Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 6 из 31

Пример 2. Вычислить неопределенный интеграл:
1)
(
)(
)
2 2
14 5
1 3 2
x
x
dx
x
x
x
+ +
+
− +
∫
2)
2 2
7
;
(
2)(
1)
x
dx
x
x
x
−
−
− +
∫
3)
3 2
2 2
3 6
11 5
;
(
1) (
2 2)
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
+
+
+
+
∫
4)
2 2
(
1)(
1)
xdx
x
x
x
+
+ +
∫
Решение. 1) Поскольку квадратный трехчлен
2 3
2
x
x
− +
не имеет действительных корней, то приходим к следующему общему виду раз- ложения подынтегральной функции на простейшие дроби:
2 2
2 14 5
1
(
1)(3 2)
3 2
x
x
A
Bx C
x
x
x
x
x
x
+ +
+
=
+
+
+
− +
− +
42
Приведение правой части к общему знаменателю и приравнивание числителей дает уравнение:
2 2
14 5
(3 2)
(
)(
1),
x
x
A x
x
Bx C x
+ + =
− + +
+
+
т. е.
2 2
14 5
(3
)
(
)
2
x
x
A
B x
A
B C x
A C
+ + =
+
+ − + +
+
+
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений
3 14,
1,
2 5.
A B
A
B C
A C
+ =

− + + =


+ =

Решая полученную систему, находим коэффициенты:
3,
A
=
5,
B
=
1.
C
= −
Таким образом,
2 2
2 14 5
3 5
1 1
(
1)(3 2)
3 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ +
−
=
+
+
+
− +
− +
Следовательно,
(
)
(
)
2 2
2 14 5
5 1
3 1
3 2
1 3 2
x
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
+ +
−
=
+
=
+
− +
+
− +
∫
∫ ∫
(
)
(
)
2 2
2 2
1 2
3 3
5 1
6 1
6 6
3ln
1 3
2 3
2 5
1 3ln
1 6
18 3
2
x
x
dx
x
x
d
x
x
dx
x
x
x
x
x
− −
=
+ +
=
− +
− +
=
+ +
−
=
− +
−
+
∫
∫
∫
2 2
1 23 6
36 5
1 3ln
1
ln 3 2
6 18
dx
x
x
x
x
=
+ +
− + −
=


−
+




∫
2 5
1 6
1 3ln
1
ln 3 2
arctg
6 3 23 23
x
x
x
x
C
−
=
+ +
− + −
+
2) Имеем:
2 2
2 7
,
2
(
2)(
1)
1
x
A
Bx C
x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
−
−
− +
− +
откуда
2 2
7
(
1)
(
2)(
).
x
A x
x
x
Bx C
− =
− + + −
+
Для нахождения неизвестных коэффициентов применим одновре- менно метод частных значений и метод неопределенных коэффициен-

43 тов. Подставляя
2,
x
=
находим: 3 3 ,
A
− =
1.
A
= −
Для нахождения коэффициентов B и C достаточно приравнять ко- эффициенты при x
2
и x
0
:
2 0
1,
2 7.
x A B
A
C
x
+ =


−
= − 
Из последней системы уравнений получаем:
2,
B
=
3.
C
=
Таким образом,
2 2
2 7
1 2
3 2
(
2)(
1)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
=
+
−
−
− +
+ +
Тогда
2 2
2 7
2 3
ln
2 2
(
2)(
1)
1
x
dx
x
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
−
+
= −
+
= −
− +
−
−
− +
+ +
∫
∫
∫
2 2
2 2
(2 1)
(
1)
2
ln
2 1
1 1
x
dx
dx
d x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
+
+ +
+
+
= −
− +
+
+ +
+ +
+ +
∫
∫
∫
2 2
1 2
1 3
2 4
4 2
1 2
ln
2
ln
1
arctg
3 3
d x
x
x
x
x
C
x


+


+


+
= −
− +
+ + +
+


+
+




∫
3) Поскольку квадратные трехчлены
2 1
x
+
и
2 2
2
x
x
+
+
не имеют действительных корней, то приходим к следующему общему виду раз- ложения подынтегральной функции на сумму простейших дробей:
(
)(
)
3 2
2 2
2 2
3 6
11 5
1 2
2 1
2 2
x
x
x
Ax
B
Cx
D
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
Приводим правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравниваем числители. Получаем уравнение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
2 2
3 2
3 2
3 6
11 5
2 2
1 ;
3 6
11 5
2 2
2 2
x
x
x
Ax
B
x
x
Cx
D
x
x
x
x
A C x
A B
D x
A
B C x
B
D
+
+
+ =
+
+
+ +
+
+
+
+
+ =
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получаем систему уравнений
3,
2 6,
2 2
11,
2 5.
A C
A
B
D
A
B C
B
D
+ =


+ + =


+
+ =


+ =

44
Решая полученную систему, находим коэффициенты:
2,
A
=
3,
B
=
1,
C
=
1.
D
= −
Таким образом,
(
)(
)
3 2
2 2
2 2
3 6
11 5
2 3
1 1
2 2
1 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
+
+
Следовательно,
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 6
11 5
2 3
1 1
2 2
1 2
2 2
2 2
1 3
2 2
1 1
2 2
1 1
1 2
2 1
3arctg
2arctg
1 2
1 2
2 1
ln
1 3arctg ln
2 2
2arctg
1 2
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
dx
xdx
dx
dx
x
x
x
x
x
d x
d x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
+
+
+
+
−
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
−
+ =
+
+
+
=
+ +
+
+
+ −
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
4) В данном случае при разложении подынтегральной функции на простейшие дроби в качестве слагаемых будем иметь простейшие дро- би I, III и IV типов:
2 2
2 2
2 1
(
1)(
1)
1
(
1)
x
A
Bx C
Dx
E
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
Отсюда получаем:
2 2
2
(
1)
(
)(
1)(
1)
(
)(
1).
x
A x
x
Bx C x
x
x
Dx
E x
=
+ +
+
+
+
+ + +
+
+
Полагая
1,
x
= −
получаем:
1.
A
= −
Приведем подобные члены в правой части этого равенства:
4 3
2
(
)
(2 2
)
(3 2
2
)
x
A
B x
A
B C x
A
B
C
D x
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(2 2
)
(
).
A B
C
D
E x
A C
E
+
+ +
+ +
+
+ +
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях перемен- ной x, получим систему уравнений
4 3
2 1
0 0,
2 2
0,
3 2
2 0,
2 2
1,
0.
x A B
x
A
B C
x
A
B
C
D
A
B
C
D
E
x
A C
E
x
+ =
+
+ =
+
+
+ =
+ +
+ + =
+ + =
Из нее находим
1,
B
=
0,
C
=
1,
D
=
1.
E
=
Следовательно,

45 2
2 2
2 2
1 1
1
(
1)(
1)
1
(
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
Тогда
(
)
2 2
2 2
2 1
1
(
1)(
1)
1
(
1)
x
dx
dx
dx
xdx
x
x
x
x
x
x
x
x
+
= −
+
+
=
+
+
+ +
+ +
+ +
∫
∫ ∫
∫
(
)
2 2
2 2
2 1
1 1
1
(2 1)
ln
1 2
2 2
1 1
(
1)
x
dx
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
+
+
= −
+ +
−
+
+
+ +
+ +
+ +
∫
∫
∫
2 2
2 2
1 1
1
ln
1
ln
1 2
2 2
(
1)
1 3
2 4
dx
dx
x
x
x
x
x
x
+
= −
+ +
+ + −
−
+ +


+
+




∫
∫
2 2
2 2
1 1
1
ln
1
ln
1 2
2 2(
1)
1 3
2 4
dx
x
x
x
x
x
x
−
+
= −
+ +
+ + −
+ +




+
+








∫
2 2
2 1
1 2
1 1
1 2
arctg
2 3
3 2(
1)
1 3
2 4
d x
x
x
x
x


+


+


−
−
+
+ +




+
+








∫
Для нахождения последнего интеграла сделаем замену перемен- ной
1 2
x
t
+ =
и применим рекуррентную формулу (19.21) для случая
1,
k
=
2 3
:
4
a
=
2 1
2 2
2 2
2
,
3 3
3 3
4 4
dt
t
I
I
t
t
=
=
+




+


+






∫
где
1 2
2 2
arctg
3 3
3 4
dt
t
I
t
=
=
+
∫
Тогда получаем:
(
)
2 2
2 2
4 2
2 1
4 2
1
arctg arctg
3 3 3 3
3 3 3
3 1
3 4
t
t
x
x
I
x
x
t
+
+
=
+
=
+


+ +
+




Приходим к ответу:
46 2
2 2
1
ln
1
ln
1 2
(
1)(
1)
xdx
x
x
x
x
x
x
= −
+ +
+ + −
+
+ +
∫
(
)
2 2
2 2
1 2
1 1
2 1
2 2
1
arctg arctg
3 3
6(
1)
3 3 3
2 1
1 1
2 1
1
ln
1
ln
1
arctg
2 3 3 3
3(
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
x
+
+
+
−
−
+
+
=
+ +
+ +
+
−
−
+ +
+ + −
+
+
+ +
Пример 3. Вычислить интегралы:
1)
4 3
2 3
2 4
6 3
4
;
3 3
1
x
x
x
x
dx
x
x
x
−
+
− +
−
+
−
∫
2)
9 2 4 2
(2
)
x
dx
x
+
∫
Решение. 1) Подынтегральная функция является неправильной дробью. Выделим целую часть дроби, разделив ее числитель на знаме- натель по правилу деления многочленов:
4 3
2 3
2 4
3 2
3 2
3 2
4 6
3 4
3 3
1 1
3 3
3 2
4 3
3 1
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
− +
−
+
−
−
−
−
+
−
− +
−
+
−
− +
− +
+
Тогда
4 3
2 2
3 2
3 2
4 6
3 4
3 1
2 3
3 1
3 3
1
x
x
x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
−
+
− +
+


=
− +
=
− +


−
+
−
−
+
−


∫
∫
2 2
3 3
2 3
(
3)
(
1)
4 4
2 2
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
dx
x
x
x
x
x
+
− +
+
=
− +
=
− +
+
=
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
2 2
1 2
2 1
(
1)
x
x
C
x
x
=
− −
−
+
−
−
2) Сделаем замену
2 2
x
t
+
=
Тогда
2
,
dt
xdx
=
2 2,
x
t
= −
9 8
2 4 4
2 2
(
)
2
(
2)
x dx
x
xdx
x
xdx
t
dt
=
⋅
=
⋅
= −
Получаем интеграл
9 4
4 3
2 2 4 4
4 2
(
2)
8 24 32 16
(2
)
x
t
dt
t
t
t
t
dx
dt
x
t
t
−
−
+
−
+
=
=
=
+
∫
∫
∫
2 3
4 2
3 8
24 32 16 24 16 16 1
8 ln
3
dt
t
t
C
t
t
t
t
t
t
t


=
− +
−
+
= −
−
+
−
+ =




∫
2 2
3 3
3 2
2 8(9 6
2)
8 ln
8 8ln
3 3
t
t
t
t
C
t
t
C
t
t
t
t
− +


= −
−
− +
+ = −
−
+





47
Возвращаемся к старой переменной, подставим
2 2
t
x
= +
и полу- чаем:
9 4
2 2
2 2 4 2 3 2
8(9 30 22)
2 8 ln 2
(2
)
3(2
)
x
x
x
dx
x
x
C
x
x
+
+
= +
−
+
−
+
+
+
∫
Задания
I уровень
1.1. Найдите интеграл от простейшей дроби:
1)
;
7
dx
x
−
∫
2)
;
2 3
dx
x
+
∫
3)
6
;
1 3
dx
x
−
∫
4)
2
;
(
2)
dx
x
+
∫
5)
3
;
(2 1)
dx
x
−
∫
6)
6
;
(4 5 )
dx
x
−
∫
7)
2
;
6 10
dx
x
x
+
+
∫
8)
2
;
10 34
xdx
x
x
+
+
∫
9)
2 4
1
;
2 5
x
dx
x
x
−
−
+
∫
10)
2 2 3
;
4 29
x
dx
x
x
−
+
+
∫
11)
2 5
3
;
3 4
x
dx
x
x
+
+
+
∫
12)
2 4
3 1
x
dx
x
x
+
− +
∫
1.2. Найдите интеграл от простейшей дроби IV типа:
1)
2 2
;
(
4)
dx
x
+
∫
2)
2 3
;
(
9)
dx
x
+
∫
3)
2 2
2 1
;
(
1)
x
dx
x
+
+
∫
4)
2 2
3 2
(
4)
x
dx
x
−
+
∫
1.3. Найдите интеграл от простейших дробей:
1)
4 2
5 2
;
(
3)
2 2
dx
x
x
x


−


+
−
+


∫
2)
2 3
3 1
2
;
1
(
1)
(
2)
dx
x
x
x


+
−


+
+
+


∫
3)
2 3
4 1
;
25
(
4)
x
dx
x
x


−


+
−


∫
4)
2 2
6 1
3 8
20 2(
2)
x
dx
x
x
x


+
+


+
+
−


∫