Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 13 из 31

Пример 3. Вычислить определенный интеграл, используя форму- лу замены переменной:
1)
9 1
;
2
xdx
x
+
∫
2)
4 2
0 16
;
x dx
−
∫
3)
5 2
2 2
7 2
;
(
1)(4
)
xdx
x
x
−
−
∫
4)
6 2
0 6
;
x
x dx
−
∫
5)
2 1
2 ln
;
e
x
dx
x
+
∫
6)
5 5
5 2
0
(5
) 25
x
x
e
dx
x
x
−
+
+
−
∫
Решение. 1) Сделаем подстановку
2
x
t
=
(
0),
t
>
тогда
2
dx
tdt
=
96
Определим новые пределы интегрирования. Для этого в равенство за- мены переменной поочередно подставим
1
x
=
(заданный нижний пре- дел интегрирования) и
9
x
=
(заданный верхний предел): если
1,
x
=
то
2 1,
t
=
1;
t
=
если
9,
x
=
то
2 9,
t
=
3.
t
=
Используем формулу (20.5) замены переменной в определенном интеграле:
9 3
3 2
1 1
1 2
2 2
2 2
xdx
t
tdt
t
dt
t
t
x
⋅
=
=
+
+
+
∫
∫
∫
Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выде- лим целую часть в подынтегральном выражении:
3 2
3 1
1 4
2 2
2 2
4 ln
2 2
2
t
t
dt
t
t
t




− +
=
− +
+
=






+




∫
9 1
2 6
4 ln 5 2
4 ln 3 2
2




=
− +
−
− +
=








9 1
5 2
6 2 4 ln 5 4 ln 3 8 ln .
2 2
3


=
− − + +
−
=




2) 1-й способ. Используем метод подстановки. Положим
4 sin ,
x
t
=
тогда
4 cos
dx
tdt
=
Найдем новые пределы интегрирования: если
0,
x
=
то
0;
t
=
если
4,
x
=
то
2
t
π
=
Следовательно,
4 2
2 2
2 2
0 0
0 16 16 16 sin
4 cos
16 1 sin cos
x dx
t
tdt
t
tdt
π
π
−
=
−
⋅
=
−
=
∫
∫
∫
(
)
2 2
2 2
0 0
0 1 cos 2 16 cos
16 8
1 cos 2 2
t
tdt
dt
t dt
π
π
π
+
=
=
=
+
=
∫
∫
∫
2 0
1 8
sin 2 8
4 .
2 2
t
t
π
π
π


=
+
= ⋅ =




2-й способ. Используем формулу (20.4) интегрирования по частям.
Положим
2 16
,
u
x
=
−
,
dv
dx
=
тогда
2
,
16
xdx
du
x
−
=
−
v
x
=

97
Получаем:
4 4
4 2
2 4
2 2
2 2
0 0
0 0
(16
) 16 16 16 16 16
x dx
x
x dx
x
x
dx
x
x
−
−
−
−
=
−
−
= −
=
−
−
∫
∫
∫
4 4
4 4
2 2
2 0
0 0
0 16 16 16 16 arcsin
4 16
dx
x
x dx
x dx
x
= −
−
+
= −
−
+
=
−
∫
∫
∫
(
)
4 4
2 2
0 0
16 16 arcsin1 arcsin 0 16 8 .
x dx
x dx
π
= −
−
+
−
= −
−
+
∫
∫
Найдем искомый интеграл из полученного равенства
4 4
2 2
0 0
16 16 8 .
x
x
π
−
= −
−
+
∫
∫
Выражаем:
4 2
0 16 4 .
x
π
−
=
∫
3) Применим подстановку
2 2
2
cos
4 sin
x
t
t
=
+
Тогда
2 2 cos sin
8sin cos
,
xdx
t
tdt
t
tdt
= −
+
т. е.
2 6sin cos
,
xdx
t
tdt
=
3sin cos
xdx
t
tdt
=
2 2
2 2
2 2
2 2
1 cos
4sin
1
cos
1 4sin sin
4sin
3sin .
x
t
t
t
t
t
t
t
− =
+
− =
− +
= −
+
=
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4 cos
4sin
4(1 sin ) cos
4cos cos
3cos .
x
t
t
t
t
t
t
t
− = −
−
=
−
−
=
−
=
2 2
2 2
(
1)(4
)
3sin
3cos
3sin cos .
x
x
t
t
t
t
−
−
=
⋅
=
Таким образом, подынтегральное выражение примет вид:
2 2
3sin cos
3sin cos
(
1)(4
)
xdx
t
tdt
dt
t
t
x
x
=
=
−
−
Определим новые пределы интегрирования: если
7
,
2
x
=
то
2 2
7
cos
4sin
,
4
t
t
=
+
т. е.
2 2
7 1 sin
4sin
,
4
t
t
= −
+
2 3
3sin
,
4
t
=
2 1
sin
,
4
t
=
1
sin
2
t
=
Находим
;
6
t
π
=
если
5
,
2
x
=
то
2 2
5
cos
4 sin
,
2
t
t
=
+
т. е.
2 2
5 1 sin
4sin
,
2
t
t
= −
+
98 2
3 3sin
,
2
t
=
2 1
sin
,
2
t
=
1
sin
2
t
=
Находим
4
t
π
=
Получаем:
5 2
4 4
2 2
7 6
6 2
4 6
12
(
1)(4
)
xdx
dt
t
x
x
π
π
π
π
π π
π
=
=
= − =
−
−
∫
∫
4) В подкоренном выражении выделим полный квадрат:
2 2
2 6
9 (
6 9)
9
(
3) .
x
x
x
x
x
−
= −
−
+ = − −
Применим подстановку
3 3sin ,
x
t
− =
3 3sin ,
x
t
= +
3cos
dx
tdt
=
Определим новые пределы интегрирования: если
0,
x
=
то
3 3sin ,
t
− =
sin
1,
t
= −
;
2
t
π
= −
если
6,
x
=
то
6 3 3sin ,
t
− =
sin
1,
t
=
2
t
π
=
Получаем:
6 6
2 2
2 2
0 0
2 6
9 (
3)
9 9 sin
3cos
x
x dx
x
dx
t
tdt
π
π
−
−
=
− −
=
−
=
∫
∫
∫
2 2
2 2
2 2
2 1 cos 2 9
1 9
cos
9
sin 2 2
2 2
t
tdt
dt
t
t
π
π
π
π
π
π
−
−
−
+


=
=
=
+
=




∫
∫
( )
9 1
1 9
9
sin sin
2 2 2
2 2
2 2 2
2
π
π
π π
π
π
π






=
+
− − +
−
=
+
=












5) 1-й способ. Используем метод замены переменной. Положим
2 ln
x
t
+
=
Тогда
dx
dt
x
=
Находим новые пределы интегрирования, используя равенство за- мены переменной: если
1,
x
=
то
2
ln1 2;
t
= +
=
если
2
,
x
e
=
то
2 2 ln
4.
t
e
= +
=
Получим:
2 4
2 2
2 4
2 1
2 2 ln
4 2
6.
2 2
2
e
x
t
dx
tdt
x
+
=
=
=
−
=
∫
∫
2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциала:

99
(
) (
) (
)
2 2
2 2
1 1
1 2 ln
2 ln
2 ln
2 ln
2
e
e
e
x
x
dx
x d
x
x
+
+
=
+
+
=
=
∫
∫
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1
1 2 ln
2 ln1 16 4 6.
2 2
e


=
+
− +
=
− =




Заметим, что в случае использования метода поднесения под знак дифференциала не нужно изменять пределы интегрирования, а поэто- му, как правило, он является более рациональным.
6) Применим подстановку:
5
,
5
x
t
x
− =
+
тогда
2 5
5
x
t
x
− =
+
Выразим переменную x через t:
(
)
2 5
5
,
x
t
x
− =
+
2 2
(
1)
5 5 ,
x t
t
+ = −
2 2
2 2
5 5 5(1
)
,
1 1
t
t
x
t
t
−
−
=
=
+
+
2 2
2 2
2 2
2 (
1) 2 (1
)
20 5
(
1)
(
1)
t t
t
t
tdt
dx
dt
t
t
−
+ −
−
−
= ⋅
=
+
+
(
)
(
) (
)(
) (
)
2 2
5 5
25 5
5 5
5 5
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
= +
−
+
= +
+
2 2
2 2
2 2
5(1
)
5(
1 1
)
10 5
5 1
1 1
t
t
t
x
t
t
t
−
+ + −
+ = +
=
=
+
+
+
Определим новые пределы интегрирования: если
0,
x
=
то
1;
t
=
если
5,
x
=
то
0.
t
=
Используя формулу (20.5) замены переменной в определенном ин- теграле, получаем:
(
)
(
)
5 5
5 5
0 5
5 2
2 2
2 0
0 1
2 2
100
(
1)
20 5
(
1)
5 25 5
5
x
x
t
x
x
t
t
e
e
e
tdt
dx
dx
x
t
x
x
x
x
−
−
+
+
+
−
=
=
⋅
=
−
+
+
−
+
+
∫
∫
∫
(
)
(
)
0 0
0 1
1 1
1 1
1 1
1 1
5 5
5 5
5
t
t
e
e dt
e
e
e
e
−
−
= −
= −
−
= −
− =
∫
Задания
I уровень
1.1. Вычислите определенный интеграл, используя формулу
Ньютона-Лейбница:
100 1)
(
)
3 2
4
sin sin
;
x
x dx
π
π
+
∫
2) ln 5
ln 3
;
x
e dx
∫
3)
2 2
1 3 2 8
x
x
x
dx
x
−
+
−
∫
4)
(
)
4 0
2
;
x
x
dx
+
∫
5)
4 2
3
;
25
dx
x
−
∫
6)
3 2
2 6
1 1
;
sin cos
dx
x
x
π
π


−




∫
7)
1
;
e
x
x
dx
x x
+
∫
8)
1 2
1 3
;
1
dx
x
+
∫
9)
3 0
3
cos cos
4
x
x dx
π


−




∫
II уровень
2.1. Вычислите определенный интеграл:
1)
2 2
0 4
;
x
x dx
−
∫
2)
(
)
(
)
1 2
2 2
;
cos
2
tg x
dx
x
−
−
+
+
∫
3)
2 2
1 cos
;
(
sin )
x
dx
x
x
π
π
−
−
∫
4)
2 2
1 1
sin
;
x dx
x
π
π
∫
5)
2 2
cos
;
2sin
x
x
dx
x
x
π
π
+
+
∫
6)
3 3
0
cos sin 2
;
x
xdx
π
∫
7)
1 3
4 0
4 5
;
x
x dx
+
∫
8)
2 2
3
;
dx
x
x
−
−
−
∫
9)
1 3
2 0
;
1
x
dx
x
+
∫
10)
5 2
3 3
;
2
x
dx
x
+
−
∫
11)
4 0
sin 5 cos3
;
x
xdx
π
∫
12)
3 2
2 0
(
1)(
9)
dx
x
x
+
+
∫
2.2. Вычислите определенный интеграл, используя формулу замены переменной:
1)
7 3
1
;
1 1
dx
x
−
+
+
∫
2)
4 1
;
3 2
dx
x
+
∫
3)
3 2
2 0
arctg 2
;
1
x
x
dx
x
+
+
∫

101 4)
12 2
5
;
4
dx
x x
+
∫
5)
33 5
2
;
1
xdx
x
−
∫
6)
(
)
1 2
2 2
0
arccos
1
;
1
x
dx
x
−
−
∫
7)
8 3
1 1
;
1(
2)
x
dx
x
x
−
+
+
+
∫
8)
(
)
1 9
0
;
9 1
dx
x
x
+
∫
9)
2 1
1 1 ln(
1)
1
e
e
x
dx
x
−
−
+
+
+
∫
2.3. Вычислите определенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям:
1)
0 1
;
x
xe dx
−
−
∫
2)
2 3
0
sin
;
x
xdx
π
∫
3)
2 2
1
ln
;
e
x
xdx
∫
4)
4 2
0
tg
;
x
xdx
π
∫
5)
2 2
3
cos
;
sin
x
x
dx
x
π
π
∫
6)
1 2
0
arctg
;
1
x
x
dx
x
+
∫
7)
(
)
1 2
0
arcsin
;
x
dx
∫
8)
2 0
(2 2
5)cos 2
;
x
x
xdx
π
+
+
∫
9)
(
)
(
)
3 2
2 2
1 ln
1
;
x
x
dx
−
−
∫
10)
0 2
2
(
5 6) sin 3
x
x
xdx
−
+
+
∫
III уровень
3.1. Вычислите определенный интеграл методом замены пе- ременной:
1)
2 2
1
;
1
dx
x x
x
+ +
∫
2)
2 2
2
;
1
dx
x x
−
∫
102 3)
8 2
6 2
2 sin cos
;
x
xdx
π
π
∫
4)
64 6
6 3
5 2
1 2
;
x
dx
x
x
−
+
∫
5)
2 2 3 0
;
(4
)
dx
x
+
∫
6)
11 8
2 2
18 2
;
(
2)
1
x
dx
x
x
+
+
−
∫
7)
4 4
4 0
2 sin cos
;
x
x dx
π
∫
8)
(
)
2 17 1
1
;
x
x
dx
−
∫
9)
2 0
4sin
5cos
5
;
cos
1
x
x
dx
x
π
−
−
+
∫
10)
3 3
2 0
1
;
x
x dx
+
∫
11)
16 10 7
;
19
x
dx
x
−
−
∫
12)
4 2
0 4tg
2
;
2 sin 2 6cos
x
dx
x
x
π
−
−
+
∫
13)
3 2
2 3
9
;
x
x dx
−
−
∫
14)
1 2
0 9
;
x dx
−
∫
15)
1 1
1 2
0
;
(1
) 1
x
x
dx
e
x
x
−
+
+
−
∫
16)
2 0
;
1 cos sin
dx
x
x
π
+
+
∫
17)
4 2
4 2
4
;
x
dx
x
−
∫
18)
(
)
2arctg3 2arctg1
;
sin
1 sin
dx
x
x
+
∫
19)
(
)
65 2
6 3
3 2
(
1)
1 1
;
(
1)
1 1
x
x
x
dx
x
x
−
+
− +
−
−
− +
∫
20)
0 2
4 7tg
1 3sin
2sin cos
4cos 2
x
dx
x
x
x
x
π
−
−
−
−
∫

103
3.2. Вычислите определенный интеграл, используя указан- ную замену переменной:
1)
2 4
1
,
(2
)
dx
x
x
+
∫
4 1
;
1
x
t
=
−
2)
1 0
1
,
1
x
dx
x
−
+
∫
cos ;
x
t
=
3)
2 0
sin
,
1 cos
x
x
dx
x
π
+
∫
;
x
t
π
= −
4) ln 2 0
1 ,
x
e
dx
−
∫
1.
x
t
e
=
−
3.3. Вычислите интеграл разными способами:
1)
3 2
0 9
;
x dx
−
∫
2)
3 2
0 4
;
x
dx
+
∫
3)
5 2
0 16
x
dx
−
∫
20.3. Геометрические и физические приложения
определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной функции
( )
y
f x
=
( ( )
0),
f x
≥
слева и справа, соответственно, прямыми x a
=
и
,
x
b
=
снизу – отрез- ком [a; b] оси Ox (рис. 20.3), выражается формулой
( )
b
a
S
f x dx
=
∫
(20.6)
Если ( ) 0
f x
≤
при
[ ]
;
x
a b
∈
(рис. 20.4), то
( )
b
a
S
f x dx
= −
∫
(20.7)
Рис. 20.3
Рис. 20.4 0
a
b
y
=
f(x)
>
0
x
y
y
=
f(x)
<
0 0
y
x
b
a
104
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
,
x
a
=
x
b
=
и кривыми
1
( ),
y
f x
=
2
( ),
y
f x
=
где
1 2
( )
( )
f x
f x
≤
для
[ ]
;
x
a b
∈
(рис. 20.5), выражается формулой
(
)
2 1
( )
( )
b
a
S
f x
f x dx
=
−
∫
(20.8)
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
,
y
c
=
,
y
d
=
кривой
( )
x
g y
=
( ( )
0)
g y
≥
и отрезком [c; d] оси Oy
(рис. 20.6), выражается формулой
( )
d
c
S
g y dy
=
∫
(20.9)
Рис. 20.5
Рис. 20.6
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
,
y
c
=
y
d
=
и кривыми
1
( ),
x
g y
=
2
( ),
x
g
y
=
где
1 2
( )
( )
g y
g
y
≤
для
[
]
;
y
c d
∈
(рис. 20.7), выражается формулой
(
)
2 1
( )
( )
d
c
S
g
y
g y dy
=
−
∫
(20.10)
Рис. 20.7
y
=
f
1
(x)
y
=
f
2
(x)
0
b
a
y
x
x = g(y)
y
d
0
c
x
y
c
x
d
x = g
1
(y)
x = g
2
(y)

105
Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями
[
]
( ),
( )
0,
,
,
( ),
x
t
t
t
y
t
ϕ
ψ
α β
ψ
=

≥
∈
 =

прямыми
,
x
a
=
x
b
=
и отрезком [a; b] оси Ox, то ее площадь вычисляется по формуле
( ) ( ) ,
S
t
t dt
β
α
ψ ϕ
′
=
∫
(20.11) где
α и β определяются из равенств
( ),
a
ϕ α
=
( ).
b
ϕ β
=
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением
( )
ρ ρ ϕ
=
и двумя лучами
1
,
ϕ ϕ
=
2
ϕ ϕ
=
(
)
1 2
ϕ ϕ
<
(рис. 20.8), причем ( )
0
ρ ϕ
≥
для
[
]
1 2
,
,
ϕ ϕ ϕ
∈
выражается формулой
( )
2 1
2 1
2
S
d
ϕ
ϕ
ρ ϕ ϕ
=
∫
(20.12)
Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя лучами
1
,
ϕ ϕ
=
2
ϕ ϕ
=
и кривыми
1
( ),
ρ ρ ϕ
=
2
( ),
ρ ρ ϕ
=
1 2
( )
( )
ρ ϕ
ρ ϕ
≤
для
[
]
1 2
,
ϕ ϕ ϕ
∈
(рис. 20.9), выражается формулой
(
)
2 1
2 2
2 1
1
( )
( )
2
S
d
ϕ
ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ
=
−
∫
(20.13)
Рис. 20.8
Рис. 20.9