Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Задания I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) 2 2 ( ) 2 0; x y dy xydx − + = 2) 2 ( 2 ) 0; xdy x y dx − + = 3) 4 3 4 3 ( 2 ) ( 2 ) 0. y x y dx x xy dy − + − = 1.2. Решите задачу Коши: 1) , (1) 1; 2 x y y y x y − ′ = = − 2) 2 , (1) 0; xy y x y ′ = − = 3) 2 2 , (1) 0. y x y y y x + + ′ = = 181 II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) 1 ; 2 2 4 x y y x y + − ′ = + − 2) 3 2 1 ; 6 4 2 x y y x y + + ′ = + + 3) 2 ; 2 4 y y x y + ′ = + − 4) 7 3 7 3 7 3 x y y x y − + − ′ = − − 2.2. Решите задачу Коши: 1) ( 1) (5 7 1) 0, (0) 1; x y dx x y dy y + − − − + = = 2) ( 1) (2 2 1) 0, (0) 1; x y dx x y dy y + + − + − = = 3) ( 2 1) (2 1) 0, (0) 1. x y dy x y dx y + + − − + = = III уровень 3.1. Напишите уравнение кривой, проходящей через точку (– 1; – 1) так, что расстояние от начала координат до любой ка- сательной к этой кривой равно абсциссе точки касания. 3.2. Докажите, что интегральные кривые уравнения 2 4 2 2 4 2 2 5 2 y x x y y y x − + + ′ = пересекают прямую 2 y x = под уг- лом 4 π ϕ = 22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли Уравнение вида ( ) ( ), y p x y q x ′ + = (22.15) где ( ), ( ) p x q x – заданные непрерывные функции, называет- ся линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если ( ) 0, q x ≡ то уравнение (22.15) имеет вид: ( ) 0 y p x y ′ + = (22.16) и называется линейным однородным дифференциальным уравнением. Если ( ) 0, q x ≠ то уравнение (22.15) называют ли- нейным неоднородным дифференциальным уравнением. 182 Однородное уравнение (22.16) решают, разделяя переменные: ( ) dy p x dx y = − Его общее решение имеет вид ( ) , p x dx y Ce − ∫ = где С – произвольная постоянная. Общее решение линейного неоднородного уравнения (22.15) можно найти одним из следующих методов. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа): 1) находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения ( ) , p x dx y Ce − ∫ = , C const = ; C ∈ R 2) общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде ( ) ( ) , p x dx y C x e − ∫ = (22.17) где ( ) C C x = – некоторая функция, которую необходимо найти; 3) подставляем функцию (22.17) в уравнение (22.15) и нахо- дим функцию C(x): ( ) ( ) ( ) , p x dx C x C q x e dx ∫ = + ∫ где С – произвольная постоянная; 4) общее решение уравнения (22.15) записываем в виде ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y e C q x e dx − = + ∫ ∫ ∫ (22.18) Метод Бернулли: 1) ищем общее решение дифференциального уравнения (22.15) в виде , y u v = ⋅ (22.19) где ( ), u u x = ( ) v v x = – некоторые функции, которые надо найти; 2) подставляем функцию (22.19) и ее производную в урав- нение (22.15), получаем: ( ) ( ) u v uv p x uv q x ′ ′ + + = или ( ( )) ( ); u v vp x u v q x ′ ′ + + = (22.20) 183 3) функцию v(x) подбираем как частное решение (при 0 C = ) дифференциального уравнения ( ) 0; v vp x ′ + = (22.21) 4) при условии (22.21) решаем уравнение (22.20), которое приобретает вид ( ) u v q x ′ = как дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен- ными (находим его общее решение); 5) общее решение исходного уравнения (22.15) записываем как произведение найденных функций u(x) и v(x), т. е. в виде (22.19). З а м е ч а н и е. При решении дифференциальных уравнений ме- тодами Лагранжа и Бернулли реализуем «пошагово» описанные алго- ритмы. Уравнение вида ( ) ( ) , m y p x y q x y ′ + = (22.22) где , m ∈ R называется уравнением Бернулли. Если 0, m = то это линейное дифференциальное уравнение, если 1 m = – уравнение с разделяющимися переменными. Если 0; 1, m ≠ то при решении таких уравнений также при- меняют метод Лагранжа или метод Бернулли. Пример 1. Решить уравнение двумя способами: 1) 4 4 2 ; xy y x ′ − = 2) 3 2 y y x x ′ − = − Решение. 1) Преобразуем уравнение (полагая 0 x ≠ ) к виду ли- нейного неоднородного дифференциального уравнения 3 4 2 y y x x ′ − = 1-й способ. Решим методом Лагранжа. Найдем общее решение со- ответствующего ему однородного уравнения 4 0, y y x ′ − = 4 dy dx y x = Интегрируем и получаем: ln | | 4 ln | | ln y x C = + или 4 , y Cx = где C const = Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде 4 , y Cx = (22.23) 184 где ( ) C C x = – функция от переменной x. Найдем C(x). Для этого дифференцируем (22.23): 4 3 4 y C x Cx ′ ′ = + Подставляем функцию (22.23) и ее производную в исходное диф- ференциальное уравнение: 4 3 4 4 ( 4 ) 4 2 x С x Cx Cx x ′ + − = Упрощаем полученное уравнение и решаем относительно C ′ По- лучаем: 2 C x ′ = Далее интегрируем: 2 ( ) , C x dx C x = + ∫ ( ) 2 ln ; C x x C = + 2 ( ) ln C x x C = + Подставляем найденное выражение вместо C в равенство (22.23). Тогда общее ре- шение исходного дифференциального уравнения имеет вид 2 4 (ln ) y x C x = + 2-й способ. Ищем общее решение исходного уравнения в виде (22.19). После подстановки получим: 3 4 2 u v v u v x x ′ ′ − ⋅ + = (22.25) Подбираем функцию v как частное решение (при 0 C = ) уравнения 4 0, v v x ′ − = т. е. 4 dv dx v x = Вследствие интегрирования имеем: ln 4 ln , v x = 4 v x = Подставляем найденную функцию v в (22.25), получаем: 4 3 2 u x x ′ = Находим общее решение последнего уравнения, разделяя пере- менные: 2 du dx x = Интегрируем и получаем: 2 ln u x C = + или 2 ln , u x C = + где C const = Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид (в соответ- ствии с (22.19)): 2 4 (ln ) y x C x = + Вывод: в данном примере решение методом Бернулли (2-й способ) оказалось более рациональным, так как быстрее привело к ответу. 185 2) 1-й способ. Решим уравнение методом Лагранжа. Находим об- щее решение соответствующего ему однородного уравнения 0, y y x ′ − = т. е. dy dx y x = Интегрирование дает: ln ln ln y x C = + или , y Cx = C const = Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде , y Cx = (22.26) где ( ). C C x = Дифференцируем функцию (22.26): y C x C ′ ′ = + Подставляем функцию (22.26) и ее производную в исходное диф- ференциальное уравнение: 3 2 , Cx C x C x x ′ + − = − 3 2 , C x x ′ = − 2 2 C x ′ = − Интегрирование по- следнего равенства дает нам ( ) 3 2 , 3 x C x C = − + где C const = Подставляем найденное выражение вместо C(x) в (22.26). Получа- ем общее решение заданного уравнения: 3 2 , 3 y x C x = − + т. е. 4 2 3 y Cx x = − 2-й способ. Ищем общее решение в виде y uv = (метод Бернулли), где ( ), u u x = ( ) v v x = – функции, которые надо найти. Вычисляем про- изводную y u v uv ′ ′ ′ = + и подставляем ее вместе с функцией y uv = в исходное уравнение. Получаем: 3 2 , uv u v uv x x ′ ′ + − = − т. е. 3 2 v u v u v x x ′ ′ − + = − (22.27) Согласно методу, полагаем 0. v v x ′ − = Из этого уравнения (как из дифференциального уравнения с разделяющимися переменными) най- дем функцию v(x). Интегрируем равенство dv dx v x = и находим ln ln v x = (константу C полагаем равной нулю). 186 Из последнего уравнения имеем: v x = Возвращаемся к уравне- нию (22.27). С учетом равенства нулю выражения в скобках и найден- ной функции v(x) оно имеет вид: 3 2 u x x ′ = − или 2 2 du x dx = − Интегрируем последнее равенство. Получаем: 2 3 2 2 , 3 u x dx x C = − = − + ∫ где C const = Тогда общее решение y u v = ⋅ исходного дифференциального уравнения имеет вид: 3 2 , 3 y x C x = − + т. е. приходим к ответу: 4 2 3 y Cx x = − Вывод: более рациональным оказался метод Лагранжа (1-й спо- соб), так как быстрее привел к общему решению исходного дифферен- циального уравнения. Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения: 1) 1, (0) 1; y y x y ′ + = + = 2) 3 , (0) 0. x y y e y ′ − = = Решение. 1. Найдем общее решение методом Лагранжа. Рассмот- рим соответствующее однородное уравнение 0. y y ′ + = Решаем его как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, т. е. dy dx y = − Его решением является , x y Ce − = где C const = Ищем общее решение заданного дифференциального уравнения в виде , x y Ce − = (22.28) где ( ) C C x = – некоторая функция. Найдем функцию ( ). C x Дифференцируем выражение (22.28): x x y C e Ce − − ′ ′ = − Подставляем найденную производную и функцию (22.28) в задан- ное уравнение, получаем: 1, x x x C e Ce Ce x − − − ′ − + = + т. е. 187 1 x C e x − ′ = + или ( ) ( 1). x C x e x ′ = + Тогда ( ) ( 1) x C x e x dx C = + + ∫ Интегрируя по частям, получим: ( ) , x C x xe C = + где C const = Найденное выражение С (x) подставляем в равенство (22.28), по- лучаем: x y x Ce − = + Найдем частное решение, используя начальное условие. Если 0 x = и 1, y = то 1. C = Значит, частное решение имеет вид: x y x e − = + 2) Найдем общее решение методом Бернулли, т. е. в виде y u v = ⋅ После подстановки производной y u v uv ′ ′ ′ = + и самой функции y uv = в исходное дифференциальное уравнение получаем: 3 , x u v uv uv e ′ ′ + − = т. е. ( ) 3 x u v v u v e ′ ′ − + = (22.29) Полагаем 3 0. v v ′ − = Интегрируем это уравнение как дифферен- циальное уравнение с разделяющимися переменными и находим v(x): 3 , dv v dx = 3 , dv dx v = ln 3 v x = (полагаем 0 C = ) или 3 x v e = Возвращаемся к дифференциальному уравнению (22.29): 3 , x x u e e ′ = 2 , x u e − ′ = 2 x du e dx − = Имеем уравнение 2 , x du e dx − = которое интегрируем, и получаем: 2 2 , 2 x x e u e dx C − − = = − + ∫ где C const = Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 2 3 2 x x e y C e − = − + или 3 2 x x e y Ce = − Найдем частное решение, используя начальное условие. Если 0 x = и 0, y = то 1 2 C = Значит, частное решение имеет вид: 3 2 x x e e y − = 188 Пример 3. Решить уравнение: 1) 2 ln ; 5 y x xy y ′ + = 2) 2 cos y x y y xy ′ ′ + = Решение. 1) Это уравнение Бернулли. Будем искать общее реше- ние методом Бернулли, т. е. в виде y u v = ⋅ После подстановки получим: ( ) 2 2 ln 5 u v x x u v uv uv ′ ′ + + = После упрощения имеем: 2 2 ln ( ) 5 u v x u xv v u vx ′ ′ + + = (22.30) Полагая 0, xv v ′ + = находим функцию ( ) : v v x = , dv dx v x = − ln ln , v x = − 1 v x = (полагаем 0 C = ). Подставляем найденную функцию 1 v x = в дифференциальное уравнение (22.30): 2 2 1 ln 1 5 x u x u x x ⋅ ′⋅ ⋅ = или 2 2 ln 5 du x dx u x = Интегрируем последнее уравнение: 2 1 ln 5 x dx Ñ u x − = + ∫ После интегрирования по частям получаем: ( ) 1 1 ln 1 , 5 x C u x − = − + + откуда 5 ln 1 5 x u x xC = + + Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 5 ln 5 1 y x Cx = + + 2) Запишем заданное уравнение в виде 2 cos dy dy x y y x dx dx + = Это уравнение не является линейным дифференциальным уравне- нием вида (22.15) или уравнением Бернулли вида (22.22). Умножим за- 189 данное уравнение на , dx dy получим: 2 cos dx x y y x dy + = Разделим его на y ( 0 y ≠ ) и получим уравнение Бернулли 2 1 cos , dx x x y dy y y − = − (22.31) решением которого является функция ( ). x x y = Ищем общее решение последнего дифференциального уравнения в виде , x u v = ⋅ где ( ), u u y = ( ). v v y = Находим производную x u v uv ′ ′ ′ = + и подставляем ее вместе с функцией в уравнение (22.31): 2 2 cos uv u v u v uv y y y ′ ′ + − = − или 2 2 cos . v u v u v u v y y y ′ ′ − + = − (22.32) Найдем v(y), решая уравнение 0, v v y ′ − = т. е. dv dy v y = Интегрирование дает: ln | | ln | |, v y = т. е. v y = (полагаем 0 C = ). Подставляем найденную функцию v в уравнение (22.32): 2 2 cos , u y u y y y ′ = − 2 cos du ydy u = − Интегрируя последнее уравне- ние, получим: 1 sin y C u − = − + или 1 sin u C y = + Получаем общее решение (общий интеграл) заданного дифферен- циального уравнения: sin y x C y = + или ( ) sin y x C y = + |