Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Пример 2. Найти интеграл 2 25 x dx − ∫ разными способами. Решение. 1-й способ. Для вычисления интеграла используем фор- мулу интегрирования по частям. Положим 2 25, u x = − dv dx = То- гда 2 , 25 xdx du x = − v x = Имеем: 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) 25 25 25 25 25 25 x dx x x dx x x x x dx x x − + − = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 25 25 25 25 dx x x x dx x = − − − − = − ∫ ∫ 2 2 2 25 25 25ln 25 . x x x dx x x = − − − − + − ∫ В правой части этого равенства получили исходный интеграл. Найдем его из уравнения 2 2 2 2 25 25 25 25 ln 25 . x dx x x x dx x x − = − − − − + − ∫ ∫ 2 2 2 25 25 25 ln 25 2 2 x x dx x x x C − = − − + − + ∫ 2-й способ. Для вычисления интеграла применим тригонометриче- скую подстановку 5 cos x t = 79 Тогда 2 5sin , cos t dx dt t = 5 arccos . t x = Интеграл примет вид: 2 2 2 2 2 25 5sin 25 1 cos sin 25 25 cos cos cos cos t t t x dx dt dt t t t t − − = − = = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 3 4 25sin sin sin sin cos 25 25 cos cos cos cos t t t t t dt dt dt t t t t = = = = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin 25 25 sin 25 (cos ) (1 sin ) (1 ) td t td t y dy t y t t y = = = = = − − ∫ ∫ ∫ Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее на сумму простейших дробей: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y y A B C D y y y y y y y = = + + + − + − − + − + 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) A y y B y C y y D y y − + + + + + − + − = (19.33) Полагая 1, y = получаем 4 1, B = 1 4 B = Полагая 1, y = − получаем 4 1, D = 1 4 D = Находим производную от обеих частей равенства (19.33): 2 2 (1 ) 2 (1 )(1 ) 2 (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 ) A y A y y B y C y C y y − + + − + + + + − − + − − 2 (1 ) 2 . D y y − − = Полагая 1, y = получим 4 4 2, A B − + = 1 4 A = − Полагая 1, y = − получим 4 4 2, C D − = − 1 4 C = − Тогда разложение данной дроби на простейшие имеет вид: 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 (1 ) (1 ) y y y y − + − + − + − + Приходим к интегралу 2 2 25 1 1 1 1 4 1 1 (1 ) (1 ) dy y y y y − + − + = − + − + ∫ 25 1 1 ln 1 ln 1 4 1 1 y y C y y = − + − + − + = − + 80 2 2 1 2 1 25 25 25 ln ln 4 1 4 1 1 2(1 ) y y y y C C y y y y − + = + + = − + + + − − − Возвращаемся к заданной переменной, заменяем y на sin t, где 5 arccos . t x = Тогда 2 2 2 5 5 25 25 sin arccos 1 cos arccos 1 x y x x x x − = = − = − = Получаем: 2 2 2 2 2 2 2 25 25 25 25 1 25 25 25 ln ln 4 4 25 25 2 1 1 x x x x x x x x x C x x x − − − + − + − + + = − + − − − − − 2 2 2 2 2 2 25 ( 25 ) 25 ln 25 2 4 2 25 x x x x x C x C x x − + + − + = − + − + = − − 2 2 2 25 1 25 ln 25 2 2 5 2 x x x x C − + = − ⋅ + − + = 2 2 25 25 ln 25 25 ln 5 2 2 2 x x x x C = − − + + − + + Присоединяя 25 ln 5 2 к произвольной постоянной С, получаем: 2 2 25 25 ln 25 2 2 x x x x C − − − + + 3-й способ. Запишем подынтегральное выражение в виде диффе- ренциального бинома (19.32) 1 2 0 2 ( 25 ) x x dx − + Тогда 0, m = 2, n = 1 , 2 p = 2, s = 1 1 , 2 m n + = 1 1 1 1 2 2 m p n + + = + = – целое число. Следовательно, имеем третий случай интегрируемости диф- ференциального бинома. Используем подстановку 2 2 2 25 x t x − = Тогда 2 25 , x t x − = 2 2 2 25 , x x t − = 2 2 (1 ) 25, x t − = 2 2 1 2 25 25(1 ) , 1 x t t − = = − − 81 1 2 2 5(1 ) , x t − = − 3 3 2 2 2 2 1 5 (1 ) ( 2 ) 5 (1 ) 2 dx t t dt t t dt − − = − − − = − 2 2 2 2 2 1 25 25 (1 ) . x x t t t − − = ⋅ = − Интеграл преобразуется к виду ( ) 3 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 25 (1 ) 5 (1 ) 25 25 (1 ) (1 ) t dt t dt t t t t dt t t − − − − = = − − ∫ ∫ ∫ Для вычисления последнего интеграла применим формулу (19.20) интегрирования по частям. Положим , u t = 2 2 ( 1) tdt dv t = − Тогда , du dt = 2 1 2( 1) v t = − − По- лучаем: 2 2 2 1 25 25 1 25 ln 2 4 1 2( 1) 1 2( 1) t dt t t C t t t t + − + = − − + − − − − ∫ Подставляем 2 25 x t x − = и после преобразований получаем ответ: 2 2 2 2 2 25 25 25 25 25 ln 4 25 2 1 x x x x x x C x x − − − − + − + = − − − 2 2 25 25 ln 25 2 2 x x x x C = − − − + + Задания I уровень 1.1. Найдите интеграл от дифференциального бинома: 1) 2 3 (1 ) ; x x dx + ∫ 2) 3 3 6 (1 ) ; x x dx + ∫ 3) 4 3 ; 2 x dx x + ∫ 4) ( ) 3 2 12 1 dx x x − ∫ 1.2. Найдите интеграл от дифференциального бинома: 1) 2 ; 4 dx x x + ∫ 2) ( ) 3 2 3 1 x x dx + ∫ 82 1.3. Найдите интеграл от дифференциального бинома: 1) 2 3 ; (3 4 ) dx x + ∫ 2) 2 2 9 dx x x − ∫ II уровень 2.1. Найдите интеграл от дифференциального бинома: 1) 3 4 1 ; x dx x + ∫ 2) 2 2 3 ; (4 ) dx x x + ∫ 3) 4 2 ; 1 dx x x + ∫ 4) 3 2 ; 1 x dx x + ∫ 5) 3 2 3 ; (2 3 ) x dx x − ∫ 6) ( ) 1 2 3 4 1 ; x dx + ∫ 7) 4 9 ; x dx x − ∫ 8) 3 3 2 9 ; x dx x + ∫ 9) 4 2 3 ; (3 ) x dx x − ∫ 10) 2 2 4 ; x x dx − ∫ 11) 2 3 ; (25 ) dx x + ∫ 12) 2 4 36 x dx x − ∫ III уровень 3.1. Найдите интеграл от дифференциального бинома: 1) ( ) 4 5 4 3 20 2 7 1 ; x dx x x + ∫ 2) 2 2 3 ; (1 ) dx x x + ∫ 3) 2 121 ; x dx − ∫ 4) ( ) 4 3 2 8 1 ; x dx x x + ∫ 5) 3 3 1 ; x dx x − ∫ 6) 3 4 3 1 ; x dx x x + ∫ 7) 5 3 2 3 (1 ) ; x x dx + ∫ 8) 3 1 ; x dx x x + ∫ 9) 3 3 2 3 1 3 x x dx + ∫ 3.2. Найдите интеграл разными способами: 1) 2 1 ; x dx − ∫ 2) 2 4 ; x dx + ∫ 3) 2 9 x dx − ∫ 83 20. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 20.1. Понятие определенного интеграла и его свойства Пусть на отрезке [a; b], (всюду a b < ) определена непрерыв- ная ограниченная функция f (x). Произвольным образом разо- бьем отрезок [a; b] на n отрезков точками 0 , x a = 1 2 , ,..., n x x x b = 0 1 2 ( ). n x x x x < < < < K Полученные отрезки [ ] 0 1 , , x x [ ] 1 2 , , x x … [ ] 1 , n n x x − будем называть частичными. Длину k-го частичного отрезка [ ] 1 ; , 1, , k k x x k n − = обозначим 1 k k k x x x − ∆ = − На каждом частичном отрезке выберем произ- вольную точку [ ] 1 , ; k k k k c c x x − ∈ (рис. 20.1) и вычислим значе- ние функции в этой точке, т. е. ( ). k f c Рис. 20.1 Для каждого k, 1, , k n = найдем произведение ( ) k k f c x ∆ и со- ставим сумму: 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n k k k S f c x f c x f c x f c x = = ∆ + ∆ + + ∆ = ∆ ∑ K (20.1) Сумма (20.1) называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a; b]. Обозначим через max , k x ∆ = ∆ 1, , k n = длину наибольшего частичного отрезка. 0 y f(c k ) c 1 c 2 c k c n a = x 0 x 1 x 2 x k – 1 x x k b = x n x n – 1 y =f (x) 84 Будем рассматривать всевозможные разбиения отрезка [a; b] при условии, что n → ∞ и 0. ∆ → Определение. Если существует предел интегральной суммы (20.1) при 0, ∆ → который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ ] ; a b на частичные отрезки, ни от выбора точек k c на каждом частичном отрезке, то этот предел называется опреде- ленным интегралом функции f (x) на отрезке [a; b] и обознача- ется ( ) b a f x dx ∫ Таким образом, 0 1 ( ) lim ( ) b n k k k a f x dx f c x ∆→ = = ∆ ∑ ∫ (20.2) Числа a и b в формуле (20.2) называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынте- гральным выражением, x – переменной интегрирования, отре- зок [a; b] – отрезком интегрирования. Функция f (x), для которой существует интеграл (20.2), назы- вается интегрируемой на отрезке. Классы интегрируемых функций: 1) непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируема; 2) ограниченная на отрезке [a; b] функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема; 3) монотонная ограниченная функция интегрируема. Если ( ) 0, f x ≥ [ ] ; , x a b ∀ ∈ то фигура, ограниченная графи- ком функции ( ), y f x = осью Ox, прямыми x a = и , x b = назы- вается криволинейной трапецией (рис. 20.1). Геометрический смысл определенного интеграла: опреде- ленный интеграл (20.2) от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Физический смысл определенного интеграла: пусть мате- риальная точка M движется вдоль числовой оси со скоростью V(t), ( ) 0. V t ≥ Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от t a = до , t b = равен определенному интегралу от скорости: 85 ( ) . b a S V t dt = ∫ Свойства определенного интеграла 1) ; b a dx b a = − ∫ 2) ( ) ( ) , ; b b a a cf x dx c f x dx c const = = ∫ ∫ 3) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx + = + ∫ ∫ ∫ равенства 2 и 3 в совокупности называются свойством линей- ности; 4) ( ) ( ) ; b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ 5) ( ) 0; a f x dx α = ∫ 6) значение интеграла не зависит от обозначения перемен- ной интегрирования: ( ) ( ) ; b b a a f x dx f t dt = ∫ ∫ 7) свойство аддитивности: при любом взаимном располо- жении чисел a, b, c имеет место формула: ( ) ( ) ( ) ; b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ 8) если 1 2 ( ) ( ) f x f x ≤ при [ ] ; , x a b ∈ то 1 2 ( ) ( ) ; b b a a f x dx f x dx ≤ ∫ ∫ 9) если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции ( ) y f x = на отрезке [a; b], то верна оценка 86 ( ) ( ) ( ); b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ 10) ( ) ( ) ; b b a a f x dx f x dx ≤ ∫ ∫ 11) если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то суще- ствует точка [ ] ; c a b ∈ такая, что ( ) ( ) ( ) ; b a f x dx f c b a = − ∫ 12) если f (x) – нечетная функция, то ( ) 0; a a f x dx − = ∫ 13) если f (x) – четная функция, то 0 ( ) 2 ( ) ; a a a f x dx f x dx − = ∫ ∫ 14) если f (x) – периодическая функция периода T, то при любом a ∈ |