1
2 3
,
,
,
0 1,
0 1,
0 4;
dy
dx
dy
dx
dy
dx
y
y
y
y
y
y
y
y
y

=
+


= +



= +
=
=
=

2)
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 2
3 3
1 2
3 1
2 3
2
,
3
,
2 3 ,
0 0,
0 1,
0 1;
dy
dx
dy
dx
dy
dx
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y

=
+


= +
−



= − +
+
=
=
=

3)
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 2
3 3
1 2
1 2
3 4
,
3
,
,
0 1,
0 0,
0 4.
dx
dt
dx
dt
dx
dt
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

=
−


=
+ −



= +
=
=
=

3.2. Решите систему дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций:
1)
,
;
dx
x
dt
x
y
dy
y
dt
x
y
−
−
 =


=


2)
2 2
cos ,
;
dx
dt
dy
x
dt
y
y
t
 = −


=


3)
2 2
2 2
10 0,
10 3
0;
d y
d x
dt
dt
dy
dx
dt
dt
x
y

+
+ =


 +
+
=

4)
,
,
;
dx
dt
dy
dt
dz
dt
y
z
x
y
t
x
z
t
 = −

 = + +


= + +



245 5)
3 1
2 2
3 1
3 1
2
;
dy
dy
dy
y
y
y
y
y
y
=
=
+
+
+
6)
3 1
2 2
2 2
1 2 2
3 2
1 3
;
2 2
dy
dy
dy
y y
y y
y
y
y
=
=
−
−
7)
3 1
2 1
2 3
2 3
1 3
1 2
(
)
(
)
(
)
dy
dy
dy
y y
y
y y
y
y y
y
=
=
−
−
−
246
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
19. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 19.2. Методы вычисления неопределенного интеграла . . . 13
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 19.3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
2
ax
bx
c
+
+
. . . . . . . . . . . . . . . . 19
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 19.4. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 19.5. Рациональные функции. Интегрирование простейших дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 19.6. Интегрирование тригонометрических выражений . . . 48
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 19.7. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . 64
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 19.8. Интегралы от дифференциальных биномов . . . . . . . . 74
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
20. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 20.1. Понятие определенного интеграла и его свойства . . . 83
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 20.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования по частям и замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 20.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

247
21. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 21.1. Несобственный интеграл первого рода . . . . . . . . . . . 134
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 21.2. Несобственный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . 152
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
22. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 22.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 22.2. Однородные дифференциальные уравнения.
Уравнения, сводящиеся к однородным . . . . . . . . . . . 172
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли . . . . . . . 181
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 22.4. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . 191
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 22.5. Понятие дифференциальных уравнений высших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка . . . . . . . . . . . . . . . 196
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 22.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 22.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 22.8. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . 232 22.9. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . 238
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Учебное издание
М А Т Е М А Т И К А
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие для учащихся колледжей
В шести частях
ЧАСТЬ 4
Майсеня Людмила Иосифовна
Ламчановская Марина Валерьевна
Михайлова Наталия Викторовна
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл. Несобственные интегралы
Дифференциальные уравнения
Зав. ред.-издат. отд. О. П. Козельская
Редактор Г. Л. Говор
Корректор Н. Г. Михайлова
Компьютерная верстка Н. М. Олейник, А. П. Пучек
План изданий 2007 г. (поз. 42)
Изд. лиц. № 02330/0131735 от 17.02.2004.
Подписано в печать 29.12.2007. Формат 60
×
84 1
/
16
Бумага писчая. Гарнитура Таймс. Печать ризографическая.
Усл. печ. л. 14,42. Уч.-изд. л. 12,40. Тираж 500 экз. Заказ 238.
Издатель и полиграфическое исполнение Учреждение образования
«Минский государственный высший радиотехнический колледж»
220005, г. Минск, пр-т Независимости, 62.