Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
1) 3 2 3 1 ; (3 ) dx x − ∫ 2) 1 1 2 ln(2 1) ; 2 1 x dx x − − ∫ 3) 3 1 ; ( 1)(3 ) dx x x − − ∫ 4) 2 3 5 2 0 sin cos xdx x π ∫ Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке 3 x = – правом конце промежутка интегрирования. Для вычисления интеграла используем формулы (21.11) и (21.12): 2 3 1 3 3 3 3 2 2 0 0 3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 0 0 0 1 1 1 3 lim lim (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 ) lim 3 lim 3 3( lim 2) 3 2. dx dx x d x x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − − − →+ →+ − − →+ →+ →+ = = − − − = − − − = − = − − = − − = ∫ ∫ ∫ 2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке 1 2 x = – в левом конце промежутка. Согласно формуле (21.13) и формуле Нью- тона-Лейбница, имеем: 1 1 1 2 1 0 0 2 1 1 2 2 ln(2 1) 1 1 ln (2 1) lim ln(2 1) ln(2 1) lim 2 1 2 2 2 x x dx x d x x ε ε ε ε →+ →+ + + − − = − − = = − ∫ ∫ 2 2 0 0 1 1 lim(ln 1 ln (1 2 1)) lim ln 2 4 4 ε ε ε ε → → = − + − = − = +∞ 157 Интеграл расходится. 3) Подынтегральная функция имеет две особые точки: 1, x = 3 x = – концы промежутка интегрирования. Тогда 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 2 3 1 1 2 3 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 3 2 2 0 0 0 1 2 ( 1)(3 ) ( 1)(3 ) ( 1)(3 ) ( 2) lim lim lim 4 3 4 3 1 ( 2) ( 2) lim lim arcsin( 2) lim arcsin( 1 ( 2) dx dx dx x x x x x x dx dx d x x x x x x d x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − →+ →+ →+ + + − →+ →+ →+ + = + = − − − − − − − = + = + − + − − + − − − − + = − + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 1 2 3 2 1 2 0 0 2) arcsin 0 lim arcsin( 1) lim arcsin(1 ) arcsin 0 arcsin 1 arcsin1 2arcsin1 2 2 ε ε ε ε ε π π − →+ →+ = = − − + − − = = − − + = = ⋅ = 4) Подынтегральная функция имеет особенность во внутренней точке 2 x π = промежутка интегрирования. Для вычисления интеграла используем формулу (21.14) и формулу Ньютона-Лейбница. Получим: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 5 5 1 2 2 3 5 1 1 2 0 3 2 5 5 5 2 2 2 0 0 2 2 3 2 5 5 2 2 0 0 0 2 2 3 2 0 0 0 2 2 0 0 sin sin sin cos cos cos sin sin lim lim cos cos lim cos cos lim cos cos cos lim 3 5 xdx xdx xdx x x x xdx xdx x x x d x x d x x π π π π π ε ε ε π ε π π ε ε ε π ε π ε ε − − − →+ → + − →+ →+ + − →+ = + = = + = = − − = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 5 2 2 2 3 0 2 cos lim 3 5 x π ε π ε →+ + − = 158 1 1 2 2 2 5 5 3 3 3 2 0 0 0 2 5 cos 5 cos lim lim 3 3 x x π π ε ε ε π ε − →+ →+ + = − − = 1 2 3 3 5 5 1 2 5 0 0 5 5 cos 5 cos 2 2 5 5 1 lim lim 3 3 3 8 3 5 5 1 3 3 8 ε ε π π ε ε →+ →+ − + = − + + ⋅ + = = + Пример 3. Исследовать интеграл на сходимость: 1) 1 1 2 ; ln dx x ∫ 2) 1 2 4 2 2 0 sin ; xdx x x x + ∫ 3) 1 7 4 0 1 sin x dx x ∫ Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке 1. x = Сравним функцию 1 ln x с функцией 1 ( 1) p x − По правилу Лопи- таля вычислим предел 1 1 1 1 1 1 ln 1 lim lim lim ( 1) ( 1) ( 1) p p p x x x x x x p x xp x − − → → → = = − − − Если 1, p = то 1 ln lim 1. 1 x x x → = − Это означает, что функции 1 ln x и 1 1 x − эквивалентны при 1. x → Поскольку расходится интеграл 1 1 2 1 dx x − ∫ (пример 1, с. 155–156), то расходится также интеграл 1 1 2 ln dx x ∫ 2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке 0. x = Так как sin , x x 2 2 sin , x x 9 9 4 4 4 2 2 4 1 x x x x x x + = + при 0, x → то справедлива эквивалентность 1 4 2 4 2 2 sin x x x x x + при 0. x → Поэтому из 159 сходимости интеграла 1 4 1 0 dx x ∫ (пример 1, с. 141) следует сходимость ин- теграла 1 2 4 2 2 0 sin x dx x x x + ∫ 3) Подынтегральная функция ( ) 7 4 1 sin x f x x = является знакопере- менной функцией на промежутке (0; 1]. Исследуем интеграл на абсо- лютную сходимость. Так как 1 sin 1 x ≤ для любого ( ] 0; 1 , x ∈ то 1 1 1 4 7 7 4 4 7 0 0 0 1 sin x dx dx dx x x x ≤ = ∫ ∫ ∫ Поскольку показатель 4 1, 7 p = < то согласно формуле (21.16) ин- теграл сходится. Отсюда следует, что заданный интеграл сходится абсолютно. Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла 5 1 2 dx x − ∫ Решение. Интеграл от функции 1 2 y x = − на отрезке [1; 5] расхо- дится (пример 1, с. 155–156). Однако он сходится в смысле главного значения. 5 2 5 0 1 1 2 V.p. lim 2 2 2 dx dx dx x x x ε ε ε − →+ + = + = − − − ∫ ∫ ∫ 5 2 0 0 2 1 0 0 lim ln 2 lim ln 2 lim ln ln1 ln 3 lim ln ln 3. x x ε ε ε ε ε ε ε ε − →+ →+ + →+ →+ − + − = = − + − = 160 Задания I уровень 1.1. Вычислите несобственный интеграл второго рода или установите его расходимость: 1) 1 2 0 ; dx x ∫ 2) 2 5 1 ; 1 dx x − ∫ 3) 1 ; ln e dx x x ∫ 4) 3 4 3 1 ; (3 ) dx x − ∫ 5) 3 2 ; 2 dx x − ∫ 6) 2 7 0 ; 1 dx x − ∫ 7) 3 1 ; ln e dx x x ∫ 8) 2 5 3 0 ln(2 5 ) 2 5 x dx x − − ∫ 1.2. Исследуйте несобственный интеграл второго рода на сходимость: 1) 4 3 cos ; 3 x dx x − ∫ 2) 1 4 0 1 sin ; x dx x ∫ 3) 1 3 2 0 sin 2 ; x dx x ∫ 4) 2 6 tg x dx π π ∫ II уровень 2.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: 1) 1 4 0 ; 1 xdx x − ∫ 2) 2 4 0 ; 16 xdx x − ∫ 3) ( ) 6 6 7 0 cos3 ; 1 sin3 x dx x π − ∫ 4) 6 2 3 2 ; (3 ) dx x − ∫ 5) 2 2 0 ; cos tgx e dx x π ∫ 6) 2 1 ; 1 xdx x − ∫ 7) 1 2 4 3 1 5 3 ; x dx x − − ∫ 8) 4 2 3 ; 9 xdx x − ∫ 9) 4 2 ; ( 2)(4 ) dx x x − − ∫ 10) 3 2 2 sin ; cos xdx x π π ∫ 11) 2 2 6 0 ; 64 x dx x − ∫ 12) 4 0 ctg ; x dx π ∫ 161 13) 3 2 3 ; 1 xdx x − − ∫ 14) 7 2 3 ; ( 5) dx x − ∫ 15) 3 4 1 cos dx x π π + ∫ 2.2. Исследуйте несобственный интеграл второго рода на сходимость: 1) 1 0 1 cos ; x dx x ∫ 2) 1 0 2 ; sin x x e dx ∫ 3) 4 0 1 cos ; x dx x π − ∫ 4) 3 1 0 ; 1 x dx e − ∫ 5) 1 5 sin 0 ln(1 ) ; 1 x x dx e + − ∫ 6) 1 4 3 0 ln(1 ) ; 1 tgx x dx e + − ∫ 7) 1 0 ; sin dx x x − ∫ 8) 2 0 ; 1 cos 2 dx x π − ∫ 9) 1 0 cos x dx e x − ∫ III уровень 3.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость: 1) 1 3 0 ; 1 dx x − ∫ 2) 3 2 2 1 ; 3 2 dx x x − − ∫ 3) 2 1 1 arcsin 2 0 2 ; 1 x e dx x π π − − ∫ 4) 1 2 1 ; (2 ) 1 dx x x − − − ∫ 5) 2 2 1 ; 3 2 1 dx x x x − − ∫ 6) 1 2 0 1 dx x x + ∫ 3.2. Найдите главное значение несобственного интеграла второго рода: 1) 3 1 ; dx x − ∫ 2) 3 1 ; 2 dx x − ∫ 3) 2 1 3 ; ln dx x x ∫ 4) 1 3 1 ; dx x − ∫ 5) 6 2 4 ; ( 5) dx x − ∫ 6) 2 5 1 ( 1) dx x − ∫ 162 3.3. Исследуйте несобственный интеграл на сходимость: 1) 1 0 ; tg dx x x − ∫ 2) 2 2 3 0 1 sin ; dx x x π ∫ 3) 2 0 ln sin ; xdx π ∫ 4) 7 3 4 0 2 3 dx x x x + + ∫ 3.4. Вычислите несобственный интеграл второго рода, ис- пользуя формулу интегрирования по частям: 1) 2 0 ln sin ; xdx π ∫ 2) 1 1 ln 2 3 0 ; x e dx x ∫ 3) 1 0 arcsin ; x dx x ∫ 5) 1 2 0 ln ; 1 xdx x − ∫ 4) 2 0 ctg ; x x dx π ∫ 6) 0 ln sin x xdx π ∫ 163 22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 22.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Пусть x – независимая переменная, y(x) – функция от пере- менной x, заданная на некотором промежутке. Дифференциальным уравнением (обыкновенным диффе- ренциальным уравнением) называется уравнение, связывающее независимую переменную x, функцию y(x) и ее производные. Порядком дифференциального уравнения называется наи- высший порядок производной, входящей в него. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид: ( , , ) 0, F x y y ′ = (22.1) где F – некоторое выражение относительно x, искомой функции y(x) и ее производной, заданное в области 2 D ⊂ R Если дифференциальное уравнение разрешено относительно производной функции, то его общий вид: ( , ), y f x y ′ = (22.2) где f – некоторое выражение относительно x и y, 2 ( , ) x y D ∈ ⊂ R В таком случае говорят, что дифференциальное уравнение записано в нормальном виде. Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция ( ), y y x = которая обращает это уравнение в тождество. Поиск решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, а график этого решения – интегральной кривой. Начальным условием (условием Коши) называется условие 0 0 ( ) y x y = ( ) 0 0 , , x y ∈ R которым задается дополнительное тре- бование на решение y(x) дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения (22.2) в области ( , ) D x y ∋ называется функция ( , ), y x C ϕ = удовлетво- ряющая условиям: 164 1) ( , ) x C ϕ является решением данного дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной С; 2) для любого начального условия 0 0 ( ) , y x y = такого, что 0 0 ( , ) , x y D ∈ существует единственное значение 0 , C C = при ко- тором решение 0 ( , ) y x C ϕ = удовлетворяет начальному условию. Общее решение ( , , ) 0, Ф x y C = заданное в неявном виде, на- зывается общим интегралом дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения назы- вается всякое решение, полученное из общего при конкретном значении 0 C C = Задачей Коши называется задача отыскания частного реше- ния дифференциального уравнения, удовлетворяющего задан- ному начальному условию ( ) 0 0 y x y = Геометрически общему решению на координатной плоскости соответствует семейство интегральных кривых ( , ), y x C ϕ = зависящее от числового па- раметра С, а частному решению – определенная интегральная кривая, проходящая через точку 0 0 ( , ). x y Теорема Коши. Если функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную производную f y ∂ ∂ в области D, то решение диффе- ренциального уравнения (22.2) при начальном условии 0 0 ( ) , y x y = 0 0 ( , ) x y D ∈ существует и единственно. Решение дифференциального уравнения, во всех точках ко- торого не выполняется условие единственности, называется осо- бым решением. Особое решение не может быть получено из общего решения дифференциального уравнения ни при каком значении произвольной постоянной C. Дифференциальное уравнение вида 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, f x g y dx f x g y dy + = (22.3) где 1 2 , f f – функции переменной x, 1 2 , g g – функции пере- менной y, называется |