Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 3 из 31

1.3. Найдите неопределенный интеграл, используя метод за- мены переменной или метод подстановки:
1)
(
)
3 2
2 ;
(
2)
x dx
t
x
x
= +
+
∫
2)
(
)
(
)
2 1
2 2 ;
x
x
dx t
x
−
+
= +
∫
3)
(
)
2 3
;
3
xdx
t
x
x
= −
−
∫
4)
(
)
(
)
17 3
1 3
1 ;
x
x
dx t
x
+
=
+
∫
5)
(
)
2 1
sin ;
x dx
x
t
−
=
∫
6)
(
)
2
(
1)
dx
x
t
x
x
=
+
∫
II уровень
2.1. Найдите неопределенный интеграл разными способами:
1)
2 2
;
6
x
x
e
dx
e
+
∫
2)
3 ln 4
;
x
dx
x
+
∫
3)
3
sin cos
;
x
xdx
∫
18 4)
7 2
tg5
;
cos 5
x
dx
x
∫
5)
2 3 5
;
(1
)
x dx
x
+
∫
6)
2
arccos
;
1
x
dx
x
−
∫
7)
2
;
4
x
x
e dx
e
+
∫
8)
3
;
x
dx
x
∫
9)
(2 1) ln(2 1)
dx
x
x
−
−
∫
2.2. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2 2
arcsin 4
;
1 16
x
x
dx
x
−
−
∫
2)
2
;
x
xe dx
∫
3)
7
sin cos
;
(cos sin )
x
x
dx
x
x
−
+
∫
4)
3 2
2
arcsin 7
;
1 49
x
dx
x
−
∫
5) ctg
;
x dx
∫
6)
4 2
3 8
;
x
x
dx
+
∫
7)
(
)
2
;
1
arcctg
dx
x
x
+
∫
8)
5
cos 2
;
sin 2
xdx
x
∫
9)
2
;
16 25ln 3
dx
x
x
−
∫
10)
2 1
1
cos
;
dx
x
x
∫
11) arcsin
2
;
1
x
e
dx
x
−
∫
12) sin 3
;
1 cos3
x
dx
x
+
∫
13)
2
arctg 3
;
1 9
x
x
dx
x
+
+
∫
14)
(
)
(
)
4 11 3
1
ln
3 1
dx
x
x
−
−
∫
2.3. Найдите неопределенный интеграл, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:
1)
2 1
3sin
;
x
x
dx
x
−
∫
2)
2 2
5
(cos sin
)
;
3 sin 2
x
x
dx
x
−
+
∫
3)
;
x
x
dx
e
e
−
+
∫
4) tg
2 5sin
3sin 2
cos
x
x
x
e
dx
x
−
+
∫
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
;
sin
dx
x
∫
2)
2 3 sin 3
sin 6
;
x
e
xdx
+
∫
3) tg ln cos
;
x
x dx
∫
4)
4
;
1
xdx
x
+
∫
5)
2 2
ln
;
x
x
dx
x
+
∫
6)
(
)
3 1
2 1
;
x
dx
x
x
+
+
∫

19 7)
3 2
sin
;
cos
x dx
x
∫
8)
2
sin
;
8 2cos
x
dx
x
−
∫
9)
2 6
;
9 4
x dx
x
−
∫
10)
(
)
;
9
dx
x
x
+
∫
11)
4
sin 2
;
16 9sin
xdx
x
−
∫
12)
4 2
;
1
xdx
x
x
−
−
∫
13)
3 4
;
1
x
x
dx
x
+
+
∫
14)
2 2
(1 4
) 25 9arctg 2
dx
x
x
+
−
∫
3.2. Найдите неопределенный интеграл методом подстанов- ки или методом замены переменной:
1)
5 4
1
(
1)
x
dx
x
+
−
∫
(у к а з а н и е:
1
);
x
t
− =
2)
1
x
e
dx
−
∫
(у к а з а н и е:
1
);
x
e
t
− =
3)
(
)
3 6
2
x
x
x dx
−
+
∫
(у к а з а н и е:
6
);
x
t
=
4)
2 1
dx
x x
−
∫
(у к а з а н и е:
1
);
x
t
=
5)
3 1
xdx
x
+
∫
(у к а з а н и е:
3 1
);
x
t
+ =
6)
2 2
(4
) 4
dx
x
x
−
−
∫
(у к а з а н и е:
2sin ).
x
t
=
19.3. Интегрирование некоторых выражений,
содержащих квадратный трехчлен
2
ax + bx + c
Рассмотрим некоторые виды интегралов, содержащих квад- ратный трехчлен в подынтегральном выражении, и способы их вычисления. Всюду далее считаем , ,
0.
a b c
≠
Для вычисления интеграла вида
2
dx
ax
bx
c
+
+
∫
(19.17) выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
20 2
2 2
2 2
2 2
4 4
b
c
b
b
b
c
ax
bx
c
a x
x
a x
x
a
a
a
a
a
a




+
+ =
+
+
=
+ ⋅
⋅ +
−
+
=








2 2
2 4
b
c
b
a
x
a
a
a




=
+
+ −








Сделаем замену переменной
2
b
x
t
a
+
=
Тогда интеграл (19.17), в зависимости от знака выражения
2
,
4
c
b
a
a
−
сводится к одному из интегралов
2 2
1
arctg
dt
t
C
k
k
t
k
=
+
+
∫
или
2 2
1
ln
2
dt
t
k
C
k
t
k
t
k
−
=
+
+
−
∫
Вместо замены переменной (после выделения полного квад- рата) можно использовать также метод поднесения под знак дифференциала.
Интеграл вида
2
dx
ax
bx
c
+
+
∫
(19.18) также вычисляется выделением полного квадрата в квадратном трехчлене. Он сводится к интегралу
2 2
2 2
ln
,
dt
t
t
k
C
t
k
=
+
±
+
±
∫
если
0,
a
>
или к интегралу
2 2
arcsin
,
dt
t
C
k
k
t
=
+
−
∫
если
0.
a
<
Рассмотрим интеграл вида
2
,
Mx
N
dx
ax
bx
c
+
+
+
∫
где
0.
M
≠
(19.19)
В числителе подынтегральной функции выделяем произ- водную 2ax b
+
квадратного трехчлена, записанного в знамена- теле. Тогда интеграл (19.19) можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых сводится к интегралу ln
,
dt
t
C
t
=
+
∫
а второй вычисляем как интеграл вида (19.17).
Интеграл вида
2
Mx
N
dx
ax
bx
c
+
+
+
∫
сводится к сумме интегра-

21 лов
2
dt
t
C
t
=
+
∫
и вида (19.18).
Интегралы вида
(
)
2
(
1, 2)
n
dx
n
px
q
ax
bx
c
=
+
+
+
∫
сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
1
px
q
t
+ =
Интеграл вида
2
ax
bx
cdx
+ +
∫
после выделения полного квадрата и замены
2
b
t
x
a
= +
сводится к одному из интегралов
2 2
,
t
k dt
+
∫
2 2
t
k dt
−
∫
или
2 2
,
k
t dt
−
∫
которые могут быть вычислены методом интегрирования по частям (см. п. 19.4.) или с помощью тригонометрических подстановок (см. п. 19.7.), или как интеграл от дифференциального бинома (см. п. 19.8).
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
1)
2
;
14 58
dx
x
x
−
+
∫
2)
2
;
2 3
1
dx
x
x
+
−
∫
3)
2
;
4 5
dx
x
x
−
−
∫
4)
2 8 2
dx
x
x
−
−
∫
Решение: 1) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:
(
)
2 2
2 14 58 2 7 49 49 58 7
9
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
=
=
−
+
− ⋅ +
−
+
−
+
∫
∫
∫
Используем метод поднесения под знак дифференциала. Интеграл примет вид:
2
(
7)
1 7
arctg
3 3
(
7)
9
d x
x
C
x
−
−
=
+
−
+
∫
Для вычисления последнего интеграла использовали формулу
(19.13) таблицы интегралов.
2) Вынесем в знаменателе подынтегрального выражения множи- тель 2 за скобки и выделим полный квадрат, получим:
2 2
2 3
1 3
17 2
2 4
16 1
1 2
2 2
3 1
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
=
=
+
−


+
−
+
−




∫
∫
∫
22
Заменим
3 4
x
t
+ =
и
dx
dt
=
Интеграл примет вид:
2 2
17 4
17 17 4
4 1
1 1
4 17
ln ln
2 2
2 4
17
t
dt
t
C
C
t
t
t
−
−
=
+ =
+
+


+
− 



∫
Для вычисления последнего интеграла использовали формулу
(19.15) таблицы интегралов. Возвращаясь к переменной x, имеем:
2 1
4 3
17
ln
2 2
3 1
4 3
17
dx
x
C
x
x
x
+ −
=
+
+
−
+ +
∫
3) Выделив в подкоренном выражении полный квадрат, получаем:
(
)
2 2
4 5
2 9
dx
dx
x
x
x
=
−
−
−
−
∫
∫
Используя метод поднесения под знак дифференциала и формулу
(19.16) таблицы интегралов, имеем:
(
)
2 2
(
2)
ln
2 4
5 2
9
d x
x
x
x
C
x
−
=
− +
−
− +
−
−
∫
4) Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
(
)
(
)
2 2
2 8 2 9
1 2 9
1
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
=
=
−
−
− +
+
− +
∫
∫
∫
Применив метод поднесения под знак дифференциала и формулу
(19.14) таблицы интегралов, получаем:
(
)
(
)
2 1
1
arcsin
3 9
1
d x
x
C
x
+
+
=
+
− +
∫
Пример 2. Найти неопределенный интеграл:
1)
(
)
2 3
;
8 20
x
dx
x
x
−
−
+
∫
2)
2 6
1
;
4
x
dx
x
x
−
−
∫
3)
2 1
3 6
7
x
dx
x
x
−
−
+
∫
Решение: 1) Найдем производную квадратного трехчлена, запи- санного в знаменателе дроби,
(
)
2 8
20 2
8.
x
x
x
′
−
+
=
−
Выделим производную знаменателя в числителе дроби:
(
)
(
)
(
)
1 1
1 3
2 3
2 8 8 3
2 8
8 3
2 2
2
x
x
x
x
− = ⋅ − =
− + − =
− + − =
(
)
(
)
1 1
2 8
4 3 2
8 1.
2 2
x
x
=
− + − =
− +

23
Тогда
(
)
(
)
2 2
1 2
2 8
1 3
8 20 8
20
x
x
dx
dx
x
x
x
x
− +
−
=
−
+
−
+
∫
∫
Используя второе свойство неопределенного интеграла, предста- вим данный интеграл в виде суммы двух интегралов
(
)
2 2
2 8
1 2
8 20 8
20
x
dx
dx
x
x
x
x
−
+
− +
− +
∫
∫
Выделим в знаменателе второго интеграла полный квадрат:
(
)
2 2
2 8
20 8
16 4
4 4.
x
x
x
x
x
− +
=
− + + =
−
+
Для вычисления полученных интегралов используем метод подне- сения под знак дифференциала и формулы (19.5) и (19.13) таблицы ин- тегралов:
(
)
(
)
2 2
2 2
1 8
20 1
ln
8 20 2
2 8
20 4
4
d x
x
dx
x
x
x
x
x
−
+
+
=
−
+
+
− +
−
+
∫
∫
2 2
(
4)
1 1
4
ln
8 20
arctg
2 2
2
(
4)
4
d x
x
x
x
C
x
−
−
+
=
− +
+
+
−
+
∫
2) Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
(
)
(
)
2 2
2 4
4 4 4 2
4.
x
x
x
x
x
−
= −
−
+ − = − −
+
Заменив
2
,
x
t
− =
2,
x
t
= +
,
dx
dt
=
получим:
(
)
(
)
2 2
2 2
6 2
1 6
1 6
1 6
11 4
4 4
4 2
t
x
x
t
dx
dx
dt
dt
x
x
t
t
x
+ −
−
−
+
=
=
=
=
−
−
−
− −
∫
∫
∫
∫
(
)
2 2
2 2
2 6
2 4
11 3
11arcsin
3 2
4 4
4 4
tdt
dt
tdt
t
d
t
t
t
t
t
−
−
=
+
= −
+
= −
+
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
( )
1 2
2 2
2 2
11arcsin
3 4
(4
) 11arcsin
6 4 2
2 2
11arcsin
6 4 11arcsin
2 2
t
t
t
d
t
t
t
x
C
x
x
C
−
+
= −
−
−
+
= −
− +
−
+
+ = −
−
+
+
∫
Для вычисления суммы интегралов использовали метод поднесе- ния под знак дифференциала и формулы (19.3) и (19.14) таблицы инте- гралов.
3) Найдем производную квадратного трехчлена
(
)
2 3
6 7
6 6.
x
x
x
′
−
+
=
−
Выделим ее в числителе дроби, чтобы получить дифференциал знаменателя:
24
(
)
2 2
2 2
(
1)
1
(6 6)
1 3
6 7
6 6
3 6
7 3
6 7
3 6
7
x
dx
x
dx
d
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
+
=
=
=
−
+
−
+
−
+
∫
∫
∫
(
)
2 1
ln 3 6
7 6
x
x
C
=
−
+ +
Для вычисления интеграла использовали метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.5) таблицы интегралов.
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
2 2
9
dx
x
x
+
∫
Решение: Применим подстановку
1
,
x
t
=
тогда
2 1
dx
dt
t
= −
Полу- чаем:
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
18 18 9
1 9 1 9 9
t
t
dx
dt
tdt
tdt
x
x
t
t
t
= −
= −
= −
=
+
+
+
⋅
+
∫
∫
∫
∫
(
)
2 2
2 2
2 1
1 9 1
1 9
9 1 9 1
18 9
9 9
1 9
d
t
x
t
C
C
C
x
x
t
+
+
= −
= −
+
+ = −
+
+ = −
+
+
∫
Задания
I уровень
1.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2
;
4 17
dx
x
x
−
+
∫
2)
2
;
9 6
2
dx
x
x
+
+
∫
3)
2
;
2 48
dx
x
x
−
−
∫
4)
2
;
3 4
dx
x
x
−
−
∫
5)
2
;
2 3
dx
x
x
+
−
∫
6)
2
;
4 4
15
dx
x
x
−
−
∫
7)
2
;
5 4
dx
x
x
+
−
∫
8)
2
;
3 6 9
dx
x
x
+
−
∫
9)
2 2
dx
x
x
−
∫
1.2. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2 3
;
6 13
x
dx
x
x
−
−
+
∫
2)
2 8
1
;
4 12 13
x
dx
x
x
−
−
+
∫
3)
2 2
13
;
8 9
x
dx
x
x
+
+
−
∫
4)
2 1
;
4 5
x
dx
x
x
+
+
+
∫
5)
2 4
5
;
2 3
x
dx
x
x
+
+
−
∫
6)
2 2
;
4 4
x
dx
x
x
+
+
∫

25 7)
2 6
3
;
4 12
x
dx
x
x
+
+
−
∫
8)
2 1
;
3 2
x
dx
x
x
−
−
−
∫
9)
2 4
1 5
4
x
dx
x
x
+
−
−
∫