Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
МАТЕМАТИКА в пр и м е р а х и з а д а ч а х Ча с т ь 4 под общ. ред. Л. И. Майсеня МИНСК 2007 ∫ ∫ + b b + a a f(x)dx lim f(x)dx ∞ → ∞ = ∫ ∫ udv uv vdu = − ′ y p(x)y q(x) + = y = ax + b ′ F(x, y, y ) 0 = a y 0 a x –a –a М А Т ЕМ А Т И КА в пр и м е р ах и з ад ач ах 4 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» М А Т Е М А Т И К А В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие для учащихся колледжей В шести частях Под общей редакцией Л. И. Майсеня ЧАСТЬ 4 Неопределенный интеграл Определенный интеграл. Несобственные интегралы Дифференциальные уравнения Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования, и учащихся учреждений, обеспечивающих получение среднего специального образования по специальностям электротехники, радиотехники и информатики МИНСК 2007 УДК 51 ББК 22.1я7 М34 Рекомендовано к изданию кафедрой математики и Научно- методическим советом Учреждения образования «Минский го- сударственный высший радиотехнический колледж» (протокол № 3 от 4.11.2007 г.) А в т о р ы: Л. И. Майсеня, М. В. Ламчановская, Н. В. Михайлова Р е ц е н з е н т ы: А. В. Метельский, д-р физ.-мат. наук, профессор БНТУ, кафедра высшей математики БГУИР Математика в примерах и задачах : учеб. пособие для М34 учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л. И. Майсе- ня. – Мн. : МГВРК, 2006 – . ISBN 978-985-6754-70-1 Ч. 4 : Неопределенный интеграл. Определенный инте- грал. Несобственные интегралы. Дифференциальные урав- нения / Л. И. Майсеня, М. В. Ламчановская, Н. В. Михай- лова. – 2007. – 248 с. ISBN 978-985-6851-25-7 Пособие написано с целью реализации непрерывного образования в системе учебных заведений колледж–университет. Разработано в соответствии с типовой программой дисциплины «Высшая математи- ка» для специальностей электро-, радиотехники и информатики выс- ших учебных заведений. Содержатся необходимые теоретические све- дения, примеры с подробными решениями и задания 3-х уровней сложности для самостоятельного решения. УДК 51 ББК 22.1я7 © Майсеня Л. И., Ламчановская М. В., Михайлова Н. В., 2007 ISBN 978-985-6851-25-7 (ч. 4) © Оформление. Учреждение обра- ISBN 978-985-6754-70-1 зования «Минский государствен- ный высший радиотехнический колледж», 2007 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Особенностью образовательной системы Республики Бела- русь является становление и развитие учебных заведений раз- личного типа, в том числе колледжей и высших колледжей. В условиях многоуровневого образования в системе учебных за- ведений колледж–университет актуальна реализация принципов непрерывности и преемственности в обучении. Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения ма- тематики в высших колледжах и колледжах технического профи- ля. Оно может быть использовано учащимися на практических занятиях, а также при самостоятельном изучении математики. При создании настоящего пособия авторы ставили перед со- бой несколько целей: во-первых, дать значительное количество задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно отображали суть основных математических понятий; во-вторых, обеспечить необходимой теоретической информацией для их решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основ- ных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и определили структуру учебного пособия, которое делится на главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа со- держится необходимый справочный материал, затем – решение нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности. Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авто- ров, делает возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении – каждый учащийся может решать задания доступного ему уровня сложности. Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК) в процессе обучения учащихся после базовой школы. Характерной особенностью методического подхода к изуче- 4 нию математики в МГВРК является построение интегрирован- ного курса математических дисциплин. Этим объясняется то об- стоятельство, что определенные темы высшей математики вве- дены в контекст элементарной математики. Поскольку на прак- тике широко реализуется непрерывное образование в системе учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК интегрирован с Белорусским государственным университетом информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учеб- ном процессе) в качестве типовых программу изучения матема- тики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей математики для высших учебных заведений по специальностям электро-, радиотехники и информатики. Таким образом реализуются основы непрерывного продол- жения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое учебное пособие может быть использовано в колледжах при изучении математики по различным базовым и рабочим про- граммам – менее или более полным. «Математика в примерах и задачах. Часть 4» является непо- средственным продолжением учебного пособия «Математика в примерах и задачах. Части 1–3». В этих изданиях принята еди- ная нумерация глав. Предлагаемое пособие (четвертая часть) со- стоит из четырех глав (гл. 19–22). В отношении авторства отме- тим, что они подготовлены следующим образом: М. В. Ламчановская – гл. 19 «Неопределенный интеграл», гл. 20 «Определенный интеграл», гл. 21 «Несобственные инте- гралы»; Н. В. Михайлова – гл. 22 «Дифференциальные уравнения». Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Май- сеня, она является соавтором всего пособия. Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам ка- федры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, док- тору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпу- ку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных за- мечаний, устранение которых улучшило наше издание. Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать ак- тивизации мыслительной деятельности учащихся и повышению эффективности учебного процесса при изучении математики. 5 19. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на не- котором промежутке , X ⊂ R если F(x) дифференцируема на промежутке X и для всех X x ∈ выполняется ( ) ( ). F x f x ′ = (19.1) Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на проме- жутке X, то любая другая ее первообразная имеет вид ( ) , F x C + где C – произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x): ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ (19.2) В равенстве (19.2) использован знак интеграла . ∫ Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынте- гральное выражение, x – переменная интегрирования. Операция нахождения всех первообразных функции f(x) на- зывается интегрированием этой функции. Всякая непрерывная на множестве X функция имеет на этом множестве первообразную, а значит, неопределенный интеграл. Геометрически неопределенный интеграл представляет со- бой семейство кривых ( ) , y F x C = + C ∈ R График каждой пер- вообразной называется интегральной кривой. Таблица основных интегралов: 0 ; dx C ⋅ = ∫ 1 1 x x dx C α α α + = + + ∫ ( 1), α ≠ − (19.3) в частности, 1 ; dx dx x C ⋅ = = + ∫ ∫ (19.4) 6 ln ( 0); dx x C x x = + ≠ ∫ (19.5) log ( 0, 1), ln x x x a a a dx C a e C a a a = + = + > ≠ ∫ (19.6) в частности, ; x x e dx e C = + ∫ (19.7) sin cos ; xdx x C = − + ∫ (19.8) cos sin ; xdx x C = + ∫ (19.9) 2 tg ; cos dx x C x = + ∫ (19.10) 2 ctg ; sin dx x C x = − + ∫ (19.11) sh ch ; x dx x C = + ∫ (19.12) ch sh ; x dx x C = + ∫ 2 th ; ch dx x C x = + ∫ 2 cth ; sh dx x C x = − + ∫ 2 2 1 arctg , dx x C a a a x = + + ∫ (19.13) в частности, 2 arctg ; 1 dx dx x C x = + + ∫ 2 2 arcsin , dx x C a a x = + − ∫ (19.14) в частности, 2 arcsin ; 1 dx x C x = + − ∫ 7 2 2 1 ln ; 2 dx x a C a x a x a − = + + − ∫ (19.15) 2 2 2 2 ln dx x x a C x a = + ± + ± ∫ (19.16) Свойства неопределенного интеграла 1. ( ) ( ) , af x dx a f x dx a const = = ∫ ∫ 2. 1 2 1 2 ( ( ) ( )) ( ) ( ) f x f x dx f x dx f x dx + = + ∫ ∫ ∫ 3. ( ( ) ) ( ). f x dx f x ′ = ∫ 4. ( ) ( ) d f x dx f x dx = ∫ 5. ( ) ( ) dF x F x C = + ∫ 6. Если ( ) ( ) , f x dx F x C = + ∫ то 1 ( ) ( ) , 0. f ax b F ax b C a a + = + + ≠ ∫ Непосредственным интегрированием называют интегри- рование с помощью таблицы неопределенных интегралов, пер- вого и второго свойств неопределенного интеграла и тождест- венных преобразований подынтегральной функции. Пример 1. Проверить, является ли функция 1 ( ) cos 7 5 7 F x x = − + первообразной для функции ( ) sin 7 . f x x = Решение. Найдем производную функции F(x): 1 1 cos 7 5 ( sin 7 ) 7 sin 7 . 7 7 x x x ′ − + = − ⋅ − ⋅ = Согласно формуле (19.1) функция F(x) является первообразной функции f(x). Пример 2. Проверить, является ли функция 2 ( ) F x x = первооб- разной для функции ( ) 2 , f x x = найти неопределенный интеграл и на- 8 рисовать интегральные кривые из семейства первообразных для 0, C = 1, C = 2, C = − 3. C = Решение. 2 ( ) 2 . x x ′ = По формуле (19.2) неопределенный интеграл имеет вид: 2 2 xdx x C = + ∫ Построим интегральные кривые (рис. 19.1). Рис. 19.1 Пример 3. Путем непосредственного интегрирования найти неоп- ределенные интегралы: 1) 2 3 5 1 ; x x dx x + − ∫ 2) 2 3 5 ; 2 x x x dx − ∫ 3) 2 ; cos 2 sin dx x x + ∫ 4) 2 ; 9 dx x + ∫ 5) 2 cos ; 2 x dx ∫ 6) 2 3 dx x − ∫ Решение. 1) Используя первое и второе свойства неопределенного интеграла и формулы (19.3) и (19.5) таблицы интегралов, получаем: 1 2 2 2 3 3 3 5 1 5 1 1 5 x x x x dx dx x x dx x x x − + − + − = = + − = ∫ ∫ ∫ 2 1 2 1 1 3 3 2 3 5 5 ln 1 1 1 dx x x x dx xdx x C x − + + − = + − = + − + = + − + ∫ ∫ ∫ 1 2 2 3 3 1 1 15 ln 15 ln 2 2 x x x C x x x C = + − + = + − + 2) Используя второе свойство неопределенного интеграла и фор- мулу (19.6) таблицы интегралов, имеем: – 2 0 1 3 5 10 y x F = x 2 + 3 F = x 2 + 1 F = x 2 F = x 2 – 2 9 2 3 5 9 5 9 5 9 5 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x dx dx dx dx dx − − = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4, 5 2,5 4, 5 2,5 ln 4,5 ln 2, 5 x x x x dx dx C = − = − + ∫ ∫ 3) Применяя формулу 2 2 cos 2 cos sin x x x = − и формулу (19.10) таблицы интегралов, получаем: 2 2 2 2 2 tg cos 2 sin cos sin sin cos dx dx dx x C x x x x x x = = = + + − + ∫ ∫ ∫ 4) С помощью формулы (19.13) таблицы интегралов находим: 2 2 2 1 arctg 3 3 9 3 dx dx x C x x = = + + + ∫ ∫ 5) Применяя формулу 2 1 cos cos , 2 2 x x + = первое и второе свойства неопределенного интеграла, формулы (19.4) и (19.9) таблицы интегра- лов, получаем: 2 1 cos 1 1 1 1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 x x dx dx x dx dx xdx + = = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 cos sin 2 2 2 2 dx xdx x x C = + = + + ∫ ∫ 6) С помощью формулы (19.14) таблицы интегралов находим: 2 2 2 arcsin 3 3 ( 3) dx dx x C x x = = + − − ∫ ∫ Пример 4. Используя интегрирование дифференциала, найти: 1) ( ) ; d x ∫ 2) ( ) ln sin ; d x ∫ 3) ( ) sin 4 ; d x ∫ 4) ( ) 2 3 d x x − + ∫ Решение. 1) ( ) d x x C = + ∫ 2) ( ) ln sin ln sin d x x C = + ∫ 3) ( ) sin 4 sin 4 d x x C = + ∫ 4) ( ) 2 2 3 d x x dx x x C − + = − + + ∫ 10 Пример 5. Используя шестое свойство неопределенного интегра- ла, найти: 1) ( ) sin 2 ; x dx − ∫ 2) 2 ; x e dx ∫ 3) ; 2 5 dx x − ∫ 4) ( ) 9 8 1 ; x dx + ∫ 5) ( ) 2 ; 3 1 25 dx x − + ∫ 6) ( ) sh 5 3 x dx + ∫ |