Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 8 из 31

Пример 4. Найти неопределенный интеграл:
1)
3 7
sin
;
cos
x
dx
x
∫
2)
5 4
tg cos
x
dx
x
∫

57
Решение. 1) Показатель степени синуса
1
,
3
m
=
показатель степе- ни косинуса
7
,
3
n
= −
2
m n
+ = −
– четное отрицательное число. При- менив подстановку tg
t
x
=
и формулы (19.24), получаем:
1 6
7 6
1 3
2 2
3 7
7 2
2 2
2 2
(1
)
1 1
1
(1
)
sin
1
cos
1 1
2
t
t
t
t
t
x
dt
dt
t
dx
x
t
t
t
tdt
C
+
+
+




+


=
=
=

 +
+












=
=
+
∫
∫
∫
∫
Возвращаемся к старой переменной. Заменяя t на tg ,
x
получаем:
2 3
7
sin tg
2
cos
x
x
dx
C
x
=
+
∫
2) Преобразуем подынтегральную функцию к виду
5 5
2 2
5 13 2
2 5
4 4
tg sin
1
sin cos cos cos cos
x
x
x
x
x
x
x
=
=
Имеем
5
,
2
m
=
13
,
2
n
= −
4
m n
+ = −
– четное отрицательное чис- ло. Применив подстановку tg
t
x
=
и формулы (19.24), получаем:
5 5
2 2
5 5
2 4
13 13 2
2 13 4
5 2
2 4
2 2
2 2
(1
)
1 1
1
(1
)
1
tg sin cos
1 1
cos
t
t
t
t
t
t
x
dt
dt
dx
dx
x
t
t
+
+
+
+






=
=
=
=
+
+






∫
∫
∫
∫
(
)
7 11 7
11 5
5 9
2 2
2 2
2 2
2 2
7 11 2
2 2
2
(1
)
7 11
t
t
t
t
t
t
dt
t
t
dt
C
C
=
+
=
+
=
+
+ =
+
+ =
∫
∫
7 11 2
2 3
5 2tg
2tg tg tg
2 tg
7 11 7
11
x
x
x
x
C
x
C


=
+
+ =
+
+




58
Пример 5. Найти неопределенный интеграл:
1)
6
tg
;
xdx
∫
2)
4 4
sin 5 cos 5
x
xdx
∫
Решение. 1) 1-й способ. Применяя подстановку tg
t
x
=
и форму- лы (19.24), получаем:
6 5
3 6
4 2
2 2
1
tg
1
arctg
5 3
1 1
t dt
t
t
xdx
t
t
dt
t
t
C
t
t


=
=
− + −
= − + −
+


+
+


∫
∫
∫
Заменяем t на tg
x:
( )
5 3
5 3
6
tg tg tg tg tg tg arctg tg tg
5 3
5 3
x
x
x
x
xdx
x
x
C
x
x C
=
−
+
−
+ =
−
+
− +
∫
2-й способ. Представив подынтегральную функцию в виде
6 4
2
tg tg tg
x
x
x
=
⋅
и применив формулу (19.26), получаем:
4 4
4 4
2 2
2 2
2 1
1 1
tg
1
tg tg tg tg tg cos cos cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x


− =
⋅
−
=
⋅
−
⋅




Еще два раза применим формулу (19.26):
4 2
4 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1
tg tg
1
tg tg tg cos cos cos cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x


−
− =
−
+
=




(
)
4 2
4 2
2 2
2 2
1 1
1 1
tg tg
1
tg tg
1 1.
cos cos cos cos
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
+
− =
−
+
−
Учитывая, что
( )
2
tg
,
cos
dx
d
x
x
=
получим интеграл от рациональ- ной функции относительно tg x
(
)
6 4
2 2
tg tg tg
1
cos
dx
xdx
x
x
dx
x
=
−
+
−
=
∫
∫
∫
(
)
( )
5 3
4 2
tg tg tg tg
1
tg tg
5 3
x
x
x
x
d
x
x
x
x C
=
−
+
− =
−
+
− +
∫
2) Имеем интеграл вида (19.23). Используя формулу (19.29), полу- чаем:
4 4
4 4
4
sin10 1
sin 5 cos 5
(sin 5 cos 5 )
sin 10 2
16
x
x
xdx
x
x dx
dx
xdx


=
=
=




∫
∫
∫
∫
Далее, понижая степень по формуле (19.27), имеем:
(
)
2 2
1 1 cos 20 1
1 cos 20 16 2
64
x
dx
x dx
−


=
−
=




∫
∫
(
)
2 1
1 1 cos 40 1 2 cos 20
cos 20 1 2 cos 20 64 64 2
x
x
x dx
x
dx
+


=
−
+
=
−
+
=




∫
∫

59
(
)
1 3 2 cos 20
cos 40 128 3
1 1
cos 20
cos 40 128 64 128
x
x dx
dx
xdx
xdx
=
−
+
=
=
−
+
=
∫
∫
∫
∫
( )
( )
3 1
1
cos 20 20
cos 40 40 128 1280 5120
x
xd
x
xd
x
=
−
+
=
∫
∫
3 1
1
sin 20
sin 40 128 1280 5120
x
x
x C
=
−
+
+
Пример 6. Найти неопределенный интеграл:
1)
2 2
3tg
2
;
5 cos
3sin 2 9 sin
x
dx
x
x
x
+
+
+
∫
2)
4 5 cos sin (7 3sin )
x
dx
x
x
+
+
∫
Решение. 1) Запишем подынтегральную функцию
(
)
2 2
2 2
3tg
2
sin , cos
5 cos
3sin 2 9 sin
3tg
2 5 cos
6 sin cos
9 sin
x
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
=
+
+
+
=
+
+
Так как подынтегральная функция является четной по sin
x и cos
x, т. е.
( sin ,
cos )
(sin , cos ),
R
x
x
R
x
x
−
−
=
то применим подстановку tg .
t
x
=
Вначале умножим и поделим знаменатель подынтегрального выражения на
2
cos
,
x получаем:
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
3tg
2 3tg
2 5 cos
6 sin cos
9 sin
5 6 9
cos
(3tg
2) (tg )
(3 2)
tg
5 6tg
9tg
9 6
5 18 6
6 1
(9 6
5)
(18 6)
6 9
6 5
x
x
dx
dx
x
x
x
x
tgx
tg x
x
x
d
x
t
dt
t
x
x
x
t
t
t
d
t
t
t
dt
dt
t
t
+
+
=
⋅
=
+
+
+
+
+
+
=
= =
=
=
+
+
+ +
+ +
=
+ + =
+
=
=
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
2 2
2 2
2 1
(18 6)
1
(9 6
5)
6 6
9 6
5 9
6 5
9 6
5 9
6 1 4
t
dt
dt
d
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
+
+ +
=
+
=
+
=
+ +
+ +
+ +
+ + +
∫
∫
∫
∫
2 2
2 2
1 1
1
(3 1)
ln 9 6
5
ln 9 6
5 6
6 3
(3 1)
4
(3 1)
4
dt
d t
t
t
t
t
t
t
+
=
+ + +
=
+ + +
=
+
+
+
+
∫
∫
2 1
1 3
1
ln 9 6
5
arctg
6 6
2
t
t
t
C
+
=
+ + +
+
Возвращаемся к заданной переменной, заменяем t на tg
x и прихо- дим к ответу:
2 1
1 3tg
1
ln 9tg
6tg
5
arctg
6 6
2
x
x
x
C
+
+
+
+
+
60 2) Поскольку подынтегральная функция не является нечетной ни по sin
x, ни по cos
x, то применим универсальную тригонометрическую подстановку tg
2
x
t
=
и формулы (19.30). Получаем:
(
)
2 2
2 2
2
tg
,
2arctg ,
,
4 5cos
2 1
2 1
sin
7 3sin sin
, cos
1 1
x
dt
t
x
t dx
x
t
dx
t
t
x
x
x
x
t
t
=
=
=
+
+
=
=
−
+
=
=
+
+
∫
(
)
2 2
2 2
2 2
2 5(1
)
1 2
6 1
1 4
2 9
1 7
6 7
7
t
t
t
t
t
t
dt
t
dt
t
t
t
t
−
+
+
+
+
−
=
=

 +
+ +
+




∫
∫
Разложив подынтегральную функцию на сумму простейших дро- бей, сводим заданный интеграл к разности двух интегралов, которые вычисляем:
2 2
54 7
9 7
10 9
1 70 54 7
7 7
6 7
7 6
7
t
dt
t
dt
dt
dt
t
t
t
t
t
t
+
+
−
=
−
=
+ +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
2
(7 6
7)
(14 6)
d t
t
t
dt
=
+ + =
+
=
(
)
2 2
70 30 9
1 1
24
ln
7 7
7 7
6 7
7 6
7
t
dt
dt
t
t
t
t
t
+
=
−
−
=
+ +
+ +
∫
∫
2 2
9 5
(14 6)
ln
24 7
7 7
6 7
49 42 49
t
dt
dt
t
t
t
t
t
+
=
−
−
=
+ +
+
+
∫
∫
2 2
2 9
5
(7 6
7)
24
(7 3)
ln
7 7
7 7
6 7
(7 3)
40
d
t
t
d
t
t
t
t
t
+ +
+
=
−
−
=
+ +
+
+
∫
∫
2 9
5 24 7
3
ln ln 7 6
7
arctg
7 7
7 2 10 2 10
t
t
t
t
C
+
=
−
+ + −
+ =
⋅
2 9
5 12 7
3
ln ln 7 6
7
arctg
7 7
7 10 2 10
t
t
t
t
C
+
=
−
+ + −
+
Заменяя t на tg ,
2
x
приходим к ответу:
2 2
7tg
3 9
5 12
ln tg ln 7tg
6 7
arctg
7 2
7 2
2 7 10 2 10
x
x
x
x
tg
C
+
−
+
+ −
+

61
Задания
I уровень
1.1. Найдите неопределенный интеграл, преобразовав про- изведение тригонометрических функций в сумму:
1) sin 3 cos3
;
x
xdx
∫
2) sin 3 cos5
;
x
xdx
∫
3) sin sin
;
3 2
x
x
dx
∫
4) cos4 cos 6
x
xdx
∫
1.2. Найдите неопределенный интеграл, применяя подста- новку sin
t
x
=
или cos :
t
x
=
1)
5
sin cos
;
x
xdx
∫
2)
3 2
sin
;
cos
x
dx
x
∫
3) ctg
;
xdx
∫
4) tg
;
xdx
∫
5)
3
sin
;
xdx
∫
6)
3
cos
;
xdx
∫
7)
7
cos 3 sin 3
;
x
xdx
∫
8)
(
)
7
cos 2
;
sin 2 3
x
dx
x
−
∫
9)
5
sin 3 cos3
x
xdx
∫
1.3. Найдите неопределенный интеграл, используя формулы понижения степени:
1)
2
cos
;
xdx
∫
2)
2
sin 2
;
xdx
∫
3)
4
cos
xdx
∫
1.4. Найдите неопределенный интеграл, используя универ- сальную тригонометрическую подстановку:
1)
;
5 3cos
dx
x
−
∫
2)
;
5 4sin
3cos
dx
x
x
−
+
∫
3)
;
sin cos
dx
x
x
+
∫
4)
1 sin
dx
x
−
∫
1.5. Найдите неопределенный интеграл, используя подста- новку tg :
t
x
=
1)
2 2
;
4sin
9cos
dx
x
x
+
∫
2)
2 2
;
16sin cos
dx
x
x
−
∫
62 3)
2
;
1 2sin
dx
x
+
∫
4)
2
tg
3
tg
6tg
7
x
dx
x
x
+
+
+
∫
II уровень
2.1. Найдите неопределенный интеграл:
1) sin 3 cos 4 sin 7
;
x
x
xdx
∫
2)
3
sin cos cos
2 2
x
x
x
dx
∫
2.2. Найдите неопределенный интеграл, применяя подста- новку sin
t
x
=
или cos .
t
x
=
1)
5
cos
;
xdx
∫
2)
5
sin 2
;
xdx
∫
3)
7
sin
;
xdx
∫
4)
4 3
cos sin
;
x
xdx
∫
5)
2 5
sin cos
;
x
xdx
∫
6)
3 2
sin 2 cos 2
;
x
xdx
∫
7)
5 4
sin
;
cos
x
dx
x
∫
8)
3 2
cos
;
sin
x
dx
x
∫
9)
9
cos
;
sin
x
dx
x
∫
10)
3 7
4
sin
;
cos
x
dx
x
∫
11)
5
sin 2
;
cos 2
x
dx
x
∫
12)
5 7
3
cos sin
x
xdx
∫
2.3. Найдите неопределенный интеграл, применяя подста- новку tg
t
x
=
или ctg :
t
x
=
1)
4 8
cos
;
sin
x
dx
x
∫
2)
4 6
cos
;
sin
x
dx
x
∫
3)
3 7
sin
;
cos
x
dx
x
∫
4)
4 2
;
sin
x
dx
∫
5)
4
;
cos 2
dx
x
∫
6)
6
;
sin
dx
x
∫
7)
5
cos
;
sin
x
dx
x
∫
8)
3 9
cos
;
sin
x
dx
x
∫
9)
3 7
sin 3
;
cos 3
x
dx
x
∫
10)
2 3
8
sin
;
cos
x
dx
x
∫
11)
3 6
tg
;
cos
x
dx
x
∫
12)
3 4
tg cos
x
dx
x
∫
2.4. Найдите неопределенный интеграл, применяя подста- новку tg
t
x
=
или ctg :
t
x
=
1)
5 5
;
sin cos
dx
x
x
∫
2)
3 3
;
sin cos
dx
x
x
∫

63 3)
4 6
;
sin 2 cos 2
dx
x
x
∫
4)
9
sin cos
dx
x
x
∫
2.5. Найдите неопределенный интеграл, применяя подста- новку tg
t
x
=
или ctg :
t
x
=
1)
2
tg
;
xdx
∫
2)
3
tg 2
;
xdx
∫
3)
4
tg
;
xdx
∫
4)
6 4
1
ctg
;
sin
x
dx
x
∫
5)
6
tg
;
xdx
∫
6)
5
tg 3
;
xdx
∫
7)
7
tg
;
xdx
∫
8)
5 4
1
tg cos
x
dx
x
∫
2.6. Найдите неопределенный интеграл:
1)
4 8
2 cos
;
xdx
∫
2)
6
sin
;
xdx
∫
3)
6 6
sin cos
;
x
xdx
∫
4)
2 4
sin cos
;
x
xdx
∫
5)
4
cos
;
2
x
dx
∫
6)
8 4
4 2 sin cos
x
xdx
∫
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл, используя универ- сальную тригонометрическую подстановку:
1)
(
)
2
sin
;
1 cos sin
xdx
x
x
+
−
∫
2)
3
;
sin
dx
x
∫
3)
;
2 sin cos
dx
x
x
+
+
∫
4)
;
2sin cos
5
dx
x
x
−
+
∫
5)
7
;
cos
dx
x
∫
6) cos
;
3 5cos
x
dx
x
+
∫
7)
3sin
2cos
;
1 cos
x
x
dx
x
−
+
∫
8)
3
;
cos 2
dx
x
∫
9)
2 sin
;
2 cos
x
dx
x
−
+
∫
10)
(
)
;
cos
1 sin
dx
x
x
−
∫
11)
7
;
sin
dx
x
∫
12) cos
;
1 cos sin
xdx
x
x
+
+
∫
13)
4sin
5cos
5
;
cos
1
x
x
dx
x
−
−
+
∫
14)
(
)
5 9sin cos
2 3sin
x
dx
x
x
+
+
∫