Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Задания I уровень 1.1. Найдите неопределенной интеграл: 1) 3 ; 2 dx x x + ∫ 2) 3 3 2 ; xdx x x − ∫ 3) ( ) 3 ; 9 dx x x + ∫ 4) 3 ; 2 x dx x − ∫ 5) ; 5 xdx x + ∫ 6) 2 ; (3 2) 3 2 x dx x x + + ∫ 7) ; 5 4 dx x x − ∫ 8) ; 2 9 dx x x + ∫ 9) 6 ; 2 dx x x + ∫ 10) 1 ; 2 3 x dx x + + ∫ 11) 1 ; x dx x + ∫ 12) 3 2 ( 2) dx x x + + + ∫ II уровень 2.1. Найдите неопределенный интеграл: 1) 2 1 ; ( 1) x dx x x + + ∫ 2) 3 ; 1 dx x x − ∫ 3) ( ) 2 3 ; 2 3 2 3 dx x x + + + ∫ 4) 3 ; 1 1 xdx x x + + + ∫ 5) 4 ; 12 x dx x − − ∫ 6) 6 3 1 ; 1 1 x dx x x − − + − ∫ 7) 6 6 3 5 2 2 ; x dx x x − + ∫ 8) 1 ; 1 x dx x x − + ∫ 9) 3 6 3 4 3 2 1 ; 2 x x dx x x x + + + − ∫ 10) 3 1 1 ; 1 x dx x + + + ∫ 11) 3 ; 3 1 xdx x − ∫ 12) 2 2 3 ; ( 2) 2 x dx x x + + + − + ∫ 13) 3 16 ; x dx x − ∫ 14) 1 ; 1 x dx x x + − ∫ 15) 2 3 ; ( 1) 1 dx x x + − + ∫ 72 16) 3 3 2 1 ; 1 2 1 x dx x + + + ∫ 17) 1 ; 5 x dx x − − ∫ 18) 4 ; 3 2 3 2 dx x x − − − ∫ 19) 2 3 1 ; 1 x x dx x + + + ∫ 20) 2 6 3 3 ( 1) 1 1 ( 1)( 1 1) x x x dx x x − + − − − − − + ∫ 2.2. Найдите неопределенный интеграл, преобразовав по- дынтегральную функцию к виду (19.31): 1) 3 2 1 ; 1 (1 ) x dx x x − + + ∫ 2) 3 1 1 ; x x x x dx x − − + ∫ 3) 3 4 ; (2 ) (2 ) dx x x + − ∫ 4) 2 2 ; 2 (2 ) x dx x x − + − ∫ 5) 2 3 ; ( 1) ( 2) dx x x − + ∫ 6) 2 3 ; ( 1)( 1) dx x x − + ∫ 7) 3 ; ( 1) ( 2) dx x x − − ∫ 8) 3 3 1 ; 1 ( 1) x dx x x + − − ∫ 9) 2 4 3 ; ( 1) ( 3) dx x x + − ∫ 10) 3 5 4 ( 2) ( 1) dx x x − + ∫ 2.3. Найдите интеграл, избавившись от иррациональности в числителе или знаменателе дроби: 1) ( 1) ; 1 x x dx x x + + + ∫ 2) 5 2 ; 5 2 x dx x + − ∫ 3) 1 ; 1 x dx x + − ∫ 4) ; 1 2 dx x x − − − ∫ 5) 1 1 dx x x + − − ∫ 2.4. Найдите интеграл (после подстановки вместо разложе- ния на простейшие дроби примените метод интегрирования по частям): 1) 5 4 ; 4 9 x dx x − + ∫ 2) 2 ; 9 25 x dx x − − ∫ 73 3) 1 1 ; 1 1 x x dx x x + + − − ∫ 4) 3 1 1 x dx x − + ∫ III уровень 3.1. Найдите интеграл, применяя тригонометрические под- становки: 1) 2 16 ; x dx − ∫ 2) 2 2 4 ; x x dx − ∫ 3) 3 2 1 ; x x dx + ∫ 4) 2 2 ; ( 4) 1 dx x x + − ∫ 5) 2 2 ; 5 x dx x − ∫ 6) 2 2 ; 9 dx x x + ∫ 7) 2 2 ; (1 ) 1 dx x x − − ∫ 8) 2 4 1 ; x dx x − ∫ 9) 2 2 2 ; x dx x + ∫ 10) 2 2 3 ; ( 2) x dx x + ∫ 11) 2 4 3 ; x dx x + ∫ 12) 4 2 3 ; (7 ) x dx x − ∫ 13) 2 3 1 ; x dx x − ∫ 14) 2 3 6 (1 ) ; x dx x − ∫ 15) 2 2 ; 9 dx x x + ∫ 16) 2 3 6 (9 ) ; x dx x − ∫ 17) 2 2 ; 25 x dx x − ∫ 18) 2 3 1 ; x dx x − ∫ 19) 2 2 ; (4 ) 4 dx x x − + ∫ 20) 2 2 ; (4 ) 4 dx x x + + ∫ 21) 2 2 ; ( 9) 9 dx x x − − ∫ 22) 2 2 ( 1)( 1) dx x x x + + + ∫ 3.2. Найдите интеграл, выделив предварительно в подкорен- ном выражении полный квадрат: 1) 2 3 ; ( 2 5) dx x x + + ∫ 2) 2 3 ; ( 6 8) dx x x + + ∫ 3) 2 2 17 ; x x dx − + ∫ 4) 2 10 21 ; x x dx − − ∫ 5) 2 ; 1 2 2 dx x x + − + ∫ 6) 2 2 ( 4) ; ( 2 4) 2 5 x dx x x x x + + + + + ∫ 74 7) 2 2 ; 3 2 x dx x x − − ∫ 8) 2 ; x x dx − ∫ 9) 2 2 ; (8 2 ) dx x x + − ∫ 10) 2 ( 2) 10 29 x dx x x + − + ∫ 19.8. Интегралы от дифференциальных биномов Дифференциальным биномом называется выражение вида ( ) , m n p x a bx dx + (19.32) где m, n, p – рациональные числа; a, b – действительные чис- ла, отличные от нуля. Если , p ∈ N то можно использовать формулу бинома Нью- тона, и этим сводим интеграл к интегралу от степенной функ- ции. В общем случае интегралы от дифференциальных биномов, т. е. ( ) , m n p x a bx dx + ∫ можно привести к интегралу от рацио- нальной функции в следующих трех случаях: 1) если p – целое число, 1 1 , r m s = 2 2 , r n s = 1 2 , , r r ∈ Z 2 2 , , s s ∈ N то применяется подстановка , s x t = где 1 2 ( , ); s НОК s s = 2) если 1 m n + – целое число, , r p s = , r ∈ Z , s ∈ N то приме- няется подстановка ; n s a bx t + = 3) если 1 m p n + + – целое число, , r p s = , r ∈ Z , s ∈ N то применяется подстановка n n s n a bx ax b t x − + = + = Пример 1. Найти неопределенный интеграл: 1) 2 3 (1 ) ; x x dx + ∫ 2) 3 6 1 ; x dx x + ∫ 75 3) 3 4 3 3 1 ; x dx x x + ∫ 4) 3 (2 9 ) x x dx + ∫ Решение. 1) Запишем подынтегральную функцию в виде диффе- ренциального бинома (19.32) ( ) 1 1 3 2 2 1 x x + Тогда 1 , 3 m = 1 , 2 n = 2, p = т. е. p – целое число. Следовательно, имеем первый случай интегрируемости дифференциального бинома. Так как (3, 2) 6, НОК = то применим подстановку 6 x t = Тогда 5 6 , dx t dt = 6 t x = Вычисляем: ( ) 1 1 3 2 2 2 3 2 5 7 3 6 1 (1 ) 6 6 (1 2 ) x x dx t t t dt t t t dt + = + ⋅ = + + = ∫ ∫ ∫ ( ) 8 11 14 7 10 13 2 6 2 6 8 11 14 t t t t t t dt C = + + = + + + = ∫ 8 11 14 3 6 3 4 11 7 3 12 3 3 12 3 4 11 7 4 11 7 t t t C x x x C = + + + = + + + 2) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциально- го бинома (19.32) ( ) 1 3 1 1 6 2 1 x x dx − + Тогда 1 , 2 m = − 1 , 6 n = 1 , 3 p = 3, s = 1 1 2 2 1 1 6 6 1 1 3 m n − + + = = = – це- лое число. Следовательно, здесь мы имеем второй случай интегрируемости дифференциального бинома. Используем подстановку 1 6 3 1 x t + = Тогда 3 6 ( 1) , x t = − 3 5 2 2 3 5 6( 1) 3 18 ( 1) dx t t dt t t dt = − ⋅ = − ( ) 1 3 1 1 1 1 6 3 2 2 3 6 3 2 3 5 3 2 3 1 (( 1) ) ( ) 18 ( 1) 18 ( 1) x x dx t t t t dt t t dt − − + = − − = − = ∫ ∫ ∫ 10 7 4 6 3 3 9 6 3 2 18 ( 2 1) 18 ( 2 ) 18 , 10 7 4 t t t t t t dt t t t dt C = − + = − + = − + + ∫ ∫ 76 где 3 6 1 t x = + Получаем ответ: 10 7 4 6 6 6 3 3 3 9 (1 ) 36 (1 ) 9 (1 ) 5 7 2 x x x C + + + − + + 3) Запишем подынтегральную функцию в виде (19.32) ( ) 1 7 3 3 2 4 1 x x dx − + Тогда 7 , 2 m = − 3 , 4 n = 1 , 3 p = 3. s = 7 2 3 4 1 1 10 , 3 m n − + + = = − 1 10 1 3 3 3 m p n + + = − + = − – целое число. Сле- довательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциально- го бинома. Используем подстановку 3 4 3 3 4 1 x t x + = Тогда 3 3 3 4 4 1 , x t x + = 3 3 4 ( 1) 1, x t − = 3 3 1 4 3 1 ( 1) , 1 x t t − = = − − 4 3 3 ( 1) , x t − = − 7 7 3 2 2 3 3 3 4 ( 1) 3 4 ( 1) 3 dx t t dt t t dt − − = − − = − − 3 3 3 3 3 1 4 4 1 ( 1) . x t x t t − + = = − Переходя в подынтегральном выражении к переменной t, получаем: ( ) ( ) ( ) 1 7 4 7 7 3 1 3 2 3 3 3 1 2 3 3 3 2 4 3 1 ( 1) ( 1) ( 4) ( 1) x x dx t t t t t dt − − − − − + = − − − − = ∫ ∫ 14 1 7 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 ( 4) ( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) t t t t t dt t t dt − − = − − − − = − − = ∫ ∫ 3 6 3 9 6 3 4 ( 2 1) 4 ( 2 ) t t t dt t t t dt = − − + = − − + = ∫ ∫ 10 7 4 10 7 4 2 2 8 4 10 7 4 5 7 t t t t t C t C = − − + + = − + − + Заменяем t на 3 4 4 3 3 3 4 4 3 1 1 x x x x + + = и получаем ответ: 77 4 4 4 3 3 3 3 10 3 7 3 4 2 4 3 2 (1 ) 8 (1 ) (1 ) 5 x x x C x x x x x + + + − + − + 4) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциально- го бинома (19.32) 1 1 3 2 2 (2 9 ) . x x + Тогда 1 , 2 m = 3, n = 1 , 2 p = 2. s = 1 3 2 2 1 1 1 , 3 3 2 m n + + = = = 1 1 1 1 2 2 m p n + + = + = – целое число. Следо- вательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Используем подстановку: 3 2 3 2 9 x t x + = Тогда 3 2 3 2 9 , x t x + = 3 2 ( 9) 2, x t − = ( ) 1 3 2 2 2 2 9 , 9 x t t − = = − − 1 2 3 3 2( 9) , x t − = − 4 4 3 2 2 3 3 3 1 2 2 2 ( 9) 2 ( 9) 3 3 dx t tdt t t dt − − = − − = − − 3 2 2 1 2 9 2 ( 9) . x t t − + = − Интеграл преобразуется к виду ( ) 1 1 4 1 1 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 (2 9 ) 2( 9) (2 ( 9) ) ( 9) 3 t x x dx t t t t dt − − − − + = − − − = ∫ ∫ 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 6 3 2 2 2 2 4 4 ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) 3 3 4 3 ( 9) t t t t dt t t dt t dt t − − − − = − − − − = − − = = − − ∫ ∫ ∫ Последний интеграл можно вычислить двумя способами: либо разложить подынтегральную рациональную дробь на сумму простей- ших дробей либо применить формулу интегрирования по частям. Вычислим 2-м способом. Положим , u t = 2 2 ( 9) tdt dv t = − Тогда , du dt = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 9) 1 2 1 1 2 2 ( 9) ( 9) ( 9) 2( 9) d t tdt tdt v t t t t − = = = = − − − − − ∫ ∫ ∫ 78 Получим: 2 2 2 2 2 4 1 2 2 2 1 3 ln 3 2 3 9 3 2( 9) ( 9) 3( 9) 9 3( 9) t dt t dt t t C t t t t t t − − − + = − = − + + − − − − − ∫ ∫ Заменяем t на 3 3 2 9x x + и окончательно получаем: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 9 2 9 3 2 1 ln 9 2 9 2 9 3 9 3 x x x x C x x x x + + − − + = + + − + ( ) 3 3 3 3 3 (2 9 ) 1 ln 9 1 3 (2 9 ) 3 9 x x x x x C + − + − + + |