Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Пример 4. Решить уравнения: 1) 2 2 3 ; x y y y e ′′ ′ − − = 2) 25 cos5 ; y y x ′′ + = 3) 2 x y y x e ′′ − = + Решение. 1) Это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида 2 ( ) (0 cos0 sin 0 ), x f x e x b x = ⋅ + ⋅ где b – число, 2, α = 0. β = Соответствующее однородное уравнение: 227 2 3 0. y y y ′′ ′ − − = Его характеристическое уравнение 2 2 3 0, λ λ − − = корни которого 1 1, λ = − 2 3 λ = – действительные, простые. Тогда общее решение соответствующего однородного дифферен- циального уравнения: 3 0 1 2 x x y C e C e − = + Запишем контрольное число 2. σ = Оно не является корнем харак- теристического уравнения. Тогда частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде 2 , x ч y Ae = где A – коэффициент, который надо найти. Дифференцируем ч y дважды: 2 2 , x ч y Ae ′ = 2 4 x ч y Ae ′′ = Подставляем , , ч ч ч y y y ′ ′′ в заданное дифференциальное уравнение: 2 2 2 2 4 2 2 3 , x x x x Ae Ae Ae e − ⋅ − = получаем 1 3 A = − Затем подставляем этот коэффициент в выражение для : ч y 2 3 x ч e y = − Общее решение заданного дифференциального уравнения запи- шем в виде 2 3 1 2 3 x x x e y C e C e − = + − 2) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой ча- стью вида 0 ( ) (1 cos5 0 sin 5 ), x f x e x x = ⋅ + ⋅ где 0, α = 5. β = Соответствующее однородное уравнение имеет вид: 25 0. y y ′′ + = Его характеристическое уравнение 2 25 0, λ + = корни которого 1,2 5i λ = ± – простые комплексно-сопряженные. Тогда общее решение однородного уравнения: 0 1 2 cos5 sin 5 . y C x C x = + 228 Контрольное число 5i σ = совпадает с одним из корней характе- ристического уравнения, кратности 1. Поэтому частное решение за- данного дифференциального уравнения ищем в виде ( cos5 sin 5 ), ч y x A x B x = + где A, B – коэффициенты, которые надо найти. Дифференцируем ч y дважды: ( cos5 sin 5 ) ( 5 sin 5 5 cos5 ), ч y A x B x x A x B x ′ = + + − + 5 sin 5 5 cos5 5 sin 5 5 cos5 ч y A x B x A x B x ′′ = − + − + + ( 25 cos5 25 sin 5 ). x A x B x + − − Упрощаем : ч y ′′ 10 sin 5 10 cos5 ( 25 cos5 25 sin 5 ). ч y A x B x x A x B x ′′ = − + + − − Подставляем , ч ч y y ′′ в заданное дифференциальное уравнение: 10 sin 5 10 cos5 ( 25 cos5 25 sin 5 ) A x B x x A x B x − + + − − + 25 ( cos5 sin 5 ) cos5 . x A x B x x + + = Группируя относительно sin5 , x а также cos5x и приравнивая ко- эффициенты при одноименных тригонометрических функциях, полу- чим систему { 10 1, 10 0, B A = − = из которой находим 1 0, 10 A B = = Тогда частное решение: sin 5 , 10 ч x y x = а общее решение заданного дифференциального уравнения: 1 2 cos5 sin 5 sin 5 10 x y C x C x x = + + или 1 2 cos5 sin 5 . 10 x y C x C x = + + 3) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с по- стоянными коэффициентами и специальной правой частью вида 1 2 ( ) ( ) 2 x f x f x x e + = + Для нахождения его общего решения воспользу- емся методом Эйлера и теоремой о наложении решений. Соответствующее однородное уравнение для заданного диффе- ренциального уравнения 0. y y ′′ − = Его характеристическое уравнение 2 1 0, λ − = корни которого 1,2 1 λ = ± – простые действительные. 229 Общее решение однородного уравнения: 0 1 2 x x y C e C e − = + Частное решение заданного дифференциального уравнения будем искать в виде 1 2 , ч ч ч y y y = + где 1 ч y – частное решение дифференциального уравнения: 2 ; y y x ′′ − = (22.71) 2 ч y – частное решение дифференциального уравнения: x y y e ′′ − = (22.72) Контрольные числа этих дифференциальных уравнений 1 0 σ = и 2 1, σ = соответственно. Заметим, что 1 0 σ = не является корнем харак- теристического уравнения, значит, частное решение 1 ч y ищем в виде 1 , ч y Ax B = + где A, B – коэффициенты, которые надо найти. Дифференцируем 1 : ч y 1 , ч y A ′ = 1 0. ч y ′′ = Подставляя в дифференциальное уравнение (22.71) 1 ч y ′′ и 1 , ч y получим: 2 , Ax B x − − = откуда находим 2, A = − 0. B = Тогда 1 2 . ч y x = − Аналогично, так как 2 1 σ = – простой корень характеристического уравнения, то частное решение (22.72) ищем в виде 2 , x ч y Cxe = где С – коэффициент, который надо найти. Дифференцируем 2 : ч y 2 , x x ч y Ce Cxe ′ = + 2 2 x x ч y Ce Cxe ′′ = + Подставляем 2 ч y ′′ и 2 ч y в (22.72): 2 x x x x Ce Cxe Cxe e + − = или 2 x x Ce e = Отсюда получаем, что 1 2 C = Тогда 2 2 x ч xe y = Записываем частное решение заданного дифференциального урав- нения: 2 2 x ч xe y x = − + Тогда общее решение заданного дифференци- ального уравнения имеет вид: 230 1 2 2 2 x x x xe y C e C e x − = + − + Пример 5. Решить задачу Коши: sin , y y x ′′′ ′ − = (0) 2,5, y = (0) 0, y ′ = (0) 1,5. y ′′ = Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравне- ние с постоянными коэффициентами и специальной правой частью вида 0 ( ) (0 cos 1 sin ), x f x e x x = ⋅ + ⋅ где 0, α = 1, β = ( ) 0, P x = ( ) 1. Q x = Соответствующее однородное дифференциальное уравнение 0. y y ′′′ ′ − = Его характеристическое уравнение: 3 0, λ λ − = корни кото- рого 1 0, λ = 2,3 1 λ = ± – действительные, простые. Тогда общее реше- ние однородного уравнения: 0 1 2 3 x x y C C e C e − = + + Контрольное число i σ = не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде cos sin , ч y A x B x = + где A, B – неизвестные коэффициенты. Дифференцируем ч y трижды: sin cos , ч y A x B x ′ = − + cos sin , ч y A x B x ′′ = − − sin cos . ч y A x B x ′′′= − Подставляем ч y ′′′ и ч y ′ в заданное дифференциальное уравнение: sin cos ( sin cos ) sin . A x B x A x B x x − − − + = Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометриче- ских функциях, получаем систему { 2 1, 2 0, A B = − = из которой находим 1 , 0. 2 A B = = Тогда получаем: cos 2 ч x y = Общее решение заданного дифференциального уравнения: 1 2 3 cos 2 x x x y C C e C e − = + + + Дифференцируем общее решение: 2 3 2 3 sin , 2 cos 2 x x x x x y C e C e x y C e C e − − ′ = − + − ′′ = + − 231 Подставляем заданные начальные условия: 1 2 3 2 3 2 3 5 1 , 2 2 0 , 3 1 2 2 C C C C C C C = + + + = − + = + − Из полученной системы находим 1 2 3 0, 1, 1. C C C = = = Решением задачи Коши является cos 2 x x x y e e − = + + Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) ; y y x ′′ − = 2) 7 6 cos ; y y y x ′′ ′ − + = 3) 3 2; y y x ′′ ′ + = − 4) 2sin . y y x ′′+ = 1.2. Решите задачу Коши: 1) 5 4 3 , x y y y e − ′′ ′ − + = 1 (0) , 48 y = 43 (0) ; 48 y ′ = 2) 2 4, y y ′′ ′ − = (0) 2, y = (0) 0; y ′ = 3) , y y x ′′′ ′ + = (0) 4, y = (0) 3, y ′ = (0) 1. y ′′ = − 1.3. Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа: 1) 1 4 ; cos 2 y y x ′′ + = 2) y y x ′′ − = II уровень 2.1. Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа: 1) 4 tg 2 ; y y x ′′+ = 2) 2 4 4 ; x e y y y x ′′ ′ − + = 3) 2 cos ; sin x y y x ′′′ ′ + = 4) 3 1 4 cos 2 y y x ′′− = 2.2. Решите уравнение: 1) 2 2 ; V IV y y y x ′′′ − − = 2) 4sin 2cos ; y y x x ′′− = − 3) sin 2 sin ; y y x x ′′ + = + 4) 3 3 24 x y y x e ′′ ′ − = − 232 2.3. Решите задачу Коши: 1) 2 , y y x ′′− = (0) 2, y = − (0) 4; y ′ = 2) 2 sin , x y y y e x ′′ ′ − + = (0) 1, y = (0) 2; y ′ = 3) 9 cos3 , y y x ′′+ = (0) 1, y = (0) 3; y ′ = 4) 2 , x x y y xe e ′′− = + 1 (0) , 4 y = 1 (0) 2 y ′ = 2.4. Укажите вид частного решения дифференциального уравнения: 1) 2 2 cos ; IV y y y y y x x ′′′ ′′ ′ − − − − = 2) 2 3 2 5; y iy x ix ′′′ ′′ − = − + 3) 3sin 2 5 cos 2 ; y y x x x ′′′ ′′ − = + 4) 3 10 9 2 2 V x x y y y xe e − ′′′ ′ − + = + III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) 2 sin ; x y y x e x ′′′ ′′ − = + + 2) 3 3 cos ; x y y e x ′′ − = + 3) 2 (cos ); x y y y e x x − ′′ ′ + + = + 4) 2sin sin 2 . y y x x ′′+ = 3.2. Найдите общее решение методом Лагранжа: 1) 2 2 1 ; x x y y e e ′′ − = − 2) 2 2 9 6 2 6 9 ; x x y y y x + + ′′ ′ − + = 3) 2 4 1 ; x y y x x + ′′− = 4) 2 3 2 2 2 x x y y y x + + ′′ ′ − + = 22.8. Системы дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений вида ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , n n n n n dy dx dy dx dy dx f x y y y f x y y y f x y y y = = = K K K (22.73) где 1 2 , , ..., n y y y – искомые функции переменной x, называ- 233 ется нормальной системой. Совокупность n функций 1 2 , , ..., , n y y y удовлетворяющих каждому уравнению системы (22.73), называется решением этой системы. Задача Коши для системы (22.73) состоит в нахождении решения этой системы, удовлетворяющего начальным услови- ям: 0 1 0 1 ( ) , y x y = 0 2 0 2 ( ) , y x y = …, 0 0 ( ) n n y x y = Основные методы интегрирования нормальных систем (22.73) – метод исключения и метод интегрируемых комбинаций. Метод исключения Этот метод позволяет свести нормальную систему из n ли- нейный дифференциальных уравнений к одному линейному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно од- ной неизвестной функции. Метод интегрируемых комбинаций Метод заключается в том, что посредством арифметических операций из уравнений системы (22.73) получают легко интег- рируемые уравнения относительно новой неизвестной функции. Пример 1. Решить систему: 1) 2 sin , ; 2 dy z x dx dz y dx z = + = 2) 1 1 2 2 2 1 2 , 4 ; dy y y dx dy y y dx = + = − 3) 1 3 2 2 3 3 3 1 , , dy y y dx dy y dx dy y y dx = − = = − |