Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 18 из 31

Решение. 1) По определению (21.3) несобственного интеграла имеем:
0 0
0 3
3 3
3 1
1 1
1 1
lim lim lim
0
,
3 3
3 3
3
x
x
x
a
a
a
a
a
a
e dx
e dx
e
e
→−∞
→−∞
→−∞
−∞


=
=
= −
= − =




∫
∫
значит, интеграл сходится.
2) По определению (21.1) несобственного интеграла имеем:
1 1
1
lim lim ln lim ln ln1 0
b
b
b
b
b
dx
dx
x
b
x
x
+∞
→+∞
→+∞
→+∞
=
=
=
−
= +∞ − = +∞
∫
∫
Интеграл расходится, так как первообразная ( ) ln
F x
x
=
является бесконечно большой функцией на бесконечности.
141 3) Интеграл
0
sin xdx
+∞
∫
расходится, так как функция
0
( )
sin cos
1,
b
b
xdx
b
Φ
=
=
−
∫
0,
b
>
не стремится ни к какому пределу при
b
→ +∞
4) Вычисляем:
2 4
4 2 2 1
1 1
1
(4
)
lim lim
8 16 1
16 1
(4
)
1
b
b
b
b
xdx
xdx
d
x
x
x
x
+∞
→+∞
→+∞
=
=
=
−
−
−
∫
∫
∫
(
)
(
)
2 4
2 2
1 1
1
lim ln 4 16 1
lim ln 4 16 1
8 8
b
b
x
x
b
b
+∞
→+∞
→+∞
=
+
−
=
+
− −
1 1
ln(4 15)
ln(4 15)
8 8
−
+
= ∞ −
+
= ∞
Интеграл расходится.
Пример 2. Исследовать, при каких значениях p сходится несобст- венный интеграл
,
0.
p
a
dx
a
x
+∞
>
∫
Решение. По определению (21.1) имеем:
1
lim
, åñëè
1 1
lim lim lim ln | |
, åñëè
1
p
b
b
b
b
p
a
p
p
b
b
b
a
a
a
b
a
x
p
dx
dx
p
x
dx
x
x
x
p
− +
+∞
→+∞
−
→+∞
→+∞
→+∞

≠ −

− +
=
=
=
=


=

∫
∫
∫
(
)
(
)
1 1
1 1
1 1
1
lim
, åñëè
1
, åñëè
1;
1 1
lim ln ln
, åñëè
1
, åñëè
1.
p
p
p
b
b
p
p
p b
a
p
a
b
a
p
p
−
−
−
→+∞
→+∞




−
≠ −
>




−
=
=



 −
−
=

∞
≤


Следовательно, интеграл
(
)
0
p
a
dx
a
x
+∞
>
∫
сходится, если
1,
p
>
и расходится, если
1.
p
≤
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл первого рода:

142 1)
2
;
(
4 5)
dx
x
x
π
+∞
−∞
+
+
∫
2)
0 2 7 5
;
(9
)
xdx
x
−∞
+
∫
3)
2 1
;
(1 ln
)
dx
x
x
+∞
+
∫
4)
2 2
3 4
;
(
1)
dx
x
+∞
−
∫
5)
0
x
xe dx
−∞
∫
Решение. 1) Выделим в знаменателе подынтегрального выраже- ния полный квадрат и представим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:
0 2
2 2
2 0
1 1
1
(
4 5)
(
2)
1
(
2)
1
(
2)
1
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
π
π
π
π
+∞
∞
+∞
−∞
−∞
−∞
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
0 0
2 2
0 0
1 1
1
lim lim lim arctg (
2)
(
2)
1
(
2)
1 1
1 1
lim arctg (
2)
arctg 2
lim arctg(
2)
1 1
1 1
lim arctg(
2)
arctg 2 2.
2 2
b
a
b
a
à
a
b
b
a
b
dx
dx
x
x
x
x
a
b
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
→−∞
→+∞
→−∞
→+∞
→−∞
→+∞
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
+ +


+
+ −
= − ⋅ −
+ ⋅ =




∫
∫
2) Используем метод поднесения под знак дифференциала. Для это- го, выделив производную квадратного трехчлена в числителе, получим:
0 0
0 7
2 2
5 2 7 2 7 5
5 1
2 1
lim lim
(9
)
(9
)
2 2
(9
)
(9
)
a
a
a
a
xdx
xdx
x
d
x
x
x
−
→−∞
→−∞
−∞
=
=
+
+
=
+
+
∫
∫
∫
2 2
5 0
0 2 2 5
1 (9
)
5 1
lim lim
2 2
4
(9
)
5
a
a
a
a
x
x
−
→−∞
→−∞
+
=
= −
=
+
−
5 5
5 2 2 5
5 5
1 5
5
lim
0 4
4 81 4 81 4 81
(9
)
a
a
→−∞
= −
+
= −
+ = −
+
3) Вычисляем:
2 2
1 1
1
(ln )
lim lim arctg ln
(1 ln
)
1 ln
b
b
b
b
dx
d
x
x
x
x
x
+∞
→+∞
→+∞
=
=
=
+
+
∫
∫
lim arctg ln arctg ln1 0
2 2
b
b
π
π
→+∞
=
−
= − =
143 4) Представим подынтегральную функцию в виде суммы про- стейших дробей:
2 2
2 2
2 2
4 4
1 1
(
1)
(
1) (
1)
(
1)
(
1)
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
=
=
+
+
+
−
+
−
−
+
−
+
Далее приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители:
2 2
2 2
4
(
1)(
1)
(
1)
(
1) (
1)
(
1) .
A x
x
B x
C x
x
D x
=
−
+ +
+ +
−
+ +
−
(21.8)
Неизвестные коэффициенты найдем с помощью метода частных значений:
1, 4 4 ,
1.
x
B B
=
=
=
1, 4 4 ,
1.
x
D D
= −
=
=
Вычислим производную от обеих частей равенства (21.8):
2 2
0
(
1)
2 (
1)(
1)
2 (
1)
(
1)
A x
A x
x
B x
C x
=
+
+
−
+ +
+ +
−
+
2 (
1)(
1)
2 (
1).
C x
x
D x
+
−
+ +
−
Тогда для
1
x
=
получаем:
4 4
0,
,
1.
A
B
A
B A
+
=
= −
= −
Для
1
x
= −
имеем:
4 4
0,
,
1.
C
D
C
D C
−
=
=
=
В итоге получаем:
2 2
2 2
3 3
2 2
3 4
1 1
1 1
1 1
(
1)
(
1)
(
1)
1 1
1 1
lim
1 1
(
1)
(
1)
b
b
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
+∞
+∞
→+∞


−
=
+
+
+
=




−
+
−
−
+




−
=
+
+
+
=




−
+
−
+


∫
∫
∫
3 3
1 1
1 1
lim ln
1
ln
1 1
1 1
1 1
lim ln
1 1
1 1
1 1
1 1
lim ln lim lim ln 2 1
1 1
2 4
1 3
ln lim
0 0 ln 2 1
4 1
3 3
3
ln lim ln 2
ln1
ln 2
l
4 4
4 1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
b
b
b
b
b
b
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞


=
−
− −
+
+ −
=


−
+



+

=
−
−
=


−
−
+


+


=
−
−
−
− −
=


−
−
+


+
=
− − −
+ =
−
+
=
−
+ =
+ −
= −
−
n 2.
5) Применим формулу интегрирования по частям:

144 0
0 0
0
,
,
lim
,
lim lim
0
lim lim lim
1
lim lim
1.
x
x
x
x
a
a
x
x
a
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
u
x dv
e dx
xe dx
xe dx
du
dx v
e
xe
e dx
ae
e
ae
e
ae
→−∞
−∞
→−∞
→−∞
→−∞
→−∞
→−∞
→−∞
→−∞
=
=
=
=
=
=
=
=
−
= −
−
=
= −
− +
= −
−
∫
∫
∫
Для вычисления предела используем правило Лопиталя (по пере- менной a):
( )
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
1 0 1 1.
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ae
e
e
e
−
−
−
→−∞
→−∞
→−∞
→−∞
′
−
− = −
− = −
− = −
− = − =
′
−
Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла:
1)
2
;
16
dx
x
+∞
−∞
+
∫
2)
2 1
1
x
dx
x
+∞
−∞
+
+
∫
Решение. 1) Найдем главное значение данного интеграла по опре- делению (21.5):
V.p.
2 2
1
lim lim arctg
4 4
16 16
a
a
a
a
a
a
dx
dx
x
x
x
+∞
→+∞
→+∞
−
−∞
−


=
=
=


+
+


∫
∫
1 1
lim arctg arctg lim arctg arctg
4 4
4 4
4 4
a
a
a
a
a
a
→+∞
→+∞






=
−
−
=
+
=












1 1
lim 2arctg
2 4
4 4
2 4
a
a
π π
→+∞
=
= ⋅ ⋅ =
Заметим, что вычисление интеграла по формуле (21.4) также дает
4
π
(просьба убедиться самостоятельно), т. е. он сходится и в обычном смысле.
2) Найдем главное значение данного интеграла по определе- нию (21.5):
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
V.p.
lim lim
2 1
1 1
1 1
(1
)
lim arctg
2 1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
dx
xdx
dx
dx
x
x
x
x
d
x
x
x
+∞
→+∞
→+∞
−∞
−
−
−
→+∞
−
−


+
+


=
=
+
=


+
+
+
+






+


=
+
=


+




∫
∫
∫
∫
∫
145 2
1
lim arctg arctg(
)
ln(1
)
2
a
a
a
a
a
x
→+∞
−


=
−
− +
+
=




2 2
1 1
lim
2 arctg ln(1
)
ln(1
)
lim 2arctg
2 2
2 2
a
a
a
a
a
a
π π
→+∞
→+∞


=
+
+
−
+
=
= ⋅ =




Можно убедиться, что интеграл
2 1
1
x
dx
x
+∞
−∞
+
+
∫
является расходящимся в обычном смысле.
Пример 5. Исследовать интеграл на сходимость, используя при- знак сравнения:
1)
2 1
;
dx
x
x
+∞
+
∫
2)
4 3
1 3
x
dx
x
+∞
+
∫
Решение. 1) При
)
1;
,
x
∈
+∞

функция
2 1
0,
x
x
>
+
причем
2 2
1 1
( ).
g x
x
x
x
<
=
+
Интеграл
2 1
dx
x
+∞
∫
сходится, так как
2 2
1 1
1 1
1
lim lim lim
1 1.
b
b
b
b
b
dx
dx
x
b
x
x
+∞
→+∞
→+∞
→+∞


=
=
−
= −
+ =




∫
∫
Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл
2 1
dx
x
x
+∞
+
∫
сходится.
2) Функция
4 3
3 0
x
x
+ >
при
)
1;
,
x
∈
+∞

причем
( )
4 4
3 3
3 1
x
g x
x
x
+ >
=
Интеграл
∫
+∞
1 4
3
x
dx
расходится, так как
1 3
4 4
4 4
4 3
3 1
1 1
1 1
1 4
lim lim lim
4 lim
4
b
b
b
b
b
b
b
b
dx
dx
x
x dx
x
x
x
−
+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
=
=
=
=
= ∞ − = ∞
∫
∫
∫
Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл
4 3
1 3
x
dx
x
+∞
+
∫
расходится.

146
Пример 6. Исследовать на сходимость несобственные интегралы по предельному признаку сравнения:
1)
7 1
;
7 2
2
dx
x
x
+∞
+
+
∫
2)
1
;
2 1
x
dx
x
+∞
−
∫
3)
2 1
1
ln cos
x
dx
x
+∞
∫
Решение. 1) Функция
( )
7 1
0 7
2 2
f x
x
x
=
>
+
+
при
)
1;
x
∈
+∞

Рас- смотрим функцию
( )
7 1
,
g x
x
=
интеграл от которой сходится (пример 2, с. 141 данного пособия).
Найдем
7 7
( )
1
lim lim
0.
( )
2 7
2 2
x
x
f x
x
g x
x
x
→+∞
→+∞
=
= ≠
+
+
Поэтому, согласно предельному признаку сравнения заключаем, что
7 1
7 2
2
dx
x
x
+∞
+
+
∫
также сходится.
2) Функция
( )
0 2
1
x
f x
x
=
>
−
при
)
1;
x
∈
+∞

Рассмотрим функ- цию
( )
1
,
g x
x
=
интеграл от которой расходится (пример 2, с. 141).
Находим:
( )
1
lim lim lim
0.
( )
2 1
2 1
2
x
x
x
f x
x
x
x
g x
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
⋅
=
=
= ≠
−
−
Поэтому, согласно предельному признаку сравнения,
1 2
1
x
dx
x
+∞
−
∫
расходится.
3) Функция
( )
2 1
ln cos
0
x
f x
x
 
 
 
=
<
при
[
)
1;
x
∈ + ∞
Поэтому иссле- дуем на сходимость интеграл
2 1
1
ln cos
,
x
dx
x
+∞
 
−
 
 
∫
который будет схо- диться или расходиться одновременно с заданным интегралом. Ис- пользуем эквивалентность бесконечно малых функций: ln(1
)

,
x
x
+
0,
x
→
2 1 cos
,
2
x
x
−
0.
x
→
Сделаем следующие преобразования:
147 2
2 2
1 1
1
ln cos ln 1
cos
1
cos
1,
x
x
x




=
+
−
−








;
x
→ +∞
2 4
1 1
1 cos

,
2
x
x
−
x
→ +∞
Поэтому имеем
2 4
1
lncos
1

,
2
x
x
xx
 
−
 
 
x
→ +∞
Так как из- вестно, что несобственный интеграл от функции
( )
9 2
1
g x
x
=
сходится на промежутке
[
)
1;
+∞
(пример 2, с. 141 данного пособия), то сходится также интеграл
2 1
1
ln cos
,
x
dx
x
+∞
 
−
 
 
∫
а вместе с ним и заданный интеграл
2 1
1
ln cos
x
dx
x
+∞
 
 
 
∫
Пример 7. Исследовать на сходимость интеграл
1
sin
,
p
x
dx
x
+∞
∫
где
0.
p
>
Решение. Используем признак Абеля-Дирихле. Функция
( )
sin
f x
x
=
имеет ограниченную первообразную
( )
cos ,
F x
x
= −
[
)
1;
,
x
∈
+∞
функция
( )
1
p
g x
x
=
монотонно убывает и имеет непре- рывную производную. Кроме того,
1
lim
0.
p
x
x
→+∞
=
Таким образом, все условия признака Абеля-Дирихле выполняются, а значит интеграл
1
sin
p
x
dx
x
+∞
∫
сходится.