Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоян- ных). Для его реализации необходимо сделать следующее: 1. Записать соответствующее однородное дифференциаль- ное уравнение. 2. Найти фундаментальную систему частных решений 1 1 2 2 ( ), ( ), ..., ( ) n n y y x y y x y y x = = = соответствующего однородного дифференциального уравнения. 3. Найти общее решение однородного уравнения в виде 1 1 2 2 , n n y C y C y C y = + + + (22.61) где 1 2 , , ..., n C C C – константы. 4. Решение заданного неоднородного дифференциального уравнения искать в виде (22.61), но считать, что 1 1 ( ), C C x = 2 2 ( ), ..., ( ) n n C C x C C x = = – функциональные коэффициенты, которые надо найти. 212 5. Для нахождения коэффициентов ( 1, ) k C k n = решения уравнения (22.61) необходимо записать систему уравнений 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 2) ( 2) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0, ..........................................................................., ( ) ( ) ( ) ( ) ... n n n n n n C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x − − ′ ′ ′ + + + = ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + + = ′ ′ + + ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ). n n n n n n n n C x y x C x y x C x y x C x y x f x − − − − ′ + = ′ ′ ′ + + + = (22.62) 6. Решить систему (22.62) относительно 1 ,..., n C C ′ ′ и получить 1 1 ( ) ( ), , ( ) ( ). n n C x x C x x ϕ ϕ ′ ′ = = K 7. Проинтегрировать полученные равенства для ( ), k C x ′ 1, k n = и найти 1 1 1 ( ) ( ) , ..., ( ) ( ) , n n n C x x dx C C x x dx C ϕ ϕ = + = + ∫ ∫ где 1 ,..., n C C – произвольные постоянные. 8. Подставить полученные выражения вместо 1 2 , , ..., n C C C в записанное решение (22.61). Это и есть общее решение заданно- го дифференциального уравнения (22.58). Согласно методу Лагранжа, сразу находим общее решение (22.60) заданного дифференциального уравнения (22.58) (без на- хождения отдельно его частного решения ч y ). Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений (22.58) с постоянными коэффициентами и правой ча- стью f(x) специального вида используют метод Эйлера (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим, если функция f(x) имеет вид: ( ) ( ) ( ) cos ( )sin , x n m f x e P x x Q x x α β β = + (22.63) где , , α β ∈ R ( ), n P x ( ) m Q x – многочлены степени n и m со- ответственно. Для реализации метода необходимо сделать следующее: 1. Решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение (22.59), используя характеристическое уравнение: 1 1 1 0 0. n n n a a a λ λ λ − − + + + + = (22.64) Общее решение дифференциального уравнения (22.59) за- писать в виде 0 1 1 2 2 , n n y C y C y C y = + + + (22.65) 213 где 1 2 , , ..., n y y y – частные решения уравнения (22.59), полу- ченные в соответствии с типом корней характеристического уравнения (22.64). 2. Записать контрольное число , i σ α β = + где , α β – числа, которые заданы в (22.63). Определить, имеется ли число σ сре- ди корней уравнения (22.64). Если имеется, то какова кратность k этого корня. 3. Если i σ α β = + не содержится среди корней характери- стического уравнения (22.64), то записать искомое частное ре- шение ч y дифференциального уравнения (22.58) в виде ( ( ) cos ( )sin ). x ч r r y e P x x Q x x α β β = + (22.66) Если среди корней характеристического уравнения (22.64) имеется корень , i σ α β = + кратность которого k, то искомое ча- стное решение ч y дифференциального уравнения (22.58) запи- сать в виде ( ( ) cos ( ) sin ), k x ч r r y x e P x x Q x x α β β = + (22.67) где в равенствах (22.66) и (22.67) ( ), r P x ( ) r Q x – многочлены степени r, m ax( , ) r n m = – бóльшая степень заданных много- членов в (22.63). Многочлены ( ) r P x и ( ) r Q x необходимо запи- сать в стандартном виде с буквенными коэффициентами. 4. Коэффициенты многочленов ( ), r P x ( ) r Q x найти методом неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо вычис- лить производные ( ) , , , n ч ч ч y y y ′ ′′ K функции (22.66) или (22.67) и подставить в левую часть уравнения (22.58). Далее надо привес- ти подобные относительно cos x β и sin , x β а затем приравнять многочлены при одноименных тригонометрических функциях. Используя равенство многочленов, записывают систему уравне- ний относительно искомых числовых коэффициентов. 5. Найденные значения числовых коэффициентов необхо- димо подставить в многочлены r P и r Q частного решения ч y , записанного в виде функции (22.66) или (22.67). 6. Записать общее решение заданного дифференциального уравнения (22.58) в виде (22.60), где решение 0 y имеет вид (22.65), а ч y – решение вида, записанного в предыдущем 5-м «шаге». 214 З а м е ч а н и е 1. Форма записи (22.66) или (22.67) сохраняется и в случаях, когда в исходном уравнении (22.58) ( ) n P x a = или ( ) , m Q x b = где a, b – числа. Тогда ( ) , r P x A = ( ) , r Q x B = где A, B – числа, которые надо найти. З а м е ч а н и е 2. Если правая часть уравнения (22.58) есть сумма различных функций специального вида, то для нахождения y ч использу- ют теорему о наложении решений: если в уравнении (22.58) правая часть имеет вид: 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ), k f x f x f x f x = + + + где , k ∈ N а 1 2 , , ..., k ÷ ÷ ÷ y y y – частные решения уравнений ( ) ( 1) 1 0 1 ( ) ( 1) 1 0 2 ( ) ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), n n n n n n n n n k y a x y a x y f x y a x y a x y f x y a x y a x y f x − − − − − − + + + = + + + = + + + = соответственно, то функция 1 2 k ч ч ч ч y y y y = + + + является решением заданного уравнения. 3. Если в правой части f(x) уравнения (22.58) присутствует только одно слагаемое с тригонометрической функцией (т. е. cos n P x β или sin m Q x β ), то общее решение и в этом случае записывают в виде (22.66) или (22.67), т. е. с двумя тригонометрическими функциями. Пример 1. Решить уравнение методом Лагранжа: 1) 1 ; sin y y x ′′ + = 2) 4 4 ; y y x ′′ − = 3) 4 6 x y y y y e ′′′ ′′ ′ + + − = Решение. 1) Это неоднородное линейное дифференциальное урав- нение 2-го порядка. Найдем решение соответствующего однородного уравнения 0. y y ′′ + = Его характеристическое уравнение 2 1 0, λ + = корни которого 1 , i λ = − 2 i λ = – комплексно-сопряженные, простые. Тогда общее ре- шение соответствующего однородного уравнения 0 1 2 cos sin , y C x C x = + где C 1 , C 2 – произвольные постоянные. Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде 1 2 cos sin , y C x C x = + (22.68) где 1 1 ( ), C C x = 2 2 ( ) C C x = – функции, которые надо найти. Для нахождения C 1 (x), C 2 (x) решим систему уравнений 1 2 1 2 cos sin 0, 1 (cos ) (sin ) sin C x C x C x C x x ′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + = 215 Используем, например, метод Крамера: 2 2 cos sin cos sin 1, sin cos x x x x x x ∆ = = + = − 1 0 sin 1, 1 cos sin x x x ∆ = = − 2 cos 0 cos ctg . 1 sin sin sin x x x x x x ∆ = = = − Тогда решениями системы будут: 1 1 2 2 , C C ∆ ′ = ∆ ∆ ′ = ∆ или 1 2 1, ctg . C C x ′ = − ′ = Интегрируя полученные равенства, получаем: 1 1 2 2 ( ) , ( ) ln | sin | , C x x C C x x C = − + = + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. Подставляем найденные значения функций в (22.68) и получаем общее решение заданного дифференциального уравнения: 1 2 cos sin cos sin ln | sin | . y C x C x x x x x = + − + 2) Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Найдем решение соответствующего однородного уравнения: 4 0. y y ′′ − = Его характеристическое уравнение 2 4 0, λ − = корни кото- рого 1 2, λ = 2 2 λ = − – простые, действительные. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения 2 2 0 1 2 , x x y C e C e − = + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде 2 2 1 2 , x x y C e C e − = + (22.69) где 1 1 ( ), C C x = 2 2 ( ) C C x = – функции, которые надо найти. Для нахождения 1 ( ), C x 2 ( ) C x решим систему уравнений 2 2 1 2 2 2 1 2 0, ( ) ( ) 4 . x x x x C e C e C e C e x − − ′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + = Используем метод Крамера: 216 2 2 0 0 2 2 2 2 4, 2 2 x x x x e e e e e e − − ∆ = = − − = − − 2 2 1 2 0 4 , 4 2 x x x e xe x e − − − ∆ = = − − 2 2 2 2 0 4 2 4 x x x e xe e x ∆ = = Тогда решение системы: 1 1 2 2 , C C ∆ ′ = ∆ ∆ ′ = ∆ или 2 1 2 2 , x x C xe C xe − ′ = ′ = − Интегрируем полученные равенства: ( ) 2 2 2 2 1 2 , 2 2 , 2 x x x x x u x du dx xe e C x xe dx dx e dv e dx v − − − − − = = = = = − + = = = − ∫ ∫ 2 2 1 , 2 4 x x xe e C − − = − − + ( ) 2 2 2 2 2 2 , , 2 2 , 2 x x x x x u x du dx xe e C x xe dx dx e dv e dx v = = = − = = − − = = = ∫ ∫ 2 2 2 2 4 x x xe e C = − + + Таким образом, 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) , 2 4 ( ) , 2 4 x x x x xe e C x C xe e C x C − − = − − + = − + + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. Подставляем найденные значения функций в (22.69) и получаем общее решение заданного дифференциального уравнения: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 2 4 x x x x x x xe e xe e y C e C e − − − = − − + + − + + После упрощения приходим к ответу: 2 2 1 2 x x y C e C e x − = + − 3) Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка. Найдем решение соответствующего однородного уравнения 217 4 6 0. y y y y ′′′ ′′ ′ + + − = Его характеристическое уравнение 3 2 4 6 0, λ λ λ + + − = корни ко- торого 1 1, λ = 2 2, λ = − 3 3 λ = − – действительные, простые. Тогда об- щее решение соответствующего однородного уравнения 2 3 0 1 2 3 , x x x y C e C e C e − − = + + где 1 2 3 , , C C C – произвольные постоянные. Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде 2 3 1 2 3 , x x x y C e C e C e − − = + + (22.70) где 1 1 2 2 3 3 ( ), ( ), ( ) C C x C C x C C x = = = – функции, которые надо найти. Для нахождения 1 2 3 ( ), ( ), ( ) C x C x C x решаем систему уравнений 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 0, 2 3 0, 4 9 x x x x x x x x x x C e C e C e C e C e C e C e C e C e e − − − − − − ′ ′ ′ + + = ′ ′ ′ − − = ′ ′ ′ + + = По методу Крамера: 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 4 2 3 0 3 4 3 8 4 9 0 3 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∆ = − − = − − = = 5 5 5 4 ( 24 12 ) ( 12 ) 12 , x x x x x x e e e e e e − − − − = − + = − = − 2 3 2 3 2 3 5 5 4 1 2 3 2 3 0 0 2 3 ( 3 2 ) , 2 3 4 9 x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e e e e − − − − − − − − − − − − − ∆ = − − = = − + = − − − 3 3 3 2 2 2 3 3 0 0 3 ( 3 ) 4 , 3 9 x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e e e e − − − − − − − − ∆ = − = − = − − − = − 2 2 2 3 2 2 0 2 0 ( 2 ) 3. 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e e e − − − − − − − ∆ = − = = − − = − − Тогда решение системы: 1 1 2 2 3 3 , , C C C ∆ ′ = ∆ ∆ ′ = ∆ ∆ ′ = ∆ или 1 3 2 4 3 1 , 12 , 3 4 x x C e C e C ′ = ′ = − ′ = 218 Интегрируя полученные равенства, получаем: 1 1 3 2 2 4 3 3 ( ) , 12 ( ) , 9 ( ) , 16 x x x C x C e C x C e C x C = + = − + = + где 1 2 3 , , C C C – произвольные постоянные. Подставляем найденные значения функций в (22.70) и получаем общее решение заданного дифференциального уравнения: 3 4 2 3 1 2 3 12 9 16 x x x x x x e e y C e C e C e − − = + + − + + + После упрощения приходим к ответу: 2 3 1 2 3 7 12 144 x x x x x y C e C e C e e − − = + + + − |