Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 5 из 31

Решение. Обозначим cos
n
n
I
xdx
=
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 2
2 2
1 2
2 1
2
cos cos cos cos
,
cos
,
cos sin
1 cos sin
,
sin
1 cos sin cos sin
1
cos
1 cos cos sin
1
cos
1
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
I
xdx
x
xdx
u
x dv
xdx
x
x
du
n
x
xdx v
x
n
x
xdx
x
x
n
x
x dx
x
x
n
xdx
n
xdx
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
+
= − −
=
+
−
=
+ −
−
=
=
+ −
− −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
32
Мы получили:
(
)
(
)
1 2
cos sin
1
cos
1
n
n
n
n
I
x
n
xdx
n
I
−
−
=
+ −
− −
∫
Выражаем:
1 2
1 1
cos sin
n
n
n
n
I
x
x
I
n
n
−
−
−
=
+
Это и есть рекуррентная формула, которая позволяет уменьшать показатель степени в подынтегральной функции до тех пор, пока не придем к интегралу cos sin
xdx
x C
=
+
∫
или
dx
x C
= +
∫
в зависимо- сти от того, является ли n числом четным или нечетным.
Используем ее для вычисления
5 5
cos
I
xdx
=
∫
5 4
3 5
1 4
cos cos sin cos
5 5
I
xdx
x
x
xdx
=
=
+
=
∫
∫
4 2
1 4 1 2
cos sin cos sin cos
5 5 3 3
x
x
x
x
xdx


=
+
+
=




∫
4 2
1 4
8
cos sin cos sin sin
5 15 15
x
x
x
x
x C
=
+
+
+
Задания
I уровень
1.1. Найдите интеграл методом интегрирования по частям:
1)
(
)
3 2
;
x
x
e dx
+
∫
2)
(
)
5 2
sin 3
;
x
xdx
−
∫
3)
(
)
2 5 cos
;
3
x
x
dx
+
∫
4)
(
)
4 sh2
;
x
xdx
+
∫
5)
(
)
7 3 ch
;
3
x
x
dx
+
∫
6)
x
x
dx
e
∫
1.2. Найдите интеграл методом интегрирования по частям:
1)
(
)
2 5 cos 2
;
x
x
xdx
− +
∫
2)
(
)
(
)
2 2
3 1 sin 3 2
;
x
x
x
dx
+
−
+
∫
3)
(
)
2 2
;
x
x
x
e dx
+ −
∫
4)
(
)
2 3
1 3
1
;
x
x
x
e
dx
−
+ +
∫
5)
(
)
2 3
1 3
;
x
x
x
dx
−
−
∫
6)
(
)
2 3
5 2 2
x
x
x
dx
+
+
∫

33
1.3. Найдите интеграл методом интегрирования по частям:
1) arctg
;
xdx
∫
2) ln
;
xdx
∫
3)
2
;
sin
x
dx
x
∫
4)
2
;
cos
x
dx
x
∫
5) arctg 7 1 ;
x
dx
−
∫
6)
(
)
2
ln
9
x
dx
+
∫
1.4. Найдите интеграл методом интегрирования по частям:
1)
5
sin 2
;
x
e
xdx
∫
2) cos
;
x
e
xdx
−
∫
3)
2
sin
;
3
x
x
e
dx
−
∫
4) 5 cos3
;
x
xdx
∫
5) sin ln
;
xdx
∫
6) cos ln
;
xdx
∫
7) sin ln 5
;
xdx
∫
8)
2 2
cos
;
x
e
xdx
∫
9)
2 4
x
dx
−
∫
II уровень
2.1. Найдите интеграл:
1) arccos
;
1
x
dx
x
−
∫
2) arctg
;
xdx
∫
3)
2
cos
;
x
xdx
∫
4) arcsin
;
1
x
dx
x
+
∫
5) arcsin
;
1
x
dx
x
−
∫
6)
2
sin
;
x
xdx
∫
7)
(
)
arcsin 6 5
;
x
dx
−
∫
8)
(
)
arccos 1
;
x dx
−
∫
9)
(
)
(
)
2 2
3 2 3
sin
2 1
;
x
x
x
dx
− −
−
∫
10)
(
)
(
)
3 2
2 2
4 cos 3 2
x
x
x
dx
−
+
+
∫
2.2. Найдите интеграл:
1)
3
ln
;
x
xdx
∫
2)
3
ln
;
x dx
x
∫
3)
1
ln 1
;
x
dx
x


+




∫
4)
2
ln
;
x
dx
x
∫
5)
2
ln
;
x
xdx
∫
6)
(
) (
)
2 2 ln
2
;
x
x
dx
−
−
∫
7)
(
)
(
)
2 2
1 ln
1
;
x
x
dx
+
+
∫
8)
(
)
(
)
3 2
2 ln
2
x
x
dx
+
+
∫
34
2.3. Найдите интеграл:
1)
3
arctg
;
x
xdx
∫
2)
2
arccos
;
x
xdx
∫
3) arcsin
;
x
xdx
∫
4)
2
arcsin
xdx
∫
2.4. Найдите интеграл:
1)
(
) (
)
2 5
1 3
;
x
x
dx
+
−
∫
2)
(
) (
)
2 3
2 1
3 2
;
x
x
dx
+
−
∫
3)
(
)
3 2
2 1 2 3 ;
x
x
x
x
dx
− + −
+
∫
4)
2 3
7 1
2 1
x
x
dx
x
−
+
+
∫
2.5. Найдите интеграл, комбинируя методы интегрирования по частям и замены переменной:
1)
;
x
e
dx
∫
2) cos
;
x
xdx
∫
3)
2 3
;
x
x e dx
∫
4)
(
)
ln
1
;
x
x
e
e
dx
+
∫
5)
(
)
2
ln arctg
;
1
x dx
x
+
∫
6) sin ln cos
;
x
xdx
∫
7) cos ln sin
;
x
xdx
∫
8) sin 2 ln sin
x
xdx
∫
III уровень
3.1. Найдите интеграл:
1)
2 1 ;
x
dx
+
∫
2)
2 1
;
x dx
−
∫
3)
2 4
;
x
dx
−
∫
4)
2 9
;
x
dx
+
∫
5)
2 25
;
x dx
−
∫
6)
2 2
2
x
x
dx
−
+
∫
3.2. Получите рекуррентную формулу для вычисления инте- грала и с ее помощью найдите интеграл для указанного n:
1)
(
)
2 2
,
2;
n
dx
n
x
a
=
+
∫
2) sin
,
4;
n
xdx n
=
∫
3) ln
,
1,
3;
n
x
xdx
n
α
α
≠ −
=
∫
4)
(
)
2 2
,
2;
n
a
x
dx n
−
=
∫
5)
2 2
,
4;
n
x dx
n
x
a
=
+
∫
6) sin cos
,
,
;
m
n
x
xdx n m
∈
∫
N

35 7) ln
,
3;
n
x dx n
=
∫
8)
,
5;
n
x
x e dx n
=
∫
9) sin
,
2;
x
n
e
xdx n
α
=
∫
10)
,
,
4;
sin
n
dx
n
n
x
∈
=
∫
N
11) tg
,
3;
n
xdx n
=
∫
12) ctg
,
2;
n
xdx n
=
∫
13) sin
,
,
,
3,
2.
cos
n
m
x
dx n m
n
m
x
∈
=
=
∫
N
19.5. Рациональные функции. Интегрирование
простейших дробей
Рациональной функцией или рациональной дробью назы- вается функция вида
( )
,
( )
n
m
P x
Q
x
где
( ),
n
P x
( )
m
Q
x – многочлены с рациональными коэффициентами степеней n и m соответствен- но. Если
,
n
m
<
то дробь называется правильной, если
,
n
m
≥
то – неправильной.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби
( )
( )
( )
,
( )
( )
n
k
n m
m
m
P x
R x
S
x
Q
x
Q
x
−
=
+
где
( ),
n m
S
x
−
( )
k
R x – многочлены,
( )
( )
k
m
R x
Q
x
– правильная дробь,
k
m
<
Интегрирование рациональных дробей сводится к интегри- рованию многочлена S(x) и правильной рациональной дроби
( )
( )
R x
Q x
Если выражение в знаменателе правильной дроби разла- гается на множители, то ее можно представить в виде суммы простейших дробей (методы разложения на сумму простейших дробей смотрите в параграфе 2.3, часть 1, с. 47–54).
Среди правильных дробей различают четыре типа простей-
36 ших дробей:
I
;
A
x
a
−
II
(
)
;
k
A
x
a
−
III
2
;
Mx
N
x
px
q
+
+
+
IV
(
)
2
,
2,
k
Mx
N
k
x
px
q
+
≥
+
+
где A, M, N, a, p, q – постоянные действительные числа,
k – натуральное число, дискриминант
2 4
0.
D
p
q
=
−
<
Неопределенные интегралы от простейших дробей
1.
(
)
ln
Adx
d x
a
À
A
x
a
C
x
a
x
a
−
=
=
− +
−
−
∫
∫
2.
1 1
(
)
(
)
,
1
(
)
(
)
k
k
k
Adx
A
A
x
a
d x
a
C
k
x
a
x
a
−
−
=
−
− =
+
−
−
−
∫
∫
,
2.
k
k
∈
≥
N
3. Интегрирование простейшей дроби III типа производят соответственно способу вычисления интеграла (19.19), который описан в параграфе 19.3.
4. В числителе дроби IV типа выделим производную квад- ратного трехчлена
2
:
x
px
q
+
+
(
)
(
)
2 2
2 2
(2
)
k
k
M
Mp
x
p
N
Mx
N
x
px
q
x
px
q


+
+
−


+


=
+
+
+
+
Тогда
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
k
k
k
Mx
N
M
x
p
dx
dx
x
px
q
x
px
q
Mp
dx
N
x
px
q
+
+
=
+
+
+
+
+


+
−




+
+
∫
∫
∫
Вычислим интегралы последней суммы отдельно.
Согласно формуле (19.3) таблицы интегралов, имеем:

37
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
k
k
d x
px
q
M
x
p
M
dx
x
px
q
x
px
q
+
+
+
=
=
+
+
+
+
∫
∫
(
) (
)
(
)
1 2
2 2
2 2
1
k
k
x
px
q
M
M
x
px
q
d x
px
q
C
k
− +
−
+
+
=
+
+
+
+
=
⋅
+ =
− +
∫
(
)
1 2
2(1
)
k
M
C
k
x
px
q
−
=
+
−
+
+
Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе полный квадрат:
(
)
2 2
2 2
4
k
k
p
p
x
px
q
x
q






+
+
=
+
+
−












Сделаем замену пе- ременной
2
p
t
x
= +
Обозначив
2 2
0,
4
p
a
q
= −
>
получим:
(
)
2 2
2 2
2 4
2 2
k
k
p
p
p
d x
Mp
dx
Mp
N
N
x
px
q
x
q


+








−
=
−
=







 

+
+




+
+
−














∫
∫
(
)
2 2
2
k
Mp
dt
N
t
a


=
−




+
∫
Последний интеграл, который обозначим
,
k
I
вычисляется по рекуррентной формуле
1 2
2 1
2 2
2 2
1 2
1
,
,
(
)
2
(
)
2
k
k
k
k
dx
x
k
I
I
k
x
a
ka
x
a
ka
+
+
−
=
=
+
∈
+
+
∫
N
(19.21) где
1 2
2 1
arctg
dx
x
I
C
a
a
x
a
=
=
+
+
∫
В частности,
2 2
2 2 2
2 2
3 1
arctg
(
)
2
(
)
2
dx
x
x
I
C
a
x
a
a
x
a
a
=
=
+
+
+
+
∫
Интегралы вида
2 1
2
,
(
)
m
n
x
dx
a
bx
+
+
∫
где m – целое положитель- ное число, вычисляются с помощью замены
2
a
bx
t
+
=
Тогда
38 2
,
t
a
x
b
−
=
2
,
dt
bxdx
=
( )
(
)
2 1
2 2
1 1
1 2
2 2
2
m
m
m
m
m
m
t
a
x
dx
x
xdx
x
xdx
dt
t
a
dt
b
b
+
−


=
=
=
=
−




Эта замена приводит к интегралу
(
)
1 1
2
m
m
n
t
a
dt
b
t
+
−
∫
Пример 1. Найти интегралы:
1)
2 3
2 6
4
;
2
x
x
dx
x
x
x
−
−
+
−
∫
2)
4 3
2 3
2 6
10 3
4
;
5 4
x
x
x
x
dx
x
x
x
+
+
− +
+
+
∫
3)
(
) (
)
2 2
8
;
3 1
x
x
dx
x
x
+ −
−
+
∫
4)
2 3
3 1
(
1)
x
x
dx
x x
−
−
−
∫
Решение. 1) Разложим на множители знаменатель дроби:
(
) ( )(
)
3 2
2 2
2 1
2 .
x
x
x
x x
x
x x
x
+
−
=
+ − =
−
+
Так как каждый множитель
,
1
x x
−
и
2
x
+
входит в знаменатель в первой степени, то каждому из них соответствует простейшая дробь I типа. Тогда общий вид разложения на сумму простейших дробей будет иметь вид:
(
)(
)
2 6
4 1
2 1
2
x
x
A
B
C
x x
x
x
x
x
−
−
= +
+
−
+
−
+
Приведем правую часть к общему знаменателю:
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2 1
2 2
1 6
4 1
2
(
1)(
2)
A x
x
Bx x
Cx x
x
x
x x
x
x x
x
−
+ +
+ +
−
−
−
=
−
+
−
+
Приравнивая числители, получаем:
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
6 4
1 2
2 1
2
x
x
A x
x
Bx x
Cx x
A x
x
−
− =
−
+ +
+ +
− =
+ − +
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 .
B x
x
C x
x
Ax
Ax
A
Bx
Bx Cx
Cx
A
B C x
A
B C x
A
+
+
+
−
=
+
−
+
+
+
−
=
=
+ +
+
+
−
−
Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинако- вых степенях переменной x. Приравняем эти коэффициенты:
2 1
0 1,
2 6,
2 4.
x A B C
x A
B C
A
x
+ + =
+
− = −
−
= −
Получили систему уравнений

39 1;
2 6;
2 4.
A B
C
A
B C
A
+ + =

+
− = −

− = −

Решая ее, находим
2,
A
=
3,
B
= −
С = 2. Таким образом,
2 3
2 6
4 2
3 2
1 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
−
− = −
+
−
+
+
−
Значит,
2 3
2 6
4 2
3 2
1 2
2
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
−
−
=
−
+
=
−
+
+
−
∫
∫ ∫
∫
(
)
(
)
2 2
3 2
2 ln
3ln
1 2 ln
2
ln
1
x
x
x
x
x
C
C
x
+
=
−
− +
+ + =
+
−
2) Подынтегральная функция является неправильной дробью. Пу- тем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рацио- нальной дроби и правильную рациональную дробь:
4 3
2 3
2 4
3 2
3 2
3 2
2 6
10 3
4 5
4 1
5 4
6 3
4 5
4 7
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
− +
+
+
−
+
+
+
+
− +
−
+
+
−
+
Тогда
4 3
2 2
3 2
3 2
6 10 3
4 7
4 1
5 4
5 4
x
x
x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x


+
+
−
+
−
+
=
+ +
=




+
+
+
+


∫
∫
2 2
3 2
7 4
2 5
4
x
x
x
x
dx
x
x
x
−
+
=
+ +
+
+
∫
Разложим на множители знаменатель правильной дроби:
(
)(
)
3 2
5 4
1 4 .
x
x
x
x x
x
+
+
=
+
+
Имеем:
2 7
4
,
(
1)(
4)
1 4
x
x
A
B
C
x x
x
x
x
x
−
+
= +
+
+
+
+
+
откуда
2 7
4
(
1)(
4)
(
4)
(
1).
x
x
A x
x
Bx x
Cx x
−
+ =
+
+ +
+ +
+
Найдем коэффициенты методом частных значений. В последнем равенстве, полагая последовательно
0,
x
=
1,
x
= −
4,
x
= −
получаем
40 соответственно:
4 4 ,
A
=
12 3 ,
B
= −
48 12 ,
C
=
т. е.
1,
A
=
4,
B
= −
4.
C
=
Следовательно,
2 4
4 7
4 1
(
1)(
4)
1 4
x
x
x x
x
x
x
x
−
+
= −
+
+
+
+
+
Поэтому
2 7
4 4
4
ln
4 ln
1
(
1)(
4)
1 4
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x x
x
x
x
x
−
+
=
−
+
=
−
+ +
+
+
+
+
∫
∫ ∫
∫
4 4
(
4)
4 ln
4
ln
(
1)
x x
x
C
C
x
+
+
+ + =
+
+
3) Знаменатель подынтегрального выражения имеет корень
3,
x
=
кратности 2, и простой корень
1.
x
= −
Общий вид разложения на про- стейшие дроби подынтегральной функции в данном случае будет иметь вид:
(
) (
)
(
)
2 2
2 8
3 1
3 1
3
x
x
A
B
C
x
x
x
x
x
+ −
=
+
+
−
+
−
+
−
Приведем правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравняем числители:
(
)(
) (
)
(
)
2 2
8 3
1 1
3
,
x
x
A x
x
B x
C x
+ − =
−
+ +
+ +
−
(
)
(
)
2 2
8 2
6 3
9 .
x
x
A C x
A
B
C x
A B
C
+ − =
+
+ −
+ −
−
+ +
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, получаем систему уравнений, решая которую, находим коэффициенты:
1,
2 6
1,
3 9
8;
A C
A
B
C
A B
C
+ =

−
+ −
=

− + +
= −

3
,
2 1
2 1,
A
B
C
 =

 =


= −


Таким образом имеем разложение:
(
) (
)
(
)
2 2
2 3
1 2
2 8
1 3
1 3
1 3
x
x
x
x
x
x
x
+ −
=
+
−
−
+
−
+
−
Тогда
(
) (
)
(
)
2 2
2 8
3 1
2 3
2 1
3 1
3
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
+ −
=
+
−
=
−
+
−
+
−
∫
∫
∫
∫
3 1
1
ln
3
ln
1 2
3 2
x
x
C
x
=
− −
−
+ +
−

41 4) Знаменатель подынтегрального выражения имеет простой ко- рень
0,
x
=
которому соответствует простейшая дробь I типа, и корень
1
x
=
кратности 3, которому соответствует сумма трех простейших дробей I и II типов. Имеем:
(
)
(
) (
)
2 3
2 3
3 1
1 1
1 1
x
x
A
B
C
D
x
x
x x
x
x
− − = +
+
+
−
−
−
−
Приведем правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравняем числители:
(
)
(
)
(
)
3 2
2 3
1 1
1 1
x
x
A x
Bx x
Cx x
Dx
− − =
−
+
−
+
− +
Найдем коэффициенты методом частных значений. Полагая
0,
x
=
получаем:
1
,
1.
A A
− = −
=
При
1
x
=
имеем:
3.
D
= −
Найдем производную от обеих частей последнего равенства:
(
)
(
)
(
) (
)
2 2
2 3
3 1
1 2
1 1
x
A x
B x
Bx x
C x
Cx
D
− =
−
+
−
+
− +
− +
+
Полагая
1,
x
=
получаем:
1
,
2.
C
D C
− = +
=
При
0
x
=
имеем:
3 3
,
A
B C
D
− =
+ − +
1.
B
= −
Таким образом,
(
)
(
) (
)
2 3
2 3
3 1
1 1
2 3
1 1
1 1
x
x
x
x
x x
x
x
− − = −
+
−
−
−
−
−
Тогда
2 3
2 3
3 1
2 3
1
(
1)
(
1)
(
1)
x
x
dx
dx
dx
dx
dx
x
x
x x
x
x
− −
=
−
+
−
=
−
−
−
−
∫
∫ ∫
∫
∫
2 2
3
ln ln
1 1
2(
1)
x
x
C
x
x
=
−
− −
+
+
−
−