Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
 Скачать 1.84 Mb.
|
|
Пример 2. Решить задачу Коши: 1) 8 9 ctg3 , 0, ; 6 6 3 y y x y y π π ′′ ′ + = = = − 2) 2 15 4 , (0) 2, (0) , (0) 4. 8 y y x y y y ′′′ ′ ′ ′′ + = = = = Решение. 1) Это линейное неоднородное дифференциальное урав- нение 2-го порядка. Найдем общее решение соответствующего одно- родного уравнения 9 0. y y ′′ + = Его характеристическое уравнение 2 9 0, λ + = корни которого 1 3 , i λ = 2 3i λ = − – комплексно-сопряжен- ные, простые. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения 0 1 2 1 2 cos 3 sin 3 , , y C x C x C C const = + = Общее решение за- данного дифференциального уравнения ищем в виде 1 2 cos3 sin 3 , y C x C x = + где 1 1 2 2 ( ), ( ) C C x C C x = = – функции, для нахождения которых составляем систему 1 2 1 2 cos 3 sin 3 0, 3 sin 3 3 cos 3 ctg3 . C x C x C x C x x ′ ′ + = ′ ′ − + = Решаем ее методом Крамера: cos 3 sin 3 3, 3sin 3 3cos3 x x x x ∆ = = − 219 1 0 sin 3 cos 3 , ctg 3 3cos 3 x x x x ∆ = = − 2 2 cos 3 0 cos 3 sin 3 3sin 3 ctg3 x x x x x ∆ = = − Получаем решение системы: 1 2 2 cos 3 , 3 cos 3 3sin 3 x C x C x ′ = − ′ = Интегрируем полученные равенства: 1 1 cos 3 sin 3 ( ) , 3 9 x x C x dx C = − = − + ∫ 2 2 2 cos 3 1 1 sin 3 ( ) 3sin 3 3 sin 3 x x C x dx dx x x − = = = ∫ ∫ 2 1 1 1 3 cos 3 sin 3 ln tg , 3 sin 3 3 9 2 9 dx x x xdx C x = − = + + ∫ ∫ где 1 2 , C C – произвольные постоянные. Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения: 1 2 sin 3 1 3 cos 3 cos 3 ln tg sin 3 . 9 9 2 9 x x x y C x C x = − + + + После упрощения получаем: 1 2 1 3 cos3 sin 3 ln tg sin 3 . 9 2 x y C x C x x = + + Далее решаем задачу Коши. Дифференцируем полученное общее решение: 1 2 3 sin 3 3 cos 3 y C x C x ′ = − + + 2 1 1 1 3 3 sin 3 ln tg 3cos 3 3 9 2 2 3 cos tg 2 2 x x x x x + ⋅ ⋅ + ⋅ Подставляем начальные условия 0, 6 y π = 8 6 3 y π ′ = − в выра- жения для y и y ′ и определяем константы 1 C и 2 : C 1 2 3 3 1 3 3 0 cos sin ln tg sin , 6 6 9 12 6 C C π π π π = + + 220 1 2 8 3 3 3 sin 3 cos 3 6 6 C C π π − = − + + 2 1 1 1 3 3 3 3 sin ln tg 3cos 3 9 2 6 12 6 3 cos tg 12 12 π π π π π + ⋅ ⋅ + ⋅ Отсюда имеем: 1 2 1, 0. C C = = Получаем решение задачи Коши: 1 3 cos 3 ln tg sin 3 . 9 2 x y x x = + 2) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка. Найдем его общее решение методом Лагранжа. Соответст- вующее однородное уравнение имеет вид: 4 0. y y ′′′ ′ + = Его характери- стическое уравнение 3 4 0, λ λ + = где 1 0, λ = 2 2 , i λ = 3 2i λ = − – корни. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения: 0 1 2 3 cos 2 sin 2 . y C C x C x = + + Общее решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде 1 2 3 cos 2 sin 2 , y C C x C x = + + где 1 1 ( ), C C x = 2 2 ( ), C C x = 3 3 ( ) C C x = – искомые функциональ- ные коэффициенты. Составляем систему 1 2 3 2 3 2 2 3 cos 2 sin 2 0, 2 sin 2 2 cos 2 0, 4 cos 2 4 sin 2 C C x C x C x C x C x C x x ′ ′ ′ + + = ′ ′ − + = ′ ′ − − = Решаем ее методом Крамера: 2 2 1 cos 2 sin 2 0 2 sin 2 2 cos 2 8 sin 2 8 cos 2 8, 0 4 cos 2 4sin 2 x x x x x x x x ∆ = − = + = − − 2 2 2 2 1 2 0 cos 2 sin 2 0 2sin 2 2 cos 2 (2 cos 2 2 sin 2 ) 2 , 4 cos 2 4 sin 2 x x x x x x x x x x x ∆ = − = + = − − 221 2 2 2 1 0 sin 2 0 0 2 cos 2 2 cos 2 , 0 4 sin 2 x x x x x x ∆ = = − − 2 3 2 1 cos 2 0 0 2 sin 2 0 2 sin 2 . 0 4 cos 2 x x x x x x ∆ = − = − − Тогда решение системы: 2 1 2 2 2 3 2 , 8 cos 2 , 4 sin 2 4 x C x x C x x C ′ = ′ = − ′ = − Интегрируем эти равенства: 3 1 1 ( ) , 12 x C x C = + 2 2 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 ( ) , 4 16 8 8 x x x x x x x C x dx C = − = − − + ∫ 2 2 3 3 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 ( ) , 4 8 8 16 x x x x x x x C x dx C = − = − − + ∫ где 1 2 3 , , C C C – произвольные постоянные (при интегрировании 2 C ′ и 3 C ′ применялся метод интегрирования по частям). Подставляя выражения для 1 2 3 , , C C C в общее решение, получаем: 3 2 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 12 16 8 8 x x x x x x y C C x = + + − − + + 2 3 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 8 8 16 x x x x x C x + − − + или после упрощения: 3 1 2 3 cos 2 sin 2 8 12 x x y C C x C x = + + − + Дифференцируем полученное общее решение дважды: 2 2 3 1 2 sin 2 2 cos 2 , 8 4 x y C x C x ′ = − + − + 2 3 4 cos 2 4 sin 2 2 x y C x C x ′′ = − − + 222 Подставляем в выражения для , , y y y ′ ′′ заданные начальные усло- вия и находим 1 2 3 , , : C C C 1 2 3 2 2 , 15 1 2 , 8 8 4 4 C C C C = + = − = − Отсюда 1 3, C = 2 1, C = − 3 1. C = Получили решение задачи Коши: 3 3 cos 2 sin 2 8 12 x x y x x = − + − + Пример 3. Решить уравнение: 1) 3 2 3 ( 2) ; x y y e x − ′′ ′ − = + 2) 2 2 cos 3sin ; IV y y y x x ′′ + + = + 3) 4 4 (cos 2 sin 2 ). x y y y y e x x x − ′′′ ′′ ′ + + + = + Решение. 1) Это линейное неоднородное дифференциальное урав- нение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Для его решения используем метод Эйлера. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение 3 0. y y ′′ ′ − = Его характеристическое уравнение 2 3 0, λ λ − = корни которого 1 0, λ = 2 3 λ = – действительные, простые. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения: 3 0 1 2 , x y C C e = + где 1 2 , C C – произвольные постоянные. Запишем контрольное число 3 σ = − (так как 3, α = − 0 β = ). Контрольное число не содержится среди корней характеристического уравнения. Тогда ис- комое частное решение заданного дифференциального уравнения име- ет вид: 3 2 ( ), x ч y e Ax Bx C − = + + где A, B, C – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Вычислим производные , : ÷ ÷ y y ′ ′′ 3 2 3 3 ( ) (2 ), x x ч y e Ax Bx C e Ax B − − ′ = − + + + + 3 2 3 3 3 9 ( ) 3 (2 ) 3 (2 ) 2 x x x x ч y e Ax Bx C e Ax B e Ax B Аe − − − − ′′ = + + − + − + + Подставляем полученные выражения ч y ′ и ч y ′′ в заданное диффе- ренциальное уравнение: 3 2 3 3 9 ( ) 6 (2 ) 2 x x x e Ax Bx C e Ax B Аe − − − + + − + + − 3 2 3 3 2 3( 3 ( ) (2 )) ( 2) . x x x e Ax Bx C e Ax B e x − − − − − + + + + = + 223 Сокращаем на 3x e − и группируем относительно степеней x: 2 2 (9 9 ) (9 12 9 6 ) 9 6 2 9 3 4 4. А А x B A B A x C B A C B x x + + − + − + − + + − = = + + Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: 2 1 0 : 18 1, : 18 18 4, 18 9 2 4. : x A x B A C B A x = − = − + = Решаем полученную систему уравнений и находим A, B, C: 1 5 115 , , 18 18 324 A B C = = = Подставляем найденные коэффициенты в частное решение: 3 2 1 5 115 18 18 324 x ч y e x x − = + + или 3 2 115 5 18 18 x ч e y x x − = + + Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид: 3 3 2 1 2 115 5 18 18 x x e y C C e x x − = + + + + 2) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специально- го вида. Используем метод Эйлера для нахождения его общего реше- ния. Соответствующее однородное уравнение – 2 0. IV y y y ′′ + + = Его характеристическое уравнение 4 2 2 1 0 λ λ + + = или 2 2 ( 1) 0, λ + = корни которого 1,2 i λ = ± кратности 2 (комплексно-сопряженные). Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения: 0 1 2 3 4 cos cos sin sin , y C x C x x C x C x x = + + + где 1 2 3 4 , , , C C C C – произвольные постоянные. Запишем контрольное число , i σ = так как 0, α = 1. β = Кон- трольное число σ содержится среди корней характеристического уравнения кратности 2. Поэтому искомое частное решение заданного дифференциального уравнения ищем в виде 2 ( cos sin ), ч y x A x B x = + где A, B – коэффициенты, которые надо найти. Дифференцируем ч y дважды: 224 2 2 ( cos sin ) ( sin cos ), ч y x A x B x x A x B x ′ = + + − + 2 2( cos sin ) 2 ( sin cos ) 2 ( sin cos ) ( cos sin ). ч y A x B x x A x B x x A x B x x A x B x ′′ = + + − + + + − + + − − Упростим : ч y ′′ 2 (2 )( cos sin ) 4 ( sin cos ). ч y x A x B x x A x B x ′′ = − + + − + Далее получим: 2 2 ( cos sin ) (2 )( sin cos ) ч y x A x B x x A x B x ′′′ = − + + − − + + 4( sin cos ) 4 ( cos sin ). A x B x x A x B x + − + + − − Упростим это выражение: 2 6 ( cos sin ) (6 )( sin cos ). ч y x A x B x x A x B x ′′′ = − + + − − + Дифференцируем еще раз: 6( cos sin ) 6 ( sin cos ) IV ч y A x B x x A x B x = − + − − + − 2 2 ( sin cos ) (6 )( cos sin ). x A x B x x A x B x − − + + − − − Упрощаем это выражение: 2 ( 12)( cos sin ) 8 ( sin cos ). IV ч y x A x B x x A x B x = − + − − + Подставляем выражения для , IV ч y ч y ′′ и ч y в заданное дифферен- циальное уравнение: 2 ( 12)( cos sin ) 8 ( sin cos ) x A x B x x A x B x − + − − + + 2 2(2 )( cos sin ) 8 ( sin cos ) x A x B x x A x B x + − + + − + + 2 ( cos sin ) 2 cos 3sin . x A x B x x x + + = + Группируем относительно cos x и sin : x 2 2 2 ( 12 8 4 2 8 ) cos Ax A Bx A Ax Bx Ax x − − + − + + + 2 2 2 ( 12 8 4 2 8 ) sin 2 cos 3sin . Bx B Ax B Bx Ax Bx x x x + − + + − − + = + После преобразований в скобках получим: 8 cos 8 sin 2 cos 3sin . А x B x x x − − = + Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометриче- ских функциях и получаем систему cos : 8 2, sin : 8 3, x A x B − = − = решение которой: 1 3 , 4 8 A B = − = − Подставляем найденные коэффициенты в частное решение : ч y 2 1 3 cos sin 4 8 ч y x x x = − − 225 Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения: 2 1 2 3 4 1 3 cos cos sin sin cos sin 4 8 y C x C x x C x C x x x x x = + + + + − − или 2 2 1 2 3 4 3 cos sin . 4 8 x x y C C x x C C x x = + − + + − 3) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой ча- стью. Соответствующее однородное уравнение – 4 4 0. y y y y ′′′ ′′ ′ + + + = Его характеристическое уравнение 3 2 4 4 0 λ λ λ + + + = или 2 ( 1)( 4) 0. λ λ + + = Получаем корни характеристического уравнения 1 1, λ = − 2,3 2 . i λ = ± Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: 0 1 2 3 cos 2 sin 2 , x y C e C x C x − = + + где 1 2 3 , , C C C – произвольные постоянные. Запишем контрольное число 1 2 , i σ = − + так как 1, α = − 2. β = Контрольное число не содержится среди корней характеристического уравнения. Тогда искомое частное решение заданного дифференциаль- ного уравнения ищем в виде (( ) cos 2 ( ) sin 2 ), x ч y e Ax B x Cx D x − = + + + где A, B, C, D – коэффициенты, которые надо найти. Дифференци- руем трижды : ч y (( ) cos 2 ( ) sin 2 ) x ч y e Ax B x Cx D x − ′ = − + + + + ( cos 2 2( ) sin 2 sin 2 2( ) cos 2 ). x e A x Ax B x C x Cx D x − + − + + + + Упростим это выражение: (( 2 2 ) cos 2 ( 2 2 )sin 2 ). x ч y e Ax Cx B A D x Cx Ax D B C x − ′ = − + − + + + − − − − + Далее дифференцируем: (( 2 2 ) cos 2 ( 2 x ч y e Ax Cx B A D x Cx Ax D − ′′ = − − + − + + + − − − − 2 ) sin 2 ) (( 2 ) cos 2 2( 2 x B C x e A C x Ax Cx B − − + + − + − − + − + 2 ) sin 2 ( 2 ) sin 2 2( 2 2 ) cos 2 ). A D x C A x Cx Ax D B C x + + + − − + − − − − + Упростим это выражение: (( 3 4 2 3 4 4 ) cos 2 (4 3 4 x ч y e Ax Cx A B C D x Ax Cx A − ′′ = − − − − + − + − − + 4 2 3 ) sin 2 . B C D x + − − (( 3 4 2 3 4 4 ) cos 2 (4 3 4 x ч y e Ax Cx A B C D x Ax Cx A − ′′′ = − − − − − + − + − − + 226 4 2 3 ) sin 2 ) (( 3 4 ) cos 2 2( 3 4 2 x B C D x e A C x Ax Cx A − + − − + − − − − − − − 3 4 4 )sin 2 (4 3 )sin 2 2(4 3 4 4 2 3 ) cos 2 ). B C D x A C x Ax Cx A B C D x − + − + − + − − + − − − Упростим это выражение: ((11 2 9 11 12 2 ) cos 2 (2 x ч y e Ax Cx A B C D x Ax − ′′′ = − − + − − + + 11 12 2 9 11 ) sin 2 ). Cx A B C D x + + + − + Подставляя выражения для , , , ч ч ч ч y y y y ′ ′′ ′′′ в заданное дифферен- циальное уравнение, группируем и, приравнивая коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях, имеем: cos2 : 11 2 3 4 4 8 4 0, sin2 : 2 11 4 3 8 4 4 1, cos2 : 9 11 12 2 2 3 4 4 4 4 8 4 1, sin2 : 12 2 9 11 4 4 2 3 4 8 4 4 0. x x A C A C A C A x x A C A C A C C x A B C D A B C D B A D B x A B C D A B C D D B C D − − − − + + = + + − − − + = − + − − − − + − − + + + = + − + − + − − − − + + = Упрощая выражения, получаем систему уравнений 8 2 0, 2 8 1, 7 8 8 2 1, 8 2 7 8 0. A C A C A B C D A B C D + = − + = − + − + = − − + = Решаем ее и находим: 1 4 50 203 , , , 34 34 289 1156 A C B D = − = = = Подставляем найденные коэффициенты в ÷ y 50 4 203 cos 2 sin 2 289 34 34 1156 x ч x x y e x x − = − + + Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения: 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x − = + + + 50 4 203 cos2 sin 2 289 34 34 1156 x x x e x x − + − + + |